Касательные линии к окружностям

Линия, касающаяся окружности ровно в одной точке.

В евклидовой плоской геометрии касательная линия к окружности — это линия , которая касается окружности ровно в одной точке , никогда не заходя внутрь окружности. Касательные линии к окружностям составляют предмет нескольких теорем и играют важную роль во многих геометрических конструкциях и доказательствах . Поскольку касательная к окружности в точке P перпендикулярна радиусу этой точки, теоремы , включающие касательные, часто включают радиальные линии и ортогональные окружности.

Касательные линии к одной окружности

Касательная t к окружности C пересекает окружность в одной точке T . Для сравнения: секущие линии пересекают окружность в двух точках, тогда как другая линия может вообще не пересекать окружность. Это свойство касательных линий сохраняется при многих геометрических преобразованиях , таких как масштабирование , вращение , перемещение , инверсия и картографические проекции . Говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательной линии и окружности, даже если линия и окружность могут быть деформированы.

Радиус круга перпендикулярен касательной, проходящей через его конечную точку на окружности круга. И наоборот, перпендикуляр к радиусу, проходящий через ту же конечную точку, является касательной. Полученная геометрическая фигура из круга и касательной имеет зеркальную симметрию относительно оси радиуса.

По теореме о степени точки произведение длин PM · PN для любого луча PMN равно квадрату PT , длины касательного отрезка (красный).

Никакую касательную линию нельзя провести через точку внутри круга, поскольку любая такая линия должна быть секущей. Однако к окружности можно провести две касательные линии из точки P вне окружности. Геометрическая фигура круга и обеих касательных линий также обладает отражательной симметрией относительно радиальной оси, соединяющей P с центральной точкой O круга. Таким образом, длины отрезков от P до двух точек касания равны. По теореме о секущем-касательном квадрат этой касательной длины равен степени точки P в окружности C. Эта степень равна произведению расстояний от P до любых двух точек пересечения окружности с секущей линией, проходящей через P.

Угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, принадлежащей хорде.

Касательная линия t и точка касания T имеют сопряженные отношения друг с другом, что было обобщено в идею полюсных точек и полярных линий . Такое же взаимное отношение существует между точкой P вне круга и секущей линией, соединяющей две точки касания.

Если точка P является внешней по отношению к кругу с центром O и если касательные линии, проходящие из P, касаются круга в точках T и S , то ∠ TPS и ∠ TOS являются дополнительными (в сумме равны 180 °).

Если хорда TM проведена из точки касания T внешней точки P и ∠ PTM ≤ 90° , то ∠ PTM = ½ ∠ TOM .

Декартово уравнение

Предположим, что уравнение окружности в декартовых координатах имеет центр в точке ( a , b ) . Тогда касательная к окружности в точке ( x ₁ , y ₁ ) имеет декартово уравнение ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$

$${\displaystyle (x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0}$$

Это можно доказать, взяв неявную производную окружности. Предположим, что окружность имеет уравнение, и мы находим наклон касательной в точке ( x ₁ , y ₁ ) , где мы начинаем с принятия неявной производной по x : ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},}$ ${\displaystyle (x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {}{(}}x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}}$$

Теперь, когда у нас есть наклон касательной линии, мы можем подставить наклон и координату точки касания в уравнение линии y = kx + m .

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}}$$

Конструкции циркуля и линейки

Сравнительно просто построить линию t , касающуюся окружности в точке T на окружности окружности:

• Линия а проводится из центра окружности О через радиальную точку Т ;
• Линия t является перпендикуляром к a .

Построение касательной к заданной окружности (черной) из заданной внешней точки ( P ).

Теорему Фалеса можно использовать для построения касательных к точке P , внешней по отношению к окружности C :

• Окружность нарисована с центром в средней точке отрезка OP , имеющего диаметр OP , где O снова является центром круга C.
• Точки пересечения T1 и T2 окружности C и новой окружности являются точками касания прямых, проходящих через _P , _{согласно} следующему аргументу.

Отрезки ОТ ₁ и ОТ ₂ являются радиусами окружности С ; поскольку оба вписаны в полукруг, они перпендикулярны отрезкам PT ₁ и PT ₂ соответственно. Но только касательная линия перпендикулярна радиальной линии. Следовательно, две прямые, идущие от P и проходящие через T ₁ и T ₂ , касаются окружности C .

Другой метод построения касательных к точке P , внешней по отношению к кругу, с использованием только линейки :

• Проведите через данную точку P любые три различные прямые , дважды пересекающие окружность.
• Пусть A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ — шесть точек пересечения, причем одна и та же буква соответствует одной и той же линии, а индекс 1 соответствует точке, ближе к P .
• Пусть D — точка пересечения прямых A ₁ B ₂ и A ₂ B ₁ ,
• Аналогично E для линий B ₁ C ₂ и B ₂ C ₁ .
• Проведите линию через D и E.
• Эта линия пересекает окружность в двух точках : F и G.
• Касательные — это прямые PF и PG . ^[1]

С аналитической геометрией

Пусть это точка окружности с уравнением. Касательная в точке P имеет уравнение , поскольку P лежит на обеих кривых и является вектором нормали к прямой. Касательная пересекает ось x в точке с ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$ ${\displaystyle ax+by=r^{2},}$ ${\displaystyle {\vec {OP}}=(a,b)^{T}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},0)}$ ${\displaystyle ax_{0}=r^{2}.}$

Касательные через точку

И наоборот, если начать с точки , то две касательные, проходящие через P ₀ , пересекают окружность в двух точках с ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},0),}$ ${\displaystyle P_{1/2}=(a,b_{\pm })}$

$${\displaystyle a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.}$$

$${\displaystyle {\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .}$$

Если точка не лежит на оси x : В векторной форме x ₀ заменяется расстоянием , а единичные базисные векторы - ортогональными единичными векторами. Тогда касательные, проходящие через точку P ₀ , касаются окружности в точках. ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ ${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ ${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$

$${\displaystyle {\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$$

• При d ₀ < r касательных не существует.
• При d ₀ = r точка P ₀ лежит на окружности и существует только одна касательная с уравнением ${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.}$
• В случае d ₀ > r имеются 2 касательные с уравнениями ${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.}$

Связь с инверсией круга : уравнение описывает инверсию круга точки. ${\displaystyle ax_{0}=r^{2}}$ ${\displaystyle (x_{0},0).}$

Связь с полюсом и полярной : полярная точка имеет уравнение ${\displaystyle (x_{0},0)}$ ${\displaystyle xx_{0}=r^{2}.}$

Касательные многоугольники

Касательный многоугольник — это многоугольник , каждая из сторон которого касается определенной окружности, называемой вписанной в нее окружностью . Каждый треугольник является касательным многоугольником, как и любой правильный многоугольник с любым количеством сторон; кроме того, на каждое число сторон многоугольника существует бесконечное число несопоставимых касательных многоугольников.

Теорема о касательном четырехугольнике и вписанные окружности

Касательный четырехугольник ABCD — замкнутая фигура с четырьмя прямыми сторонами, касающимися данной окружности C. Эквивалентно, окружность C вписана в четырехугольник ABCD . По теореме Пито суммы противоположных сторон любого такого четырехугольника равны, т. е.

$${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.}$$

Тангенциальный четырехугольник

Этот вывод следует из равенства касательных отрезков четырех вершин четырехугольника. Обозначим точки касания как P (на отрезке AB ), Q (на отрезке BC ), R (на отрезке CD ) и S (на отрезке DA ). Симметричные касательные отрезки относительно каждой точки ABCD равны:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}}$$

доказательство теоремы.

Верно и обратное: окружность можно вписать в любой четырехугольник, у которого сумма длин противоположных сторон равна одному и тому же значению. ^[2]

Эта теорема и обратная к ней имеют различное применение. Например, они сразу же показывают, что ни один прямоугольник не может иметь вписанную окружность, если он не является квадратом , и что в каждом ромбе есть вписанная окружность, тогда как в обычном параллелограмме ее нет.

Касательные линии к двум окружностям

Внешний (вверху) и внутренний (внизу) гомотетические центры S двух окружностей.

Для двух окружностей обычно существует четыре различных линии, которые касаются обеих ( биткасательная ) – если две окружности находятся вне друг друга – но в вырожденных случаях может быть любое количество от нуля до четырех двухкасательных линий; они рассматриваются ниже. Для двух из них, внешних касательных линий, круги лежат на одной стороне линии; для двух других, внутренних касательных линий, круги лежат на противоположных сторонах линии. Внешние касательные пересекаются во внешнем центре гомотетики , тогда как внутренние касательные пересекаются во внутреннем центре гомотетики. И внешний, и внутренний центры гомотетики лежат на линии центров (линии, соединяющей центры двух кругов), ближе к центру меньшего круга: внутренний центр находится на отрезке между двумя кругами, а внешний центр находится не между точками, а снаружи, со стороны центра меньшего круга. Если две окружности имеют одинаковый радиус, все еще есть четыре бикасательных, но внешние касательные параллельны, и в аффинной плоскости нет внешнего центра ; на проективной плоскости внешний гомотетический центр лежит в бесконечной точке , соответствующей наклону этих прямых. ^[3]

Внешняя касательная

Нахождение внешней касательной. Внешние касательные двух окружностей.

Красная линия, соединяющая точки ( x ₃ , y ₃ ) и ( x ₄ , y ₄ ), является внешней касательной между двумя кругами. По заданным точкам ( x ₁ , y ₁ ) , ( x ₂ , y ₂ ) точки ( x ₃ , y ₃ ) , ( x ₄ , y ₄ ) можно легко вычислить с помощью угла α :

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}}$$

Здесь R и r обозначают радиусы двух кругов, а угол α можно вычислить с помощью базовой тригонометрии. У вас α = γ − β с ^{[4] [ проверка не удалась – см. обсуждение ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\pm \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$$

atan2 —

Внешние касательные к двум окружностям

Расстояния между центрами ближайшего и дальнего кругов O ₂ и O ₁ и точкой пересечения двух внешних касательных двух кругов ( гомотетический центр ), S соответственно, можно определить с помощью подобия следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}}$$

rr ₁r ₂O ₂O ₁dO ₁ O ₂

Внутренняя касательная

Внутренняя касательная. Внешние касательные проходят через внутренний гомотетический центр.

Внутренняя касательная — это касательная, пересекающая отрезок, соединяющий центры двух окружностей. Обратите внимание, что внутренняя касательная не будет определена в случаях, когда две окружности перекрываются.

Строительство

Бикасательные линии можно построить либо путем построения гомотетических центров, как описано в этой статье, а затем построения касательных линий, проходящих через гомотетический центр, касающийся одной окружности, одним из методов, описанных выше. Полученная линия будет касательной и к другому кругу. Альтернативно, касательные линии и точки касания могут быть построены более прямым способом, как подробно описано ниже. Заметим, что в вырожденных случаях эти конструкции разрушаются; для упрощения изложения это не обсуждается в этом разделе, но такая форма конструкции может работать в предельных случаях (например, две окружности, касающиеся в одной точке).

Синтетическая геометрия

Пусть O ₁ и O ₂ будут центрами двух кругов, C ₁ и C ₂ , и пусть r ₁ и r ₂ будут их радиусами , при этом r ₁ > r ₂ ; другими словами, круг C ₁ определяется как больший из двух кругов. Для построения внешних и внутренних касательных линий можно использовать два разных метода.

Внешние касательные

Построение внешней касательной

Нарисован новый круг C ₃ радиуса r ₁ − r _{2 с центром в} O ₁ . Используя описанный выше метод, от O ₂ рисуются две линии , касающиеся этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, поскольку ситуация соответствует сжатию обеих окружностей C ₁ и C ₂ на постоянную величину r ₂ , что сжимает C ₂ до точки. Две радиальные линии можно провести из центра O1 через точки касания _на C3 _; они пересекают C ₁ в нужных точках касания. Желаемые внешние касательные линии представляют собой линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в тех точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Внутренние касательные

Построение внутренней касательной

Нарисован новый круг C ₃ радиуса r ₁ + r _{2 с центром в} O ₁ . Используя описанный выше метод, от O ₂ рисуются две линии , касающиеся этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, поскольку ситуация соответствует сжатию C ₂ до точки при расширении C ₁ на постоянную величину r ₂ . Две радиальные линии можно провести из центра O1 через точки касания _на C3 _; они пересекают C ₁ в нужных точках касания. Желаемые внутренние касательные линии представляют собой линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в тех точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Аналитическая геометрия

Пусть круги имеют центры c ₁ = ( x ₁ , y ₁ ) и c ₂ = ( x ₂ , y ₂ ) с радиусами r ₁ и r ₂ соответственно. Выражая линию уравнением с нормализацией, тогда бикасательная линия удовлетворяет условию: ${\displaystyle ax+by+c=0,}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}}$$

( a , b , c )

$${\displaystyle a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)}$$

$${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}}$$

$${\displaystyle \Delta r=r_{2}-r_{1}}$$

$${\displaystyle \Delta r=r_{2}+r_{1}}$$

Если расстояние от c ₁ до c ₂ , мы можем нормализовать ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$

$${\displaystyle X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}}$$

k = ±1

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}}$$

( X , Y ) — единичный вектор, указывающий от c ₁ до c ₂ , а R — это cos θ , где θ — угол между линией центров и касательной линией. Тогда sin θ равен (в зависимости от знака θ , что эквивалентно направлению вращения), а приведенные выше уравнения представляют собой вращение ( X , Y ) на ± θ с использованием матрицы вращения: ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-R^{2}}}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}}$$

• k = 1 — касательная линия справа от кругов, идущая от c ₁ к c ₂ .
• k = −1 — касательная линия справа от окружностей, идущая от c ₂ к c ₁ .

Вышеупомянутое предполагает, что каждый круг имеет положительный радиус. Если r ₁ положительный, а r ₂ отрицательный, то c ₁ будет лежать слева от каждой линии, а c ₂ справа, и две касательные линии пересекутся. Таким образом получены все четыре решения. Знаки переключения обоих радиусов переключаются на k = 1 и k = −1 .

Векторы

Нахождение внешней касательной. Касательные окружности.

В общем случае точки касания t ₁ и t ₂ четырех прямых, касающихся двух окружностей с центрами v ₁ и v ₂ и радиусами r ₁ и r _2, определяются путем решения одновременных уравнений:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}}$$

Эти уравнения выражают, что касательная линия, параллельная радиусам , перпендикулярна радиусам и что точки касания лежат на соответствующих окружностях. ${\displaystyle t_{2}-t_{1},}$

Это четыре квадратных уравнения с двумя двумерными векторными переменными, которые в общем положении будут иметь четыре пары решений.

Вырожденные случаи

Две отдельные окружности могут иметь от нуля до четырех касательных линий, в зависимости от конфигурации; их можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусами. При счете с кратностью (дважды считая общую касательную) получается ноль, две или четыре бикасательных линии. Бикасательные линии также можно обобщить до кругов отрицательного или нулевого радиуса. Вырожденные случаи и кратности также можно понимать в терминах пределов других конфигураций - например, предел двух окружностей, которые почти соприкасаются, и движущегося одного так, что они соприкасаются, или круга малого радиуса, сжимающегося до круга нулевого радиуса. .

