Квадратный корень из 7

Положительное действительное число, которое при умножении само на себя дает 7

Прямоугольник, ограничивающий равносторонний треугольник со стороной 2 или правильный шестиугольник со стороной 1, имеет размеры квадратный корень из 3 на квадратный корень из 4 , с диагональю квадратный корень из 7.

Логарифмическая линейка системы Logarex Darmstadt с отметками 7 и 6 на шкалах A и B и квадратными корнями из 6 и из 7 на шкалах C и D, которые можно интерпретировать как немного меньше 2,45 и немного больше 2,64 соответственно.

Квадратный корень из 7 — это положительное действительное число , которое при умножении на себя дает простое число 7. Его точнее называть главным квадратным корнем из 7 , чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется в различных геометрических и теоретико-числовых контекстах. Его можно обозначить в иррациональной форме как: ^[1]

${\displaystyle {\sqrt {7}}\,,}$

и в экспоненциальной форме как:

${\displaystyle 7^{\frac {1}{2}}.}$

Это иррациональное алгебраическое число . Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного представления :

2,64575 13110 64590 59050 16157 53639 26042 57102 59183 08245 01803 6833... . ^[2]

которое можно округлить до 2,646 с точностью около 99,99% (около 1 части на 10000); то есть оно отличается от правильного значения примерно на ⁠1/4000⁠ . Приближение ⁠127/48⁠ (≈ 2,645833...) лучше: несмотря на то, что знаменатель равен всего 48, он отличается от правильного значения менее чем на ⁠1/12,000⁠ , или менее одной части из 33 000.

Было опубликовано более миллиона десятичных знаков квадратного корня из семи. ^[3]

Рациональные приближения

Объяснение того, как извлекать квадратный корень из 7-ми знаков и более, от Хоуни, 1797 г.

Извлечение десятичных дробей из квадратных корней различными методами использовало квадратный корень из 7 в качестве примера или упражнения в учебниках на протяжении сотен лет. Показаны различные количества цифр после десятичной точки: 5 в 1773 ^[4] и 1852, ^[5] 3 в 1835, ^[6] 6 в 1808, ^[7] и 7 в 1797. ^[8] Извлечение методом Ньютона (приблизительно) было проиллюстрировано в 1922 году, в результате чего был сделан вывод, что оно равно 2,646 «с точностью до тысячной». ^[9]

Для семейства хороших рациональных приближений квадратный корень из 7 можно выразить как цепную дробь

${\displaystyle [2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}}.}$(последовательность A010121 в OEIS )

Последовательные частные оценки цепной дроби, которые называются ее сходящимися дробями , приближаются к следующему : ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}},{\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\dots }$

Их числители: 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257… (последовательность A041008 в OEIS ), а их знаменатели: 1, 1, 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,… (последовательность A041009 в OEIS ).

Каждая конвергентная дробь является наилучшим рациональным приближением ; другими словами, она ближе к , чем любое рациональное число с меньшим знаменателем. Приближенные десятичные эквиваленты улучшаются линейно (количество цифр пропорционально сходящемуся числу) со скоростью менее одной цифры за шаг: ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {3}{1}}=3.0,\quad {\frac {5}{2}}=2.5,\quad {\frac {8}{3}}=2.66\dots ,\quad {\frac {37}{14}}=2.6429...,\quad {\frac {45}{17}}=2.64705...,\quad {\frac {82}{31}}=2.64516...,\quad {\frac {127}{48}}=2.645833...,\quad \ldots }$

Каждая четвертая сходящаяся, начиная с ⁠8/3⁠ , выраженный как ⁠х/у⁠ , удовлетворяет уравнению Пелля ^[10]

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

Когда аппроксимируется вавилонским методом , начиная с x ₁ = 3 и используя x _{n +1} = ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$1/2⁠ ( х _n + ⁠7/х _н⁠ ) ​​n-я аппроксимирующаядробь x _n равна 2 ^n- й подходящей дроби цепной дроби:

${\displaystyle x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2.66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}}=2.6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2.645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2.645751311064591...,\quad \dots }$

Все, кроме первого, удовлетворяют уравнению Пелля, приведенному выше.

Вавилонский метод эквивалентен методу Ньютона для нахождения корня, примененному к многочлену . Обновление метода Ньютона равно , когда . Таким образом, метод сходится квадратично (количество точных десятичных цифр пропорционально квадрату числа шагов Ньютона или Вавилонского). ${\displaystyle x^{2}-7}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),}$ ${\displaystyle (x_{n}+7/x_{n})/2}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-7}$

Геометрия

Прямоугольники корня иллюстрируют построение квадратного корня из 7 (диагональ прямоугольника корня 6).

