Статистика Каниадакиса

Статистический физический подход

Статистика Каниадакиса (также известная как κ-статистика ) представляет собой обобщение статистической механики Больцмана–Гиббса , ^[1] основанное на релятивистском ^{[2] [3] [4]} обобщении классической энтропии Больцмана–Гиббса–Шеннона (обычно называемой как энтропия Каниадакиса или κ-энтропия). Представленная греко-итальянским физиком Джорджио Каниадакисом в 2001 году ^[5] κ-статистическая механика сохраняет основные черты обычной статистической механики и в последние годы привлекла интерес многих исследователей. κ-распределение в настоящее время считается одним из наиболее жизнеспособных кандидатов для объяснения сложных физических , ^{[6] [7]} естественных или искусственных систем, включающих степенные статистические распределения . Статистика Каниадакиса успешно применяется при описании множества систем в областях космологии , астрофизики , ^{[8] [9]} конденсированного состояния вещества , квантовой физики , ^{[10] [11]} сейсмологии , ^{[12] [13]} геномики , ^{[14] [15]} экономика , ^{[16] [17]} эпидемиология , ^[18] и многие другие.

Математический формализм

Математический формализм κ-статистики порождается κ-деформированными функциями, особенно κ-экспоненциальной функцией.

κ-экспоненциальная функция

График κ-экспоненциальной функции для трех разных κ-значений. Сплошная черная кривая, соответствующая обычной показательной функции ( ). ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$ ${\displaystyle \exp(x)}$ ${\displaystyle \kappa =0}$

Экспоненциальная (или κ-экспоненциальная) функция Каниадакиса представляет собой однопараметрическое обобщение экспоненциальной функции, определяемое формулой:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x{\Big )}^{\frac {1}{\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1.\\[6pt]\exp(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

с . ${\displaystyle \exp _{-\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(x)}$

κ-экспоненту для также можно записать в виде: ${\displaystyle 0<\kappa <1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=\exp {\Bigg (}{\frac {1}{\kappa }}{\text{arcsinh}}(\kappa x){\Bigg )}.}$

Первые пять членов разложения Тейлора имеют вид: ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+(1-\kappa ^{2}){\frac {x^{3}}{3!}}+(1-4\kappa ^{2}){\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

где первые три такие же, как типичная показательная функция .

Основные свойства

κ-экспоненциальная функция обладает следующими свойствами показательной функции:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(-\infty )=0^{+}}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(0)=1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(-x)=-1}$

Для действительного числа κ-экспонента обладает свойством: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\Big [}\exp _{\kappa }(x){\Big ]}^{r}=\exp _{\kappa /r}(rx)}$.

κ-логарифмическая функция

График κ-логарифмической функции для трех разных значений κ. Сплошная черная кривая, соответствующая обычной логарифмической функции ( ). ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \kappa =0}$

Логарифм Каниадакиса (или κ-логарифм) представляет собой релятивистское однопараметрическое обобщение обычной функции логарифма:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\kappa }-x^{-\kappa }}{2\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1,\\[8pt]\ln(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

с , которая является обратной функцией κ-экспоненты: ${\displaystyle \ln _{-\kappa }(x)=\ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }{\Big (}\exp _{\kappa }(x){\Big )}=\exp _{\kappa }{\Big (}\ln _{\kappa }(x){\Big )}=x.}$

κ-логарифм для также можно записать в виде: ${\displaystyle 0<\kappa <1}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\sinh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

Первые три члена разложения Тейлора имеют вид : ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\left(1+{\frac {\kappa ^{2}}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$

следуя правилу

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(\kappa )\,(-1)^{n-1}\,{\frac {x^{n}}{n}}}$

с и ${\displaystyle b_{1}(\kappa )=1}$

${\displaystyle b_{n}(\kappa )(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\[8pt]{\frac {1}{2}}{\Big (}1-\kappa {\Big )}{\Big (}1-{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )},\,+\,{\frac {1}{2}}{\Big (}1+\kappa {\Big )}{\Big (}1+{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1+{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )}&{\text{for }}n>1,\\[8pt]\end{cases}}}$

где и . Два первых члена разложения Тейлора такие же, как и у обычной логарифмической функции . ${\displaystyle b_{n}(0)=1}$ ${\displaystyle b_{n}(-\kappa )=b_{n}(\kappa )}$ ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$

Основные свойства

κ-логарифмическая функция обладает следующими свойствами логарифмической функции :

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln _{\kappa }(x)<0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(0^{+})=-\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1)=0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

Для действительного числа κ-логарифм обладает свойством: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x^{r})=r\ln _{r\kappa }(x)}$

κ-Алгебра

κ-сумма

Для любого и сумма Каниадакиса (или κ-сумма) определяется следующим законом композиции: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\kappa |<1}$

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=x{\sqrt {1+\kappa ^{2}y^{2}}}+y{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$,

это также можно записать в форме:

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y={1 \over \kappa }\,\sinh \left({\rm {arcsinh}}\,(\kappa x)\,+\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa y)\,\right)}$,

где обычная сумма является частным случаем классического предела : . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x{\stackrel {0}{\oplus }}y=x+y}$

κ-сумма, как и обычная сумма, обладает следующими свойствами:

${\displaystyle {\text{1. associativity:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y){\stackrel {\kappa }{\oplus }}z=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. neutral element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}0=0{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. opposite element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-x)=(-x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=0}$

${\displaystyle {\text{4. commutativity:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x}$

κ-разница определяется выражением . ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\ominus }}}$ ${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\ominus }}y=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-y)}$

Фундаментальное свойство возникает как частный случай более общего выражения, приведенного ниже: ${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$ ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(y)=exp_{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)}$

Кроме того, κ-функции и κ-сумма представляют собой следующие соотношения:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

κ-продукт

Для любого и произведение Каниадакиса (или κ-произведение) определяется следующим законом композиции: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\kappa |<1}$

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y={1 \over \kappa }\,\sinh \left(\,{1 \over \kappa }\,\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa x)\,\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa y)\,\right)}$,

где обычное произведение является частным случаем классического предела : . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x{\stackrel {0}{\otimes }}y=x\times y=xy}$

κ-произведение, как и обычное произведение, обладает следующими свойствами:

${\displaystyle {\text{1. associativity:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y){\stackrel {\kappa }{\otimes }}z=x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}(y{\stackrel {\kappa }{\otimes }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. neutral element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}I=I{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x=x\quad {\text{for}}\quad I=\kappa ^{-1}\sinh \kappa {\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. inverse element:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}{\overline {x}}={\overline {x}}{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x=I\quad {\text{for}}\quad {\overline {x}}=\kappa ^{-1}\sinh(\kappa ^{2}/{\rm {arcsinh}}\,(\kappa x))}$

${\displaystyle {\text{4. commutativity:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y=y{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x}$

κ-деление определяется выражением . ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\oslash }}}$ ${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oslash }}y=x{\stackrel {\kappa }{\otimes }}{\overline {y}}}$

κ-сумма и κ-произведение подчиняются дистрибутивному закону: . ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\oplus }}}$ ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\otimes }}}$ ${\displaystyle z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)=(z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}(z{\stackrel {\kappa }{\otimes }}y)}$

Фундаментальное свойство возникает как частный случай более общего выражения, приведенного ниже: ${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

Кроме того, κ-функции и κ-произведение представляют следующие соотношения:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\otimes }}\exp _{\kappa }(y)=\exp _{\kappa }(x\,+\,y)}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,{\stackrel {\kappa }{\otimes }}\,y)=\ln _{\kappa }(x)+\ln _{\kappa }(y)}$

κ-исчисление

κ-Дифференциал

Дифференциал Каниадакиса (или κ-дифференциал) определяется следующим образом: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{\kappa }x={\frac {\mathrm {d} \,x}{\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}}$.

Итак, κ-производная функции связана с производной Лейбница следующим образом: ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}=\gamma _{\kappa }(x){\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$,

где - фактор Лоренца. Обыкновенная производная является частным случаем κ-производной в классическом пределе . ${\displaystyle \gamma _{\kappa }(x)={\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}}$ ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-Интеграл

Интеграл Каниадакиса (или κ-интеграл) — это обратный оператор κ-производной, определяемой через

${\displaystyle \int \mathrm {d} _{\kappa }x\,\,f(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \,x}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,\,f(x)}$,

который восстанавливает обычный интеграл в классическом пределе . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-Тригонометрия

κ-Циклическая тригонометрия

[нажмите на рисунок] График функций κ-синус и κ-косинус для (черная кривая) и (синяя кривая). ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \kappa =0.1}$

Циклическая тригонометрия Каниадакиса (или κ-циклическая тригонометрия) основана на функциях κ-циклического синуса (или κ-синуса) и κ-циклического косинуса (или κ-косинуса), определяемых следующим образом:

${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)-\exp _{\kappa }(-ix)}{2i}}}$,

${\displaystyle \cos _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)+\exp _{\kappa }(-ix)}{2}}}$,

где κ-обобщенная формула Эйлера имеет вид

${\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm ix)=\cos _{\kappa }(x)\pm i\sin _{\kappa }(x)}$.:

κ-циклическая тригонометрия сохраняет фундаментальные выражения обычной циклической тригонометрии, которая является частным случаем в пределе κ → 0, такие как:

${\displaystyle \cos _{\kappa }^{2}(x)+\sin _{\kappa }^{2}(x)=1}$

${\displaystyle \sin _{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)=\sin _{\kappa }(x)\cos _{\kappa }(y)+\cos _{\kappa }(x)\sin _{\kappa }(y)}$.

κ-циклическая касательная и κ-циклическая котангенсная функции задаются формулой:

${\displaystyle \tan _{\kappa }(x)={\frac {\sin _{\kappa }(x)}{\cos _{\kappa }(x)}}}$

${\displaystyle \cot _{\kappa }(x)={\frac {\cos _{\kappa }(x)}{\sin _{\kappa }(x)}}}$.

κ-циклические тригонометрические функции в классическом пределе становятся обычной тригонометрической функцией . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-обратная циклическая функция

Обратные циклические функции Каниадакиса (или κ-обратные циклические функции) связаны с κ-логарифмом:

${\displaystyle {\rm {arcsin}}_{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1-x^{2}}}+ix\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccos}}_{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arctan}}_{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-ix}{1+ix}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccot}}_{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {ix+1}{ix-1}}}\right)}$.

κ-Гиперболическая тригонометрия

Гиперболическая тригонометрия Каниадакиса (или κ-гиперболическая тригонометрия) основана на κ-гиперболическом синусе и κ-гиперболическом косинусе, определяемых формулой:

${\displaystyle \sinh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)-\exp _{\kappa }(-x)}{2}}}$,

${\displaystyle \cosh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)+\exp _{\kappa }(-x)}{2}}}$,

где формула κ-Эйлера

${\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm x)=\cosh _{\kappa }(x)\pm \sinh _{\kappa }(x)}$.

κ-гиперболический тангенс и κ-гиперболический котангенс определяются формулами:

${\displaystyle \tanh _{\kappa }(x)={\frac {\sinh _{\kappa }(x)}{\cosh _{\kappa }(x)}}}$

${\displaystyle \coth _{\kappa }(x)={\frac {\cosh _{\kappa }(x)}{\sinh _{\kappa }(x)}}}$.

κ-гиперболические тригонометрические функции в классическом пределе становятся обычными гиперболическими тригонометрическими функциями . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Из формулы κ-Эйлера и этого свойства фундаментальное выражение κ-гиперболической тригонометрии дается следующим образом: ${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$

${\displaystyle \cosh _{\kappa }^{2}(x)-\sinh _{\kappa }^{2}(x)=1}$

κ-обратная гиперболическая функция

Обратные гиперболические функции Каниадакиса (или κ-обратные гиперболические функции) связаны с κ-логарифмом:

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccosh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arctanh}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arccoth}}_{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}$,

в котором справедливы следующие соотношения:

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {sign}}(x){\rm {arccosh}}_{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {arctanh}}_{\kappa }\left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$,

${\displaystyle {\rm {arcsinh}}_{\kappa }(x)={\rm {arccoth}}_{\kappa }\left({\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{x}}\right)}$.

κ-циклическая и κ-гиперболическая тригонометрические функции связаны следующими соотношениями:

${\displaystyle {\rm {sin}}_{\kappa }(x)=-i{\rm {sinh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {cos}}_{\kappa }(x)={\rm {cosh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {tan}}_{\kappa }(x)=-i{\rm {tanh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {cot}}_{\kappa }(x)=i{\rm {coth}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arcsin}}_{\kappa }(x)=-i\,{\rm {arcsinh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arccos}}_{\kappa }(x)\neq -i\,{\rm {arccosh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arctan}}_{\kappa }(x)=-i\,{\rm {arctanh}}_{\kappa }(ix)}$,

${\displaystyle {\rm {arccot}}_{\kappa }(x)=i\,{\rm {arccoth}}_{\kappa }(ix)}$.

Энтропия Каниадакиса

Статистика Каниадакиса основана на κ-энтропии Каниадакиса, которая определяется через:

${\displaystyle S_{\kappa }{\big (}p{\big )}=-\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }{\big (}p_{i}{\big )}=\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }{\bigg (}{\frac {1}{p_{i}}}{\bigg )}}$

где – функция распределения вероятностей , определенная для случайной величины , – энтропийный индекс. ${\displaystyle p=\{p_{i}=p(x_{i});x\in \mathbb {R} ;i=1,2,...,N;\sum _{i}p_{i}=1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}$

κ-энтропия Каниадакиса термодинамически устойчива и устойчива по Леше ^{[19] [20]} и подчиняется аксиомам Шеннона-Хинчина непрерывности, максимальности, обобщенной аддитивности и расширяемости.

Распределения Каниадакиса

Распределение Каниадакиса (или κ -распределение ) — это распределение вероятностей , полученное в результате максимизации энтропии Каниадакиса при соответствующих ограничениях. В связи с этим появляется несколько вероятностных распределений для анализа широкого спектра феноменологии, связанной с экспериментальными степенными статистическими распределениями.

κ-Экспоненциальное распределение

κ-гауссово распределение

κ-гамма-распределение

κ-распределение Вейбулла

κ-Логистическое распределение

Интегральное преобразование Каниадакиса

κ-преобразование Лапласа

Преобразование Каниадакиса Лапласа (или κ-преобразование Лапласа) представляет собой κ-деформированное интегральное преобразование обычного преобразования Лапласа . Преобразование κ-Лапласа преобразует функцию действительной переменной в новую функцию в комплексной частотной области, представленную комплексной переменной . Это κ-интегральное преобразование определяется как: ^[21] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F_{\kappa }(s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle F_{\kappa }(s)={\cal {L}}_{\kappa }\{f(t)\}(s)=\int _{\,0}^{\infty }\!f(t)\,[\exp _{\kappa }(-t)]^{s}\,dt}$

Обратное κ-преобразование Лапласа определяется формулой:

${\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)={{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!F_{\kappa }(s)\,{\frac {[\exp _{\kappa }(t)]^{s}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}}\,ds}}$

Обычное преобразование Лапласа и его обратное преобразование восстанавливаются как . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Характеристики

Пусть две функции и и их соответствующие преобразования κ-Лапласа и , в следующей таблице представлены основные свойства преобразования κ-Лапласа: ^[21] ${\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)}$ ${\displaystyle g(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{G_{\kappa }(s)\}(t)}$ ${\displaystyle F_{\kappa }(s)}$ ${\displaystyle G_{\kappa }(s)}$

Преобразования κ-Лапласа, представленные в последней таблице, сводятся к соответствующим обычным преобразованиям Лапласа в классическом пределе . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

κ-преобразование Фурье

Преобразование Фурье Каниадакиса (или κ-преобразование Фурье) представляет собой κ-деформированное интегральное преобразование обычного преобразования Фурье , которое согласуется с κ-алгеброй и κ-исчислением. κ-преобразование Фурье определяется как: ^[22]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,\exp _{\kappa }(-x\otimes _{\kappa }\omega )^{i}\,d_{\kappa }x}$

который можно переписать как

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,{\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}}) \over {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,dx}$

где и . κ-преобразование Фурье обеспечивает асимптотически логарифмически периодическое поведение за счет деформации параметров и в дополнение к коэффициенту затухания, а именно . ${\displaystyle x_{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa \,x)}$ ${\displaystyle \omega _{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,{\rm {arcsinh}}\,(\kappa \,\omega )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}$

Действительная (верхняя панель) и мнимая (нижняя панель) части ядра для типичных -значений и . ${\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \omega =1}$

Ядро κ-преобразования Фурье задается формулой:

${\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )={\frac {\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}})}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}$

Обратное κ-преобразование Фурье определяется как: ^[22]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[{\hat {f}}(\omega )](x)={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }{\hat {f}}(\omega )\,\exp _{\kappa }(\omega \otimes _{\kappa }x)^{i}\,d_{\kappa }\omega }$

Пусть , в следующей таблице показаны κ-преобразования Фурье нескольких известных функций: ^[22] ${\displaystyle u_{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\cosh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

κ-деформированная версия преобразования Фурье сохраняет основные свойства обычного преобразования Фурье, как показано в следующей таблице.