• Если окружности находятся вне друг друга ( ), что является общим положением , имеется четыре бикасательных. ${\displaystyle d>r_{1}+r_{2}}$
• Если они соприкасаются снаружи в одной точке ( ) – имеют одну точку внешнего касания – тогда у них есть две внешние бикасательные и одна внутренняя битангенс, а именно общая касательная линия. Эта общая касательная линия имеет кратность два, поскольку она разделяет круги (один слева, один справа) для любой ориентации (направления). ${\displaystyle d=r_{1}+r_{2}}$
• Если окружности пересекаются в двух точках ( ), то у них нет внутренних битангенсов и двух внешних битангенсов (их нельзя разделить, потому что они пересекаются, а значит, нет внутренних битангенсов). ${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}}$
• Если окружности соприкасаются внутри в одной точке ( ) – имеют одну точку внутреннего касания – тогда у них нет внутренних бикасательных и есть одна внешняя бикасательная линия, а именно общая касательная линия, которая имеет кратность два, как указано выше. ${\displaystyle d=|r_{1}-r_{2}|}$
• Если один круг полностью находится внутри другого ( ), то у них нет бикасательных, поскольку касательная к внешнему кругу не пересекает внутренний круг, или, наоборот, касательная к внутреннему кругу является секущей линией к внешнему кругу. ${\displaystyle d<|r_{1}-r_{2}|}$

Наконец, если две окружности идентичны, любая касательная к окружности является общей касательной и, следовательно, (внешней) бикасательной, поэтому существует количество бикасательных окружности.

Кроме того, понятие двухкасательных линий можно распространить на круги с отрицательным радиусом (то же геометрическое положение точек, но рассматриваемое «наизнанку»), и в этом случае, если радиусы имеют противоположный знак (один круг имеет отрицательный радиус, а другой - положительный радиус) внешний и внутренний гомотетические центры, а также внешний и внутренний битангенсы меняются местами, при этом если радиусы имеют одинаковый знак (оба положительных радиуса или оба отрицательных радиуса), то «внешний» и «внутренний» имеют один и тот же обычный смысл (переключение одного знака переключается их, поэтому переключение обоих переключает их обратно). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},}$

Бикасательные линии также могут быть определены, если одна или обе окружности имеют нулевой радиус. В этом случае окружность нулевого радиуса является двойной точкой, и, следовательно, любая линия, проходящая через нее, пересекает точку с кратностью два и, следовательно, является «касательной». Если одна окружность имеет нулевой радиус, бикасательная линия — это просто линия, касающаяся окружности и проходящая через точку, и учитывается с кратностью два. Если обе окружности имеют нулевой радиус, то бикасательная линия — это линия, которую они определяют, и учитывается с кратностью четыре.

Обратите внимание, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний гомотетические центры, как правило, все еще существуют (внешний центр находится на бесконечности, если радиусы равны), за исключением случаев, когда окружности совпадают, и в этом случае внешний центр не определен, или если обе окружности имеют нулевой радиус, и в этом случае внутренний центр не определен.

Приложения

Проблема с ремнем

Внутренние и внешние касательные полезны при решении задачи о ремне , которая заключается в расчете длины ремня или веревки, необходимой для плотного прилегания к двум шкивам. Если ремень рассматривать как математическую линию незначительной толщины и если предполагается, что оба шкива лежат в одной и той же плоскости, проблема сводится к суммированию длин соответствующих отрезков касательных линий с длинами дуг окружностей, стянутых пояс. Если ремень обернут вокруг колес так, чтобы перекрещиваться, важны внутренние отрезки касательной линии. И наоборот, если ремень обернут снаружи вокруг шкивов, важны внешние сегменты касательных линий; этот случай иногда называют проблемой шкива .

Касательные к трем окружностям: теорема Монжа

Для трех кругов, обозначенных C ₁ , C ₂ и C ₃ , существует три пары кругов ( C ₁ C ₂ , C ₂ C ₃ и C ₁ C ₃ ). Поскольку каждая пара окружностей имеет два гомотетичных центра, всего гомотетических центров шесть . Гаспар Монж показал в начале 19 века, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, каждая из которых имеет три точки, лежащие на одной прямой.

Проблема Аполлония

Анимация, показывающая обратное преобразование задачи Аполлония. Синий и красный круги расширяются до соприкосновения и инвертируются в сером круге, образуя две прямые линии. Желтые решения находятся путем перемещения круга между ними до тех пор, пока он не коснется преобразованного зеленого круга изнутри или снаружи.

