каталонский твердый

Построение ромбододекаэдра , двойственного многогранника кубооктаэдра , по Дорману Люку

Каталонские тела — это двойственный многогранник Архимедовых тел , набор из тринадцати многогранников с высокосимметричными формами полуправильных многогранников, в которых две или более многоугольных их граней встречаются в вершине. ^[1] Многогранник может иметь двойственный многогранник, имея соответствующие вершины граням другого многогранника, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. ^[2] Один из способов построения каталонских тел — использовать метод построения Дормана Люка . ^[3]

Эти тела являются гране-транзитивными или изоэдральными, потому что их грани транзитивны друг к другу, но они не вершинно-транзитивны, потому что их вершины не транзитивны друг к другу. Их двойственные, архимедовы тела, являются вершинно-транзитивными, но не гране-транзитивными. Каждое из них имеет постоянные двугранные углы , что означает, что угол между любыми двумя соседними гранями одинаков. ^[1] Кроме того, оба каталонских тела ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр являются реберно-транзитивными , что означает, что между любыми двумя ребрами существует изометрия , сохраняющая симметрию целого. ^{[ необходима цитата ]} Эти тела также были открыты Иоганном Кеплером во время изучения зоноэдров , пока Эжен Каталан впервые не завершил список тринадцати тел в 1865 году. ^[4]

Пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексаконтаэдр являются хиральными , поскольку они дуальны плосконосому кубу и плосконосому додекаэдру соответственно, которые являются хиральными; то есть эти два тела не являются своими собственными зеркальными отражениями.

Одиннадцать из тринадцати каталонских тел обладают свойством Руперта (копию того же тела можно продеть через отверстие в теле). ^[5]

Ссылки

Сноски

^ ab Diudea (2018), стр. 39.
^ Веннингер (1983), стр. 1, Основные понятия о звездообразовании и двойственности.
^
- Канди и Роллетт (1961), стр. 117
- Веннингер (1983), стр. 30
^
- Диудеа (2018), стр. 39
- Мартини и Хейл (1993), стр. 352
^ Фредрикссон (2024).
^ Уильямс (1979).

Цитируемые работы

Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А.П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167.
Диудеа, М. В. (2018), Многослойные полиэдральные кластеры, Springer , doi : 10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
Фредрикссон, Альбин (2024), «Оптимизация для свойства Руперта», The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi : 10.1080/00029890.2023.2285200.
Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Хейл, Э.; Мартил, Х. (1993), «Специальные выпуклые тела», в Грубер, П.М.; Уиллс, Дж.М. (ред.), Справочник по выпуклой геометрии, Северная Голландия
Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, МР 0730208
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3-9)

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Каталонские твердые тела» .

Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские тела». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». MathWorld .
Каталонские тела – в Visual Polyhedra
Архимедовы двойственные – в виртуальной реальности Многогранники
Интерактивный каталонский Solid на Java
Ссылка для скачивания оригинальной публикации Каталана 1865 года — с прекрасными иллюстрациями, формат PDF