Свойства κ-преобразования Фурье, представленные в последней таблице, сводятся к соответствующим обычным преобразованиям Фурье в классическом пределе . ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Смотрите также

• Джорджио Каниадакис
• Распространение Каниадакиса
• κ-Экспоненциальное распределение Каниадакиса
• κ-гауссово распределение Каниадакиса
• κ-гамма-распределение Каниадакиса
• Распределение Каниадакиса κ-Вейбулла
• Каниадакис κ-Логистическое распределение
• Распределение Каниадакиса κ-Эрланга

Рекомендации

•  В эту статью включен текст, доступный по лицензии CC BY 3.0.

1. Каниадакис, Г. (2009). «Релятивистская энтропия и связанная с ней кинетика Больцмана». Европейский физический журнал А. 40 (3): 275–287. arXiv : 0901.1058 . Бибкод : 2009EPJA...40..275K. дои : 10.1140/epja/i2009-10793-6. ISSN  1434-6001. S2CID  119190011.
2. Каниадакис, Г. (2002). «Статистическая механика в контексте специальной теории относительности». Физический обзор E . 66 (5): 056125. arXiv : cond-mat/0210467 . Бибкод : 2002PhRvE..66e6125K. doi : 10.1103/PhysRevE.66.056125. ISSN  1063-651X. PMID  12513574. S2CID  45635888.
3. Каниадакис, Г. (2005). «Статистическая механика в контексте специальной теории относительности. II». Физический обзор E . 72 (3): 036108. arXiv : cond-mat/0507311 . Бибкод : 2005PhRvE..72c6108K. doi : 10.1103/PhysRevE.72.036108. ISSN  1539-3755. PMID  16241516. S2CID  18115408.
4. Каниадакис, Г. (2011). «Степенные статистические распределения и преобразования Лоренца». Буквы по физике А. 375 (3): 356–359. arXiv : 1110.3944 . Бибкод : 2011PhLA..375..356K. doi :10.1016/j.physleta.2010.11.057. ISSN  0375-9601. S2CID  118435479.
5. Каниадакис, Г. (2001). «Нелинейная кинетика, лежащая в основе обобщенной статистики». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 296 (3): 405–425. arXiv : cond-mat/0103467 . Бибкод : 2001PhyA..296..405K. дои : 10.1016/S0378-4371(01)00184-4. ISSN  0378-4371. S2CID  44275064.
6. Каниадакис, Г. (2009). «Принцип максимальной энтропии и степенные хвостовые распределения». Европейский физический журнал Б. 70 (1): 3–13. arXiv : 0904.4180 . Бибкод : 2009EPJB...70....3K. doi : 10.1140/epjb/e2009-00161-0. ISSN  1434-6028. S2CID  55421804.
7. Каниадакис, Г. (2021). «Новые степенные распределения, возникающие в κ-статистике (а)». Письма по еврофизике . 133 (1): 10002. arXiv : 2203.01743 . Бибкод : 2021EL....13310002K. дои : 10.1209/0295-5075/133/10002. ISSN  0295-5075. S2CID  234144356.
8. Карвальо, JC; Сильва, Р.; до Насименту-младший, доктор юридических наук; Де Медейрос-младший (2008). «Степенная статистика и скорости вращения звезд в Плеядах». EPL (Письма по еврофизике) . 84 (5): 59001. arXiv : 0903.0836 . Бибкод : 2008EL.....8459001C. дои : 10.1209/0295-5075/84/59001. ISSN  0295-5075. S2CID  7123391.
9. Кюре, Мишель; Риал, Диего Ф.; Кристен, Алехандра; Кассетти, Джулия (2014). «Метод деконволюции скоростей вращения звезд». Астрономия и астрофизика . 565 : А85. arXiv : 1401.1054 . Бибкод : 2014A&A...565A..85C. дои : 10.1051/0004-6361/201323344. ISSN  0004-6361. S2CID  59375612.
10. Ураба, Камель; Хамичи-Бендимерад, Амель Хиба; Трибеш, Мулуд (2015). «Квантовая запутанность и энтропия Каниадакиса». Физика Скрипта . 90 (4): 045101. Бибкод : 2015PhyS...90d5101O. дои : 10.1088/0031-8949/90/4/045101. ISSN  0031-8949. S2CID  123776127.