Многие частные случаи задачи Аполлония связаны с поиском окружности, касающейся одной или нескольких прямых. Самый простой из них — построение окружностей, касающихся трех заданных прямых ( задача ЛЛЛ ). Чтобы решить эту проблему, центр любого такого круга должен лежать на биссектрисе любой пары прямых; для каждого пересечения двух прямых есть две биссектрисы угла. Пересечения этих биссектрис дают центры кругов решения. Всего таких кругов четыре: вписанный круг треугольника, образованный пересечением трех линий, и три выписанных круга.

Общую задачу Аполлония можно преобразовать в более простую задачу о окружности, касательной к одной окружности и двум параллельным прямым (что само по себе является частным случаем особого случая LLC ). Для этого достаточно масштабировать две из трех данных окружностей до тех пор, пока они не соприкоснутся, т. е. не станут касательными. Инверсия точки их касания относительно окружности соответствующего радиуса превращает две соприкасающиеся данные окружности в две параллельные прямые, а третью данную окружность в другую окружность . Таким образом, решения можно найти, перемещая круг постоянного радиуса между двумя параллельными линиями до тех пор, пока он не коснется преобразованного третьего круга. Повторное обращение дает соответствующие решения исходной задачи.

Обобщения

Понятие касательной линии и точки касания можно обобщить на полюсную точку Q и соответствующую ей полярную линию q . Точки P и Q являются обратными друг другу относительно окружности.

Понятие касательной к одной или нескольким окружностям можно обобщить несколькими способами. Во-первых, сопряженные отношения между точками касания и касательными линиями могут быть обобщены на точки полюса и полярные линии , в которых точки полюса могут находиться где угодно, а не только на окружности круга. Во-вторых, объединение двух окружностей является частным ( приводимым ) случаем плоской кривой четвертой степени , а внешняя и внутренняя касательные являются биткасательными к этой кривой четвертой степени. Общая кривая четвертой степени имеет 28 биткасательных.

Третье обобщение рассматривает касательные круги, а не касательные линии; касательную линию можно рассматривать как касательную окружность бесконечного радиуса. В частности, внешние касательные к двум окружностям являются предельными случаями семейства окружностей, которые внутренне или внешне касаются обеих окружностей, а внутренние касательные представляют собой предельные случаи семейства окружностей, которые внутренне или внешне касаются одной окружности. к другому из двух кругов. ^[5]

В Мёбиусе или инверсивной геометрии линии рассматриваются как круги, проходящие через точку «на бесконечности», и для любой линии и любого круга существует преобразование Мёбиуса , которое отображает одно в другое. В геометрии Мёбиуса касание прямой и окружности становится частным случаем касания двух окружностей. Эта эквивалентность расширяется далее в геометрии сферы Ли .

Радиус и касательная перпендикулярны в точке окружности и гиперболически-ортогональны в точке единичной гиперболы . Параметрическое представление единичной гиперболы через радиус-вектор: p ( a ) = (cosh a , sinh a ) . Производная p ( a ) указывает в направлении касательной в точке p ( a ) и равна. Радиус и касательная гиперболически ортогональны в точке a, поскольку p ( a ) и являются отражением друг друга в асимптоте y = x единичная гипербола. При интерпретации как расщепленные комплексные числа (где jj = +1 ) эти два числа удовлетворяют ${\displaystyle {\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).}$ ${\displaystyle {\tfrac {dp}{da}}}$ ${\displaystyle jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.}$

Рекомендации

1. «Нахождение касательных к окружности с помощью линейки». Обмен стеками . 15 августа 2015 г.
2. Александр Богомольный «Когда четырехугольник не пишется?» в «Разрезать узел»
3. Пол Канкель. «Касательные круги». Whistleralley.com . Проверено 29 сентября 2008 г.
4. Либескинд, Шломо (2007), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование , стр. 110–112.( онлайн-копия , стр. 110, в Google Книгах )
5. Кункель, Пол (2007), «Проблема касания Аполлония: три взгляда» (PDF) , Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики , 22 (1): 34–46, doi : 10.1080/17498430601148911 , S2CID  122408307

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Касательные к одной окружности». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Касательные к двум окружностям». Математический мир .