В математике кардинал Рамсея — это определенный вид большого кардинального числа, введенный Эрдёшем и Хайналом (1962) и названный в честь Фрэнка П. Рэмси , чья теорема, называемая теоремой Рамсея, устанавливает, что ω обладает определенным свойством, которое кардиналы Рамсея обобщают на несчетное число. случай.
Пусть [ κ ] <ω обозначает множество всех конечных подмножеств κ . Кардинальное число κ называется Рамсеем, если для любой функции
существует множество A мощности κ , однородное по f . То есть для каждого n функция f постоянна на подмножествах мощности n из A. Кардинал κ называется невыразимо Рэмси, если A можно выбрать как стационарное подмножество κ . Кардинал κ называется практически Рамсеем , если для любой функции
существует C , замкнутое и неограниченное подмножество κ , так что для каждого λ в C несчетной конфинальности существует неограниченное подмножество λ , однородное для f ; немного более слабым является понятие почти Рамсея, где требуются однородные множества для f порядка типа λ для любого λ < κ .
Существования любого из этих кардиналов Рамсея достаточно, чтобы доказать существование 0 # или даже то, что каждое множество с рангом меньше κ имеет острое .
Каждый измеримый кардинал является кардиналом Рэмси, а каждый кардинал Рэмси — кардиналом Роуботтома .
Промежуточным по силе свойством между рамсеевостью и измеримостью является существование κ -полного нормального неглавного идеала I на κ такого, что для любого A ∉ I и для любой функции
существует множество B ⊂ A , не принадлежащее I , однородное по f . Это строго сильнее, чем κ , невыразимо Рэмси.
Существование кардинала Рамсея влечет за собой существование 0 # , а это, в свою очередь, означает ложность аксиомы конструктивности Курта Гёделя .
Регулярный кардинал κ является Рамсеем тогда и только тогда, когда [1] [ нужен лучший источник ] для любого множества A ⊂ κ существует транзитивное множество M ⊨ ZFC - (т. е. ZFC без аксиомы набора степеней) размера κ с A ∈ M и неглавный ультрафильтр U на булевой алгебре P(κ) ∩ M такие, что: