Каустик (оптика)

Огибающая световых лучей, отраженных или преломленных изогнутой поверхностью/объектом

Каустика, производимая стаканом воды

В оптике каустика или каустическая сеть ^[1] — это оболочка световых лучей , которые были отражены или преломлены искривленной поверхностью или объектом, или проекция этой оболочки лучей на другую поверхность. ^[2] Каустика — это кривая или поверхность , к которой касается каждый из световых лучей , определяющая границу оболочки лучей как кривую концентрированного света. ^[2] Поэтому на фотографии справа каустики можно увидеть как блики или их яркие края. Эти формы часто имеют особенности возврата .

Нефроидная каустика на дне чашки

Каустики, сделанные на поверхности воды

Каустики на мелководье

Объяснение

Лучи, преломленные неплоской поверхностью, образуют каустики в местах пересечения многих из них.

Концентрированный свет, особенно солнечный , может вызвать ожог. Слово «каустик » на самом деле происходит от греческого καυστός, «сожженный», через латинское causticus , «горящий».

Обычная ситуация, когда каустики видны, — это когда свет падает на стакан для питья. Стекло отбрасывает тень, но также создает изогнутую область яркого света. В идеальных условиях (включая совершенно параллельные лучи, как если бы они исходили из точечного источника, находящегося в бесконечности) можно получить пятно света нефроидной формы. ^{[3] [4]} Рябь каустики обычно образуется, когда свет проходит через волны на водоеме.

Еще одна знакомая каустика — радуга . ^{[5] [6]} Рассеяние света каплями дождя приводит к тому, что свет разной длины преломляется в дуги разного радиуса, образуя лук.

Компьютерная графика

Фотография типичного каустика для бокала.

Компьютерный рендеринг каустики бокала для вина

В компьютерной графике большинство современных систем рендеринга поддерживают каустику. Некоторые из них даже поддерживают объемную каустику. Это достигается путем трассировки возможных путей светового луча с учетом преломления и отражения. Фотонное картирование является одной из реализаций этого. Объемная каустика также может быть достигнута путем объемной трассировки пути . Некоторые компьютерные графические системы работают по принципу «прямой трассировки лучей», при котором фотоны моделируются как исходящие от источника света и отражающиеся вокруг окружающей среды в соответствии с правилами. Каустики образуются в областях, где достаточное количество фотонов падает на поверхность, из-за чего она становится ярче, чем средняя область сцены. «Обратная трассировка лучей» работает обратным образом, начиная с поверхности и определяя, существует ли прямой путь к источнику света. ^[7] Некоторые примеры каустик с 3D-трассировкой лучей можно найти здесь.

В большинстве систем компьютерной графики основное внимание уделяется эстетике, а не физической точности . Это особенно верно, когда речь идет о графике в реальном времени в компьютерных играх ^[8] , где вместо физически правильных вычислений в основном используются общие предварительно рассчитанные текстуры .

Каустическая инженерия

Каустическая инженерия описывает процесс решения обратной задачи компьютерной графики. То есть по конкретному изображению определить поверхность, преломленный или отраженный свет которой формирует это изображение.

В дискретном варианте этой задачи поверхность разбивается на несколько микроповерхностей, которые считаются гладкими, т.е. свет, отраженный/преломленный каждой микроповерхностью, образует гауссову каустику. Гауссова каустика означает, что каждая микроповерхность подчиняется гауссову распределению . Положение и ориентация каждой микроповерхности затем определяются с помощью комбинации интегрирования Пуассона и моделирования отжига . ^[9]

Было много разных подходов к решению этой постоянной проблемы. Один из подходов использует идею теории транспортировки , называемую оптимальным транспортом ^[10] , для нахождения соответствия между входящими световыми лучами и целевой поверхностью. После получения такого отображения поверхность оптимизируется путем итеративной адаптации с использованием закона преломления Снелла . ^{[11] [12]}

Оптимальный дизайн каустической структуры на основе транспорта

Основной принцип

Управление каустическим рисунком является довольно сложной проблемой, поскольку даже незначительные изменения поверхности существенно влияют на качество рисунка, поскольку направления световых лучей могут мешать другим световым лучам, поскольку они пересекаются с материалом и преломляются сквозь него. Это приведет к разбросанному, прерывистому узору. Для решения этой проблемы одним из существующих предлагаемых методов управления каустическим рисунком является метод оптимального транспорта, перенаправляющий направления света при его распространении через поверхность определенного прозрачного материала . Это делается путем решения обратной задачи оптимизации на основе оптимального транспорта . ^{[13] [14]} Учитывая эталонное изображение объекта/узора, цель состоит в том, чтобы сформулировать математическое описание поверхности материала, через которую свет преломляется и сходится к аналогичному шаблону эталонного изображения. Это делается путем перестановки/пересчета начальной интенсивности света до тех пор, пока не будет достигнут минимум задачи оптимизации.