11. Абреу, Эвертон MC; Анания Нето, Хорхе; Мендес, Альберт ЧР; де Паула, Родриго М. (2019). «Параметр петлевой квантовой гравитации Иммирзи и статистика Каниадакиса». Хаос, солитоны и фракталы . 118 : 307–310. arXiv : 1808.01891 . Бибкод : 2019CSF...118..307A. дои :10.1016/j.chaos.2018.11.033. ISSN  0960-0779. S2CID  119207713.
12. Христопулос, Дионисиос Т.; Петракис, Манолис П.; Каниадакис, Джорджио (2014). «Эффекты конечного размера на распределения интервалов возврата для систем масштабирования слабейшего звена». Физический обзор E . 89 (5): 052142. arXiv : 1308.1881 . Бибкод : 2014PhRvE..89e2142H. doi : 10.1103/PhysRevE.89.052142. ISSN  1539-3755. PMID  25353774. S2CID  22310350.
13. да Силва, Сержио Луис EF (2021). «κ-обобщенный закон Гутенберга – Рихтера и самоподобие землетрясений». Хаос, солитоны и фракталы . 143 : 110622. Бибкод : 2021CSF...14310622D. дои : 10.1016/j.chaos.2020.110622. ISSN  0960-0779. S2CID  234063959.
14. Соуза, NTCM; Ансельмо, DHAL; Сильва, Р.; Васконселос, Миссисипи; Мелло, В.Д. (2014). «κ-статистический анализ Y-хромосомы». EPL (Письма по еврофизике) . 108 (3): 38004. дои : 10.1209/0295-5075/108/38004. ISSN  0295-5075. S2CID  122456729.
15. Коста, Миссури; Сильва, Р.; Ансельмо, DHAL; Сильва, JRP (2019). «Анализ ДНК человека с помощью степенной статистики». Физический обзор E . 99 (2): 022112. Бибкод : 2019PhRvE..99b2112C. doi : 10.1103/PhysRevE.99.022112. ISSN  2470-0045. PMID  30934358. S2CID  91186653.
16. Клементи, Фабио; Галлегати, Мауро; Каниадакис, Джорджио (2012). «Новая модель распределения доходов: κ-обобщенное распределение». Журнал экономики . 105 (1): 63–91. дои : 10.1007/s00712-011-0221-0. hdl : 11393/73598 . ISSN  0931-8658. S2CID  155080665.
17. Тривеллато, Барбара (2013). «Деформированные экспоненты и приложения к финансам». Энтропия . 15 (12): 3471–3489. Бибкод : 2013Entrp..15.3471T. дои : 10.3390/e15093471 . ISSN  1099-4300.
18. Каниадакис, Джорджио; Балди, Мауро М.; Дейсбоек, Томас С.; Гризолия, Джулия; Христопулос, Дионисиос Т.; Скарфоне, Антонио М.; Спаравинья, Амелия; Вада, Тацуаки; Люсия, Умберто (2020). «К-статистический подход к эпидемиологии». Научные отчеты . 10 (1): 19949. arXiv : 2012.00629 . Бибкод : 2020NatSR..1019949K. дои : 10.1038/s41598-020-76673-3. ISSN  2045-2322. ПМЦ 7673996 . ПМИД  33203913. 
19. Абэ, С.; Каниадакис, Г.; Скарфон, AM (2004) [2004]. «Стабильности обобщенной энтропии». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (44): 10513–10519. arXiv : cond-mat/0401290 . Бибкод : 2004JPhA...3710513A. дои : 10.1088/0305-4470/37/44/004. S2CID  16080176.
20. Каниадакис, Г. (2001). «H-теорема и обобщенная энтропия в рамках нелинейной кинетики». Буквы по физике А. 288 (5–6): 283–291. arXiv : cond-mat/0109192 . Бибкод : 2001PhLA..288..283K. дои : 10.1016/S0375-9601(01)00543-6. S2CID  119445915.
21. Каниадакис, Джорджио (25 сентября 2013 г.). «Теоретические основы и математический формализм степенных статистических распределений». Энтропия . 15 (12): 3983–4010. arXiv : 1309.6536 . Бибкод : 2013Entrp..15.3983K. дои : 10.3390/e15103983 . ISSN  1099-4300.
22. Scarfone, AM (2017). «κ -деформированное преобразование Фурье». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 480 : 63–78. arXiv : 2206.06869 . Бибкод : 2017PhyA..480...63S. doi :10.1016/j.physa.2017.03.036. S2CID  126079408.

Внешние ссылки

• Страница Джорджио Каниадакиса в Google Scholar
• Статистика Каниадакиса на arXiv.org