Квадратный корень из 6

Положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает 6

Прямоугольники площадью 6, включая 2x3 и 3x2 (сплошной черный), а также квадрат со стороной, равной среднему геометрическому значению 2 и 3 или квадратному корню из 6 (красный пунктир); плюс квадрат со стороной, равной среднему арифметическому значению 2 и 3 (черный пунктир) площадью 6,25

Расстояния между вершинами двойного единичного куба являются квадратными корнями первых шести натуральных чисел , включая квадратный корень из 6 (√7 невозможно из-за теоремы Лежандра о трех квадратах ).

Квадратный корень из 6 — это положительное действительное число , которое при умножении на себя дает натуральное число 6. Его точнее называть главным квадратным корнем из 6 , чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется в многочисленных геометрических и теоретико-числовых контекстах. Его можно обозначить в иррациональной форме как: ^[1]

${\displaystyle {\sqrt {6}}\,,}$

и в экспоненциальной форме как:

${\displaystyle 6^{\frac {1}{2}}.}$

Это иррациональное алгебраическое число . ^[2] Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного представления следующие:

2.44948 97427 83178 09819 72840 74705 89139 19659 47480 65667 01284 3269... . ^[3]

которое можно округлить до 2,45 с точностью около 99,98% (около 1 части из 4800); то есть оно отличается от правильного значения примерно на ⁠1/2000⁠ . Для уменьшения ошибки примерно вдвое требуется еще две цифры (2,4495). Приближение ⁠218/89⁠ (≈ 2,449438...) почти в десять раз лучше: несмотря на то, что знаменатель равен всего 89, он отличается от правильного значения менее чем на ⁠1/20,000⁠ , или менее одной части из 47 000.

Поскольку 6 является произведением 2 и 3, квадратный корень из 6 является средним геометрическим 2 и 3 и является произведением квадратного корня из 2 и квадратного корня из 3 , оба из которых являются иррациональными алгебраическими числами.

НАСА опубликовало более миллиона десятичных знаков квадратного корня из шести. ^[4]

Рациональные приближения

Квадратный корень из 6 можно выразить в виде непрерывной дроби

${\displaystyle [2;2,4,2,4,2,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.}$(последовательность A040003 в OEIS )

Последовательные частные оценки цепной дроби, которые называются ее сходящимися дробями , приближаются к следующему : ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},{\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}},{\frac {485}{198}},{\frac {2158}{881}},{\frac {4801}{1960}},\dots }$

Их числители — 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, … (последовательность A041006 в OEIS ), а их знаменатели — 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, … (последовательность A041007 в OEIS ). ^[5]

Каждая конвергенция является наилучшим рациональным приближением ; другими словами, она ближе к , чем любое рациональное с меньшим знаменателем. Десятичные эквиваленты улучшаются линейно, со скоростью почти одна цифра на конвергенцию: ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {22}{9}}=2.4444\dots ,\quad {\frac {49}{20}}=2.45,\quad {\frac {218}{89}}=2.44943...,\quad {\frac {485}{198}}=2.449494...,\quad \ldots }$

Конвергенты, выраженные как ⁠х/у⁠ , удовлетворяют попеременно уравнениям Пелля ^[5]

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=-2\quad \mathrm {and} \quad x^{2}-6y^{2}=1}$

Когда аппроксимируется вавилонским методом , начиная с x ₀ = 2 и используя x _{n +1} = ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$1/2⁠ ( х _n + ⁠6/х _н⁠ ) ​​n-я аппроксимирующаядробь x _n равна 2 ^n- й подходящей дроби цепной дроби:

${\displaystyle x_{0}=2,\quad x_{1}={\frac {5}{2}}=2.5,\quad x_{2}={\frac {49}{20}}=2.45,\quad x_{3}={\frac {4801}{1960}}=2.449489796...,\quad x_{4}={\frac {46099201}{18819920}}=2.449489742783179...,\quad \dots }$

Логарифмическая линейка системы Logarex Darmstadt с отметками 7 и 6 на шкалах A и B, а также квадратными корнями из 6 и из 7 на шкалах C и D, которые можно интерпретировать как немного меньше 2,45 и немного больше 2,64 соответственно.

Вавилонский метод эквивалентен методу Ньютона для нахождения корня, примененному к многочлену . Обновление метода Ньютона равно , когда . Таким образом, метод сходится квадратично . ${\displaystyle x^{2}-6}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),}$ ${\displaystyle (x_{n}+6/x_{n})/2}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-6}$

Геометрия

Правильный октаэдр с вписанной сферой, иллюстрирующий квадратный корень из 6 между длиной ребра и радиусом.

Корневые прямоугольники иллюстрируют построение квадратного корня из 6

Равносторонний треугольник, описанный прямоугольником и квадратом; сторона квадрата равна , а диагональ прямоугольника равна квадратному корню из 7 . ${\displaystyle ({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})/2}$

В плоской геометрии квадратный корень из 6 может быть построен с помощью последовательности динамических прямоугольников , как показано здесь. ^{[6] [7] [8]}

В стереометрии квадратный корень из 6 появляется как самое длинное расстояние между углами ( вершинами ) двойного куба, как показано выше. Квадратные корни всех меньших натуральных чисел появляются как расстояния между другими парами вершин в двойном кубе (включая вершины включенных двух кубов). ^[8]

Длина ребра куба с общей площадью поверхности 1 равна или обратному квадратному корню из 6. Длины ребер правильного тетраэдра ( t ), правильного октаэдра ( o ) и куба ( c ) с одинаковой общей площадью поверхности удовлетворяют . ^{[3] [9]} ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{6}}}$ ${\displaystyle {\frac {t\cdot o}{c^{2}}}={\sqrt {6}}}$

Длина ребра правильного октаэдра равна квадратному корню из 6, умноженному на радиус вписанной сферы (то есть расстояние от центра тела до центра каждой грани). ^[10]

Квадратный корень из 6 появляется в различных других геометрических контекстах, например, как длина стороны квадрата, охватывающего равносторонний треугольник со стороной 2 (см. рисунок). ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}}$

Тригонометрия

Квадратный корень из 6, с прибавленным или вычтенным квадратным корнем из 2 , появляется в нескольких точных тригонометрических значениях для углов, кратных 15 градусам ( радианам). ^[11] ${\displaystyle \pi /12}$

В культуре

Форма арки с пятой точкой XIII века, согласно интерпретации Браннера 1960 года (Париж, Национальная библиотека Франции, MS Fr 19093) художника Пикарда XIII века Виллара де Оннекура

Готическая «арка с пятой точкой» с дугами радиуса 5, построенная Вилларом де Оннекуром в XIII веке, имеет высоту, равную удвоенному квадратному корню из 6, как показано здесь. ^{[12] [13]}

Смотрите также

• Квадратный корень
• Квадратный корень из 2
• Квадратный корень из 3
• Квадратный корень из 5
• Квадратный корень из 7

Ссылки

1. Рэй, Джозеф (1842). Эклектическая арифметика Рэя по индуктивным и аналитическим методам обучения. Цинциннати: Трумэн и Смит. стр. 217. Получено 20 марта 2022 г.
2. О'Салливан, Дэниел (1872). Принципы арифметики: всеобъемлющий учебник. Дублин: Alexander Thom. стр. 234. Получено 17 марта 2022 г.
3. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A010464 (Десятичное разложение квадратного корня из 6)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
4. Роберт Немирофф; Джерри Боннелл. «первый 1 миллион цифр квадратного корня из 6». nasa.gov . Получено 17 марта 2022 г. .
5. Conrad, Keith. "Pell's Equation II" (PDF) . uconn.edu . Получено 17 марта 2022 г. Непрерывная дробь √6 равна [2; 2, 4 ], а таблица подходящих дробей ниже предполагает (и это правда), что каждая другая подходящая дробь дает решение x ² − 6 y ² = 1 .
6. Джей Хэмбидж (1920) [1920]. Динамическая симметрия: греческая ваза (перепечатка оригинального издания Yale University Press). Whitefish, MT: Kessinger Publishing. стр. 19–29. ISBN 0-7661-7679-7. Прямоугольники корней динамической симметрии.
7. Матила Гика (1977). Геометрия искусства и жизни . Courier Dover Publications. С. 126–127. ISBN 9780486235424.
8. Fletcher, Rachel (2013). Бесконечная мера: обучение проектированию в геометрической гармонии с искусством, архитектурой и природой. George F Thompson Publishing. ISBN 978-1-938086-02-1.
9. Рехтман, Ана. «Un défi par semaine Avril 2016, 3e défi (Solution du 2e défi d'Avril)». Математические изображения . Проверено 23 марта 2022 г.
10. SC & LM Gould (1890). The Bizarre Notes and Queries in History, Folk-lore, Mathematics, Mysticism, Art, Science, Etc., Volumes 7-8. Manchester, NH p. 342. Получено 19 марта 2022. В октаэдре , диаметр которого равен 2, линейное ребро равно квадратному корню из 6 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 74. ISBN 978-0-486-61272-0.
12. Браннер, Роберт (1960). «Виллар де Оннекур, Архимед и Шартр». Журнал Общества историков архитектуры . 19 (3): 91–96. doi :10.2307/988023. JSTOR  988023. Получено 25 марта 2022 г.
13. Шелби, Лон Р. (1969). «Установка краеугольных камней стрельчатых арок: заметка о средневековой „баугеометрии“». Технология и культура . 10 (4): 537–548. doi :10.2307/3101574. JSTOR  3101574. Получено 25 марта 2022 г.