Проектирование конвейера

Здесь, рассматривая только преломляющую каустику, цель можно определить следующим образом (аналогичный принцип для отражающей каустики с другим выходом):

Входные данные: изображение узора, которое должно быть получено после распространения света через материал с учетом положения источника света.

Выходные данные: каустическая геометрия на приемнике (плоская твердая поверхность, например: пол, стена и т. д.).

Чтобы достичь целевого рисунка, поверхность, через которую свет преломляется и выходит во внешнюю среду, должна иметь определенную форму для достижения желаемого рисунка на другой стороне материала.

Как уже упоминалось, при наличии входного изображения этот процесс создаст каустический рисунок, аналогичный выходному. В принципе, существует два основных этапа, каждый из которых включает два подэтапа:

• 

  Оптимальный дизайн каустики на основе транспорта

  Решение оптимальной транспортной задачи
  1. Вычислить целевое распределение света
  2. Вычислить сопоставление исходного распределения с целевым распределением
• Оптимизация целевой поверхности
  1. Вычислить нормальное представление поверхности
  2. Уточнение поверхности

Решение оптимальной транспортной задачи

Поскольку преломление корпуса происходит через прозрачную поверхность, например, узоры, появляющиеся под чистой поверхностью воды, можно наблюдать 3 основных явления:

• Очень яркие (сгущенные по интенсивности света) точки (так называемая сингулярность )
• Кривообразные объекты, соединяющие точки
• Регионы с низкой интенсивностью освещения

Для выполнения вычислений вводятся следующие три величины соответственно для описания геометрических характеристик рисунка: точечная сингулярность (измерение интенсивности света в определенной высококонцентрированной световой точке), кривая сингулярность (измерение интенсивности света на кривой блеска или вокруг нее). и мера освещенности (измерение интенсивности в определенной плохо концентрированной световой области). Если суммировать все это, следующая функция определяет меру общего лучистого потока на определенном участке Ω на целевой поверхности: ${\displaystyle \Phi _{p}}$ ${\displaystyle \Phi _{c}}$ ${\displaystyle \Phi _{I}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$

${\displaystyle \Phi _{T}(\Omega )=\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\delta }}\Phi _{p}^{i}(\Omega )+\sum _{j=1}^{N_{\gamma }}\Phi _{c}^{j}(\Omega )+\Phi _{I}(\Omega )\displaystyle }$

После этого шага существуют две существующие меры измерения лучистого потока источника (равномерное распределение, путем инициализации) и цели (вычисленное на предыдущем шаге). Осталось вычислить сопоставление источника и цели. Для этого необходимо определить несколько величин. Во-первых, определяются две силы света, оцениваемые вероятностями: (сила света, оцениваемая путем деления на поток области объединения между и ), (сила света, оцениваемая путем деления на поток области объединения между и ). Во-вторых, исходная сетка генерируется как несколько узлов , которые в дальнейшем деформируются. Затем на этом наборе сайтов определяется диаграмма мощности (набор ячеек мощности) , взвешенная вектором весов . Наконец, цель состоит в том, чтобы решить, будут ли перемещаться какие силовые ячейки. Учитывая все вершины на поверхности, нахождение минимизатора следующей выпуклой функции создаст согласованную диаграмму мощности для цели: ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \mu _{T}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle \Phi _{S}}$ ${\displaystyle \Phi _{T}}$ ${\displaystyle s_{i}\in (\Phi _{S}\cup \Phi _{T})}$ ${\displaystyle P_{w}}$ ${\displaystyle C_{i}^{w}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega _{min}}$

${\displaystyle f(\omega )=\sum _{s_{i}\in S}(\omega _{i}.\mu _{S}(C_{i}^{0})-\int \limits _{C_{i}^{\omega }}(\|x-s_{i}\|^{2}-\omega _{i})d\mu _{T}(x))}$

Оптимизация целевой поверхности

Процесс расчета

После решения оптимальной транспортной задачи вершины достигаются. Однако это не дает никакой информации о том, как должна выглядеть конечная поверхность. Чтобы достичь желаемой целевой поверхности с учетом входящего луча света , исходящего луча света и диаграммы мощности из предыдущего шага, представление нормалей поверхности можно вычислить в соответствии с законом Снелла как: ${\displaystyle d_{I}}$ ${\displaystyle d_{O}}$

${\displaystyle n=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta d_{T}\rVert }=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta {(x_{R}-x) \over ||x_{R}-x||}\rVert }}$

где,

${\displaystyle \eta }$: коэффициент преломления

${\displaystyle x_{R}}$: целевая позиция, полученная в результате решения описанной выше оптимальной транспортной задачи.

Когда получается нормальное представление, измельчение поверхности достигается за счет минимизации следующей составной функции энергии :

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\omega \,\cdot [E_{int},\,E_{dir},\,E_{flux},\,E_{reg},\,E_{bar}]}$

где,

${\displaystyle E_{int}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert n_{o}-n\rVert _{2}^{2}}$— это энергия интегрирования, которая выравнивает нормали вершин, полученные в результате оптимального транспорта, с целевыми нормалями, полученными в результате вычислений по закону Снелла, приведенных выше. ${\displaystyle n_{o}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{dir}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert x-{\textbf {proj}}_{(x_{S},\,d_{I})}(x)\rVert _{2}^{2}}$поскольку сетка, созданная на этапе «Решение оптимального транспорта», не может адаптироваться к резким участкам разрывов, эта энергия предназначена для того, чтобы наказать вершины, чтобы они не изменялись существенно от входящего луча света.

${\displaystyle E_{flux}=\sum _{t\in M_{T}}\lVert \Phi _{T}(t)-\Phi _{S}(t_{s})\rVert _{2}^{2}}$— энергия, измеряющая поток через треугольник в сетке. ${\displaystyle t}$

${\displaystyle E_{reg}=\lVert {\textbf {L}}{\textbf {X}}\rVert _{2}^{2}}$— это энергия, которая приводит в порядок форму треугольников, сохраняя ее правильную форму.

${\displaystyle E_{bar}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert max(0,-log((1-n_{R}.(x-x_{R}))+d_{TH})\rVert ^{2}}$— энергия барьера, гарантирующая, что поверхность не деформируется за пределами определенного порога расстояния . ${\displaystyle d_{TH}}$

Дифференцируемый обратный рендеринг каустического рисунка

Основной принцип

Обратная графика — это метод наблюдения за данными изображения и определения всех возможных свойств, включая трехмерную геометрию, освещение, материалы и движение, для создания реалистичного изображения. ^[15] В обычной компьютерной графике для визуализации изображения с желаемым внешним видом и эффектами ему придаются все соответствующие свойства/характеристики. Это можно назвать прямым методом. Напротив, в каустическом дизайне свойства и характеристики объектов (особенно поверхности материала) нетривиальны. Данное ограничение является целевым изображением, которое необходимо получить. Следовательно, цель состоит в том, чтобы получить его свойства и характеристики путем наблюдения и вывода целевого изображения. Это можно считать обратным/обратным методом.

Ниже приведена основная функция потерь, объясняющая, как оптимизировать параметры:

${\displaystyle L(c)=\lVert f(c)-I\rVert ^{2}}$

где,

L ( c ) : функция потерь, среднеквадратическая ошибка визуализированного изображения и цели.

c : содержит элементы, которые могут повлиять на сгенерированное изображение.

Я : целевое изображение

Проектируемый трубопровод

Дифференцируемый инверсный рендеринг каустического дизайна

Сначала разрабатывается целевой шаблон и вычисляется прямой проход для получения синтетического шаблона. Его сравнивают с целевым паттерном и получают потери. Возражение состоит в том, чтобы синтетический паттерн был максимально похож на целевой паттерн. А затем выполните обратное распространение сигнала, чтобы получить оптимизированные свойства, необходимые для использования при производстве каустика.

Элементы, способствующие созданию изображения

• Внешний вид ( ): внешний вид поверхности на пиксель моделируется как произведение текстуры с мип-отображением и яркости на пиксель. ${\displaystyle A}$
• Геометрия ( ): предположим, что 3D-сцена аппроксимируется треугольниками, параметризованными вершинами . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• Камера ( ): фокусное расстояние, точка зрения, центр камеры. ${\displaystyle C}$

Элементов может быть больше, например альбедо и коэффициент преломления .

Общая дифференцируемая структура

Введите U как промежуточную переменную, указывающую положения координат вершин 2D-проекции. Градиент этих свойств может быть получен косвенным путем с помощью цепного правила.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial A}}\times {\frac {\partial A}{\partial V}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial C}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial C}}}$

После применения стохастического градиентного спуска оптимального и удалось достичь. Впоследствии эти количества используются для вырезания или фрезерования материала для создания целевого рисунка. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$

Выполнение

Одним из распространенных подходов является использование способности выполнять дифференциальные операции в различных фреймворках/библиотеках автодифференциации глубокого обучения , таких как: Tensorflow , PyTorch , Theano .

