Зоноэдр

Выпуклый многогранник, спроецированный из гиперкуба

В геометрии зоноэдр — это выпуклый многогранник , центрально симметричный , каждая грань которого представляет собой многоугольник , центрально симметричный ( зоногон ) . Любой зоноэдр можно эквивалентно описать как сумму Минковского набора отрезков прямой в трехмерном пространстве или как трехмерную проекцию гиперкуба . Зоноэдры были впервые определены и изучены русским кристаллографом Е. С. Федоровым . В более общем смысле, в любом измерении сумма отрезков Минковского образует многогранник, известный как зонотоп .

Зоноэдры, это тайловое пространство

Первоначальная мотивация изучения зоноэдров состоит в том, что диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклые однородные соты , ячейками которых являются зоноэдры. Любой образованный таким образом зоноэдр может замощить трехмерное пространство и называется первичным параллелоэдром . Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдру ( включая куб ), шестиугольной призме , усеченному октаэдру , ромбическому додекаэдру и ромбо-шестиугольному додекаэдру .

Зоноэдры из сумм Минковского

Зонотоп — это сумма отрезков Минковского. Шестнадцать темно-красных точек (справа) образуют сумму Минковского четырех невыпуклых множеств (слева), каждое из которых состоит из пары красных точек. Их выпуклые оболочки (затенены розовым) содержат знаки плюс (+): правый знак плюс представляет собой сумму левых знаков плюс.

Пусть — набор трехмерных векторов . Каждому вектору мы можем сопоставить отрезок прямой . Сумма Минковского образует зоноэдр, и такую ​​форму имеют все зоноэдры, содержащие начало координат. Векторы, из которых формируется зоноэдр, называются его образующими . Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдров на более высокие измерения, давая зонотопы. ${\displaystyle \{v_{0},v_{1},\dots \}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$

Каждое ребро зоноэдра параллельно хотя бы одной из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Следовательно, выбрав набор образующих без параллельных пар векторов и установив равные длины всех векторов, мы можем сформировать равностороннюю версию любого комбинаторного типа зоноэдра.

Выбирая наборы векторов с высокой степенью симметрии, мы можем таким образом сформировать зоноэдры с как минимум такой же симметрией. Например, образующие, равномерно расположенные вокруг экватора сферы, вместе с другой парой образующих через полюса сферы образуют зоноэдры в виде призмы над правильными -угольниками: куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , додекагональная призма и др. Образующие, параллельные ребрам октаэдра, образуют усеченный октаэдр , а образующие, параллельные длинным диагоналям куба, образуют ромбдодекаэдр . ^[1] ${\displaystyle 2k}$

Сумма Минковского любых двух зоноэдров представляет собой еще один зоноэдр, порожденный объединением образующих двух данных зоноэдров. Таким образом, сумма Минковского куба и усеченного октаэдра образует усеченный кубооктаэдр , а сумма Минковского куба и ромбического додекаэдра образует усеченный ромбдодекаэдр . Оба этих зоноэдра просты (в каждой вершине сходятся три грани), как и усеченный малый ромбокубооктаэдр, образованный из суммы куба Минковского, усеченного октаэдра и ромбододекаэдра. ^[1]

Зоноэдры из аранжировок

Карта Гаусса любого выпуклого многогранника отображает каждую грань многоугольника в точку на единичной сфере и отображает каждое ребро многоугольника, разделяющее пару граней, в дугу большого круга , соединяющую соответствующие две точки. В случае зоноэдра ребра, окружающие каждую грань, можно сгруппировать в пары параллельных ребер, и при преобразовании через карту Гаусса любая такая пара становится парой смежных сегментов одного и того же большого круга. Таким образом, ребра зоноэдра можно сгруппировать в зоны параллельных ребер, которые соответствуют отрезкам общего большого круга на карте Гаусса, а 1- остов зоноэдра можно рассматривать как плоский двойственный граф к расположению больших кругов на сфере. И наоборот, любое расположение больших кругов может быть сформировано из карты Гаусса зоноэдра, созданной векторами, перпендикулярными плоскостям, проходящим через круги.

Таким образом, любой простой зоноэдр соответствует симплициальному устройству , в котором каждая грань представляет собой треугольник. Симплициальное расположение больших кругов через центральную проекцию соответствует симплициальному расположению прямых на проективной плоскости . Известны три бесконечных семейства симплициальных расположений, одно из которых при преобразовании в зоноэдры приводит к призмам, а два других соответствуют дополнительным бесконечным семействам простых зоноэдров. Есть также много спорадических примеров, которые не вписываются в эти три семейства. ^[2]

Из соответствия между зоноэдрами и расположениями, а также из теоремы Сильвестра–Галлаи, которая (в своей проективно-двойственной форме) доказывает существование пересечений только двух прямых в любом расположении, следует, что каждый зоноэдр имеет по крайней мере одну пару противоположных граней параллелограмма . . (Квадраты, прямоугольники и ромбы считаются для этой цели частными случаями параллелограммов.) Более того, каждый зоноэдр имеет как минимум шесть граней параллелограмма, и каждый зоноэдр имеет количество граней параллелограмма, линейное по количеству образующих. ^[3]

Виды зоноэдров

Любая призма над правильным многоугольником с четным числом сторон образует зоноэдр. Эти призмы можно построить так, что все грани будут правильными: две противоположные грани равны правильному многоугольнику, из которого образована призма, и соединены последовательностью квадратных граней. Зоноэдрами этого типа являются куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатиугольная призма и т. д.

В дополнение к этому бесконечному семейству зоноэдров с правильными гранями существуют три архимедовых тела , всеомниусечения правильных форм:

• Усеченный октаэдр с шестью квадратными и восемью шестиугольными гранями. (Всеусеченный тетраэдр)
• Усеченный кубооктаэдр с 12 квадратами, 8 шестиугольниками и 6 восьмиугольниками. (Всеусеченный куб)
• Усеченный икосододекаэдр с 30 квадратами, 20 шестиугольниками и 12 десятиугольниками. (Всеусеченный додекаэдр)

Кроме того, некоторые каталонские тела (двойники архимедовых тел) снова являются зоноэдрами:

• Ромбдодекаэдр Кеплера является двойником кубооктаэдра .
• Ромбический триаконтаэдр является двойником икосододекаэдра .

Другие с конгруэнтными ромбическими гранями:

• Ромбический додекаэдр Билинского .
• Ромбический икосаэдр
• Ромбоэдр

Существует бесконечно много зоноэдров с ромбическими гранями, не все из которых конгруэнтны друг другу. Они включают:

• Ромбический эннеаконтаэдр

Рассечение зоноэдров

Хотя, вообще говоря, неверно, что любой многогранник имеет рассечение на любой другой многогранник того же объема (см. третью задачу Гильберта ), известно, что любые два зоноэдра равных объемов можно рассечь друг на друга. ^{[ нужна цитата ]}

Зоноэдрификация

Зоноэдрификация — это процесс, определенный Джорджем Хартом для создания зоноэдра из другого многогранника. ^{[4] [5]}

Сначала вершины любого начального многогранника считаются векторами из центра многогранника. Эти векторы создают зоноэдр, который мы называем зоноэдрификацией исходного многогранника. Если затравочный многогранник имеет центральную симметрию , противоположные точки определяют одно и то же направление, поэтому количество зон в зоноэдре равно половине количества вершин затравки. Для любых двух вершин исходного многогранника существуют две противоположные плоскости зоноэдрификации, каждая из которых имеет по два ребра, параллельных векторам вершин.

Зонотопы

Сумма отрезков Минковского в любом измерении образует тип многогранника , называемый зонотопа . Эквивалентно, зонотоп, порожденный векторами, определяется как . Обратите внимание, что в частном случае , когда зонотоп является (возможно, вырожденным) параллелотопом . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle Z}$

Аспекты любого зонотопа сами по себе являются зонотопами одного более низкого измерения; например, грани зоноэдров — зоногоны . Примеры четырехмерных зонотопов включают тессеракт (суммы Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков одинаковой длины), всеусеченный 5-клеточный и усеченный 24-клеточный . Каждый пермутоэдр является зонотопом.

Зонотопы и матроиды

Зафиксируйте зонотоп , определенный из набора векторов, и пусть будет матрицей, столбцами которой являются . Тогда векторный матроид на столбцах кодирует массу информации о , то есть многие свойства носят чисто комбинаторный характер. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times n}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Например, пары противоположных граней естественным образом индексируются косхемами , и если мы рассматриваем ориентированный матроид, представленный , то мы получаем биекцию между гранями и косхемами со знаком, которая распространяется на антиизоморфизм ЧУМ между решеткой граней и ковекторы упорядочены покомпонентным расширением . В частности, если и — две матрицы, различающиеся проективным преобразованием , то их соответствующие зонотопы комбинаторно эквивалентны. Обратное к предыдущему утверждению неверно: отрезок является зонотопом и порождается обоими и соответствующими матрицами и , не отличающимися проективным преобразованием. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {M}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle 0\prec +,-}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0,2]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{2\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1~1]}$

