В геометрии архимедово тело — это один из 13 выпуклых многогранников , грани которых представляют собой правильные многоугольники , а вершины симметричны друг другу. Впервые их перечислил Архимед . Они принадлежат к классу выпуклых однородных многогранников , выпуклых многогранников с правильными гранями и симметричными вершинами, который делится на архимедовы тела, пять платоновых тел (каждое имеет только один тип многоугольной грани) и два бесконечных семейства призм . и антипризмы . Псевдоморомбикубооктаэдр — это дополнительный многогранник с правильными гранями и конгруэнтными вершинами, но его обычно не считают архимедовым телом, поскольку он не является вершинно -транзитивным . [1] Еще более широкий класс, чем выпуклые однородные многогранники, — это тела Джонсона , чьи правильные многоугольные грани не обязательно должны встречаться в одинаковых вершинах.
В этих многогранниках вершины идентичны в том смысле, что глобальная изометрия всего тела переводит любую вершину в любую другую. Бранко Грюнбаум (2009) заметил, что 14-й многогранник, вытянутый квадратный гиробикупола (или псевдоромбокубооктаэдр), соответствует более слабому определению архимедова тела, в котором «идентичные вершины» означают просто, что части многогранника вблизи любых двух вершин выглядят одинаковые (у них одинаковые по форме грани, сходящиеся вокруг каждой вершины в одинаковом порядке и образующие одинаковые углы). Грюнбаум указал на частую ошибку, когда авторы определяют архимедовы тела, используя некоторую форму этого локального определения, но опускают 14-й многогранник. Если необходимо указать только 13 многогранников, в определении должна использоваться глобальная симметрия многогранника, а не локальные окрестности.
Призмы и антипризмы , группами симметрии которых являются группы диэдра , обычно не считаются архимедовыми телами, хотя их грани представляют собой правильные многоугольники, а их группы симметрии действуют транзитивно на их вершинах. За исключением этих двух бесконечных семейств, существует 13 архимедовых тел. Все архимедовы тела (кроме вытянутого квадратного гиробикупола) могут быть построены с помощью конструкций Витгофа из платоновых тел с тетраэдрической , октаэдрической и икосаэдрической симметрией .
Архимедовы тела получили свое название от Архимеда , который обсуждал их в ныне утерянной работе. Папп ссылается на него, утверждая, что Архимед перечислил 13 многогранников. [2] В эпоху Возрождения художники и математики ценили чистые формы с высокой симметрией, и примерно к 1620 году Иоганн Кеплер завершил повторное открытие 13 многогранников, [3] , а также определил призмы , антипризмы и невыпуклые тела. известные как многогранники Кеплера-Пуансо . (Дополнительную информацию о повторном открытии архимедовых тел в эпоху Возрождения см. в Schreiber, Fischer & Sternath, 2008.)
Кеплер, возможно, также нашел вытянутый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр): по крайней мере, он однажды заявил, что существует 14 архимедовых тел. Однако его опубликованное перечисление включает только 13 однородных многогранников, а первое четкое заявление о существовании псевдоромбокубооктаэдра было сделано в 1905 году Дунканом Соммервиллем . [2]
Всего существует 13 архимедовых тел (не считая вытянутого квадратного гиробикупола ; 15, если считать отдельно зеркальные изображения двух энантиоморфов — курносого куба и курносого додекаэдра).
Здесь конфигурация вершин относится к типу правильных многоугольников, которые встречаются в любой заданной вершине. Например, конфигурация вершин 4.6.8 означает, что квадрат , шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (при этом порядок вокруг вершины принимается по часовой стрелке).
Некоторые определения полуправильного многогранника включают еще одну фигуру — вытянутый квадратный гиробикупол или «псевдоромбокубооктаэдр». [4]
Число вершин равно 720°, делённому на дефект угла вершины .
Кубооктаэдр и икосододекаэдр однородны по ребрам и называются квазиправильными .
Двойники архимедовых тел называются каталонскими телами . Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами это гранеоднородные тела с правильными вершинами.
Курносый куб и курносый додекаэдр известны как хиральные , поскольку они бывают левосторонней формы (лат. левоморф или левоморф) и правосторонней формы (лат. декстроморф). Когда что-то существует в нескольких формах, которые являются трехмерным зеркальным отражением друг друга , эти формы можно назвать энантиоморфами. (Эта номенклатура используется также для форм некоторых химических соединений .)
Различные архимедовы и платоновы тела можно связать друг с другом с помощью нескольких общих конструкций. Начиная с платонова тела, усечение включает в себя срезание углов. Для сохранения симметрии разрез производится в плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей угол с центром многогранника, и одинаков для всех углов. В зависимости от того, насколько усечено (см. таблицу ниже), могут быть созданы разные Платоновы, Архимедовы (и другие) тела. Если усечение достаточно глубокое, так что каждая пара граней соседних вершин имеет ровно одну общую точку, это называется выпрямлением. Расширение или кантелляция предполагает перемещение каждой грани от центра (на одинаковое расстояние, чтобы сохранить симметрию Платонова тела) и взятие выпуклой оболочки. Расширение со скручиванием также предполагает вращение граней, при этом каждый прямоугольник, соответствующий ребру, разбивается на два треугольника по одной из диагоналей прямоугольника. Последняя конструкция, которую мы здесь используем, — это усечение как углов, так и ребер. Игнорируя масштабирование, расширение также можно рассматривать как исправление исправления. Точно так же кантитуркацию можно рассматривать как усечение исправления.
Обратите внимание на двойственность куба и октаэдра, а также додекаэдра и икосаэдра. Кроме того, отчасти потому, что тетраэдр самодуален, только одно архимедово тело имеет не более чем тетраэдрическую симметрию. (Все платоновы тела обладают, по крайней мере, тетраэдрической симметрией, поскольку тетраэдрическая симметрия — это операция симметрии (т. е. включена в) октаэдрической и изоэдрической симметрии, что демонстрируется тем фактом, что октаэдр можно рассматривать как выпрямленный тетраэдр, а икосаэдр можно рассматривать как выпрямленный тетраэдр. можно использовать как курносый тетраэдр.)