Еще один подход заключается в использовании инфраструктуры OpenDR ^[16] для построения прямой графической модели и автоматического получения производных по параметрам модели для оптимизации. После получения свойств оптимизации можно сгенерировать целевое изображение. OpenDR предоставляет метод локальной оптимизации, который можно включить в среды вероятностного программирования. Это можно использовать для решения проблемы каустики.

Производство

Проектирование и производственный процесс

После того как каустическая модель будет разработана с помощью вычислений, обработанные данные будут отправлены на этап производства для получения конечного продукта. Наиболее распространенным подходом является субтрактивное производство ( механическая обработка ).

Могут использоваться различные материалы в зависимости от желаемого качества, усилий, необходимых для производства, и доступного метода производства.

• Распространенные преломляющие материалы: акрил , поликарбонат , полиэтилен , стекло , алмаз.
• Распространенные светоотражающие материалы: сталь , железо , алюминий , золото , серебро , титан , никель.

Архитектура

Дизайн каустического рисунка имеет множество реальных применений, например:

• Светильники
• Ювелирные изделия
• Архитектура
• Производство декоративного стекла

Смотрите также

• Фокус (оптика)
• Круг замешательства
• Каустик (математика)

Рекомендации

1. Линч, ДК; Ливингстон, W (2001). «Каустическая сеть». Цвет и свет в природе . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-77504-5.
2. Вайнштейн, Лев Альбертович (1969). Открытые резонаторы и открытые волноводы . Боулдер, Колорадо: The Golem Press.
3. Круг Катакаустики. Вольфрам Математический мир . Проверено 17 июля 2009 г.
4. Леви, Марк (2 апреля 2018 г.). «В центре внимания нефроидов». СИАМ Новости . Проверено 1 июня 2018 г.
5. Радужная каустика
6. Каустические полосы
7. Гуардадо, Хуан (2004). «Глава 2. Отрисовка водной каустики». Фернандо, Рандима (ред.). GPU Gems: методы программирования, советы и рекомендации для графики реального времени . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0321228321.
8. «Текстурирование каустической воды с использованием Unity 3D» . Программное обеспечение Dual Heights . Проверено 28 мая 2017 г.
9. Мариос Папас (апрель 2011 г.). «Каустика на основе целей» (PDF) . Форум компьютерной графики (Тр. Еврографика) . 30 (2). дои : 10.1111/j.1467-8659.2011.01876.x. Архивировано (PDF) из оригинала 11 мая 2021 г.(Дополнительные ресурсы на сайте Дартмутского университета Войцеха Яроша)
10. Виллани, Седрик (2009). Оптимальный транспорт – старый и новый . Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. ISBN 978-3-540-71049-3.
11. Филип Болл (февраль 2013 г.). «Укротители света». Новый учёный . 217 (2902): 40–43. Бибкод : 2013NewSc.217...40B. дои : 10.1016/S0262-4079(13)60310-3.
12. Хореографический свет: новый алгоритм управляет световыми узорами, называемыми «каустиками», и организует их в последовательные изображения.
13. Шварцбург, Юлий; Тестуз, Ромен; Тальясакки, Андреа; Поли, Марк (27 июля 2014 г.). «Высококонтрастный вычислительный каустический дизайн». Транзакции ACM с графикой . 33 (4): 1–11. дои : 10.1145/2601097.2601200.
14. Седрик, Виллани (2009). Оптимальный транспорт, старый и новый . Спрингер. ISBN 978-3-540-71050-9.
15. Лопер, Мэтью М.; Блэк, Майкл Дж. (2014), «OpenDR: Приблизительное дифференцируемое средство рендеринга», Computer Vision – ECCV 2014 , Springer International Publishing, стр. 154–169, doi : 10.1007/978-3-319-10584-0_11 , ISBN 978-3-319-10583-3
16. Лопер, Мэтью М.; Блэк, Майкл Дж. (2014), «OpenDR: Приблизительное дифференцируемое средство рендеринга», Computer Vision – ECCV 2014 , Springer International Publishing, стр. 154–169, doi : 10.1007/978-3-319-10584-0_11 , ISBN 978-3-319-10583-3

• Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-64222-4.
• Най, Джон (1999).Естественная фокусировка и тонкая структура света: каустика и волновые дислокации. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-7503-0610-2.

дальнейшее чтение

• Ферраро, Пьетро (1996). «Какая едкость!». Учитель физики . 34 (9): 572–573. Бибкод : 1996PhTea..34..572F. дои : 10.1119/1.2344572.
• Даксбахер, Карстен; Ликтор, Габор (февраль 2011 г.). «Объемная каустика в реальном времени с адаптивным отслеживанием луча». Симпозиум по интерактивной 3D-графике и играм . АКМ: 47–54.