плитки

Свойства тайлинга зонотопа также тесно связаны с ассоциированным с ним ориентированным матроидом. Сначала мы рассмотрим свойство мозаики пространства. Зонотоп называется плиточным , если существует такой набор векторов , что объединение всех трансляций ( ) есть и любые два транслята пересекаются в (возможно, пустой) грани каждого. Такой зонотоп называется зонотопом пространственной мозаики. Следующая классификация пространственно-мозаичных зонотопов принадлежит Макмаллену: ^[6] Зонотоп , порожденный векторами, мозаиками пространства, тогда и только тогда, когда соответствующий ориентированный матроид является регулярным . Таким образом, кажущееся геометрическим условие существования зонотопа, образующего мозаику пространства, на самом деле зависит только от комбинаторной структуры порождающих векторов. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z+\lambda }$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$

Другое семейство мозаик, связанных с зонотопом, — это зонотопальные мозаики . Совокупность зонотопов называется зонотопическим замощением, если это многогранный комплекс с опорой , то есть если объединение всех зонотопов коллекции есть и любые два пересекаются в общей (возможно, пустой) грани каждого. Многие изображения зоноэдров на этой странице можно рассматривать как зонотопальные мозаики двумерного зонотопа, если просто рассматривать их как плоские объекты (в отличие от плоских представлений трехмерных объектов). Теорема Боне-Дресса утверждает, что существует биекция между зонотопальными мозаиками зонотопа и одноэлементными лифтами ориентированного матроида, ассоциированного с . ^{[7] [8]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Z}$

Объем

Зоноэдры и n -мерные зонотопы в целом примечательны тем, что допускают простую аналитическую формулу для своего объема. ^[9]

Пусть – зонотоп , порожденный набором векторов . Тогда n-мерный объем определяется выражением ${\displaystyle Z(S)}$ ${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$ ${\displaystyle Z(S)}$

${\displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|}$

Определитель в этой формуле имеет смысл, поскольку (как отмечалось выше), когда мощность множества равна размерности окружающего пространства, зонотоп является параллелотопом. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Обратите внимание, что при , эта формула просто утверждает, что зонотоп имеет нулевой n-объем. ${\displaystyle k<n}$

Рекомендации

1. Эппштейн, Дэвид (1996). «Зоноэдры и зонотопы». Математика в образовании и исследованиях . 5 (4): 15–21.
2. Грюнбаум, Бранко (2009). «Каталог симплициальных расположений в реальной проективной плоскости». Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. дои : 10.26493/1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269. МР  2485643.
3. Шепард, GC (1968). «Двадцать задач о выпуклых многогранниках, часть I». Математический вестник . 52 (380): 136–156. дои : 10.2307/3612678. JSTOR  3612678. MR  0231278. S2CID  250442107.
4. «Зоноэдрификация».
5. Зоноэдрификация , Джордж У. Харт, The Mathematica Journal , 1999, Том: 7, Выпуск: 3, стр. 374-389 [1] [2]
6. Макмаллен, Питер (1975). «Космическая мозаика зонотопов». Математика . 22 (2): 202–211. дои : 10.1112/S0025579300006082.
7. Дж. Боне, Eine kombinatorische Analysis zonotopaler Raumaufteilungen, Dissertation, Bielefeld, 1992; Препринт 92-041, SFB 343, Университет Билефельда, 1992 г., 100 страниц.
8. Рихтер-Геберт, Дж., и Зиглер, GM (1994). Зонотопальные разбиения и теорема Боне-Дресса. Современная математика, 178, 211–211.
9. МакМаллен, Питер (1 мая 1984 г.). «Объемы проекций единичных кубов». Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (3): 278–280. дои : 10.1112/blms/16.3.278. ISSN  0024-6093.

• Коксетер, HS M (1962). «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм». Дж. Математика. Приложение Pures . 41 : 137–156. Перепечатано в Coxeter, HS M (1999). Красота геометрии . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. стр. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
• Федоров Е.С. (1893). «Элементы гештальтенлера». Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie . 21 : 671–694.
• Рольф Шнайдер, Глава 3.5 «Зоноиды и другие классы выпуклых тел» в книге «Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского», Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
• Шепард, GC (1974). «Зонотопы, заполняющие пространство». Математика . 21 (2): 261–269. дои : 10.1112/S0025579300008652.
• Тейлор, Джин Э. (1992). «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры». Американский математический ежемесячник . 99 (2): 108–111. дои : 10.2307/2324178. JSTOR  2324178.
• Бек, М.; Робинс, С. (2007). Вычисление непрерывного дискретно . Спрингер Сайенс+ Бизнес Медиа, ООО.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Зоноэдр». Математический мир .
• Эппштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: зоноэдры и зонотопы».
• Харт, Джордж В. «Виртуальные многогранники: зоноэдры».
• Вайсштейн, Эрик В. «Первичный параллелоэдр». Математический мир .
• Булатов Владимир. «Завершение зоноэдральных многогранников».
• Сенторе, Пол. «Глава 2 Геометрии цвета» (PDF) .