В плоской геометрии квадратный корень из 7 может быть построен с помощью последовательности динамических прямоугольников , то есть как наибольшая диагональ прямоугольников, показанных здесь. ^{[11] [12] [13]}

Минимальный прямоугольник, описывающий равносторонний треугольник с длиной стороны 2, имеет диагональ, равную квадратному корню из 7. ^[14]

В силу теоремы Пифагора и теоремы Лежандра о трех квадратах , является наименьшим квадратным корнем натурального числа , которое не может быть расстоянием между любыми двумя точками кубической целочисленной решетки (или, что эквивалентно, длиной диагонали пространства прямоугольного кубоида с целочисленными длинами сторон). является следующим наименьшим таким числом. ^[15] ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {15}}}$

За пределами математики

Сканирование оборотной стороны долларовой купюры США с аннотацией в виде прямоугольника с корнем 7

На оборотной стороне современной однодолларовой купюры США «большая внутренняя коробка» имеет отношение длины к ширине, равное квадратному корню из 7, и диагональ 6,0 дюймов, в пределах точности измерений. ^[16]

Смотрите также

• Квадратный корень
• Квадратный корень из 2
• Квадратный корень из 3
• Квадратный корень из 5
• Квадратный корень из 6

Ссылки

1. Дарби, Джон (1843). Практическая арифметика с примечаниями и демонстрациями основных правил, ... Лондон: Whittaker & Company. стр. 172. Получено 27 марта 2022 г.
2. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A010465 (Десятичное разложение квадратного корня из 7)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
3. Роберт Немирофф; Джерри Боннелл (2008). Квадратный корень из 7. Получено 25 марта 2022 г. – через gutenberg.org.
4. Юинг, Александр (1773). Институты арифметики: для использования в школах и академиях. Эдинбург: Т. Кэдделл. С. 104.
5. Рэй, Джозеф (1852). Алгебра Рэя, часть вторая: аналитический трактат, предназначенный для средних школ и академий, часть 2. Цинциннати: Sargent, Wilson & Hinkle. стр. 132. Получено 27 марта 2022 г.
6. Бейли, Эбенезер (1835). Первые уроки алгебры, как легкое введение в эту науку... Рассел, Шаттак и компания. стр. 212–213 . Получено 27 марта 2022 г.
7. Томпсон, Джеймс (1808). The American Tutor's Guide: Being a Compendium of Arithmetic. В шести частях. Олбани: E. & E. Hosford. стр. 122. Получено 27 марта 2022 г.
8. Хоуни, Уильям (1797). Полный измеритель: или все искусство измерения. В двух частях. Часть I. Обучение десятичной арифметике ... Часть II. Обучение измерению всех видов поверхностей и твердых тел ... Тринадцатое издание. К которому добавлено Приложение. 1. О измерении. 2. О измерении земли. Лондон. С. 59–60 . Получено 27 марта 2022 г.
9. Джордж Уэнтворт; Дэвид Юджин Смит; Герберт Друэри Харпер (1922). Основы практической математики. Ginn and Company. стр. 113. Получено 27 марта 2022 г.
10. Конрад, Кит. "Уравнение Пелла II" (PDF) . uconn.edu . Получено 17 марта 2022 г. .
11. Джей Хэмбидж (1920) [1920]. Динамическая симметрия: греческая ваза (перепечатка оригинального издания Yale University Press). Whitefish, MT: Kessinger Publishing. стр. 19–29. ISBN 0-7661-7679-7. Прямоугольники корней динамической симметрии.
12. Матила Гика (1977). Геометрия искусства и жизни . Courier Dover Publications. С. 126–127. ISBN 978-0-486-23542-4.
13. Флетчер, Рэйчел (2013). Бесконечная мера: обучение проектированию в геометрической гармонии с искусством, архитектурой и природой. George F Thompson Publishing. ISBN 978-1-938086-02-1.
14. Блэквелл, Уильям (1984). Геометрия в архитектуре. Key Curriculum Press. стр. 25. ISBN 978-1-55953-018-7. Получено 26 марта 2022 г. .
15. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005875". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
16. Макграт, Кен (2002). Секретная геометрия доллара. AuthorHouse. стр. 47–49. ISBN 978-0-7596-1170-2. Получено 26 марта 2022 г. .