В квантовом хаосе , разделе математической физики , квантовая эргодичность является свойством квантования классических механических систем , которые являются хаотическими в смысле экспоненциальной чувствительности к начальным условиям. Квантовая эргодичность утверждает, грубо говоря, что в пределе высоких энергий распределения вероятностей, связанные с собственными энергетическими состояниями квантованного эргодического гамильтониана, стремятся к равномерному распределению в классическом фазовом пространстве . Это согласуется с интуицией, что потоки эргодических систем равномерно распределены в фазовом пространстве. Напротив, классические полностью интегрируемые системы, как правило, имеют периодические орбиты в фазовом пространстве, и это проявляется различными способами в пределе высоких энергий собственных состояний: как правило, некоторая форма концентрации происходит в полуклассическом пределе .
Модельным случаем гамильтониана является геодезический гамильтониан на кокасательном расслоении компактного риманова многообразия . Квантование геодезического потока задается фундаментальным решением уравнения Шредингера
где — квадратный корень оператора Лапласа–Бельтрами . Квантовая теорема эргодичности Шнирельмана 1974, Зельдича и Ива Колена де Вердьера утверждает, что компактное риманово многообразие, единичное касательное расслоение которого эргодично относительно геодезического потока, также эргодично в том смысле, что плотность вероятности, связанная с n- й собственной функцией лапласиана, слабо стремится к равномерному распределению на единичном кокасательном расслоении при n → ∞ в подмножестве натуральных чисел с натуральной плотностью , равной единице. Квантовая эргодичность может быть сформулирована как некоммутативный аналог классической эргодичности ( Т. Сунады ).
Поскольку классически хаотическая система также эргодична, почти все ее траектории в конечном итоге равномерно исследуют все доступное фазовое пространство. Таким образом, при переносе концепции эргодичности в квантовую сферу естественно предположить, что собственные состояния квантовой хаотической системы будут равномерно заполнять квантовое фазовое пространство (с точностью до случайных флуктуаций) в полуклассическом пределе . Теоремы квантовой эргодичности Шнирельмана, Зельдича и Ива Колина де Вердьера доказывают, что математическое ожидание оператора сходится в полуклассическом пределе к соответствующему микроканоническому классическому среднему. Однако теорема квантовой эргодичности оставляет открытой возможность того, что собственные функции станут разреженными с серьезными дырами при , оставляя большие, но не макроскопические щели на энергетических многообразиях в фазовом пространстве. В частности, теорема допускает существование подмножества макроскопически неэргодических состояний, которые, с другой стороны, должны стремиться к нулевой мере, т.е. вклад этого множества стремится к нулю процента всех собственных состояний, когда . [5]
Например, теорема не исключает квантовое рубцевание, поскольку объем фазового пространства рубцов также постепенно исчезает в этом пределе. [1] [5] [6] [2] Квантовое собственное состояние рубцуется периодической орбитой, если его плотность вероятности находится на классических инвариантных многообразиях вблизи и вдоль этой периодической орбиты систематически увеличивается выше классической статистически ожидаемой плотности вдоль этой орбиты. [5] Упрощенно квантовый рубец относится к собственному состоянию, плотность вероятности которого увеличивается в окрестности классической периодической орбиты, когда соответствующая классическая система хаотична. При обычном рубцевании реагирующая периодическая орбита нестабильна. [1] [5] [6] [2] Нестабильность является решающим моментом, который отделяет квантовые рубцы от более тривиального вывода о том, что плотность вероятности увеличивается вблизи стабильных периодических орбит из-за принципа соответствия Бора. Последнее можно рассматривать как чисто классическое явление, тогда как в первом случае важна квантовая интерференция. С другой стороны, в квантовом рубцевании, вызванном возмущением, [3] [7] [8] [9] [4] некоторые из собственных состояний высокой энергии локально возмущенной квантовой точки содержат рубцы коротких периодических орбит соответствующей невозмущенной системы. Несмотря на то, что они похожи по внешнему виду на обычные квантовые рубцы, эти рубцы имеют принципиально иное происхождение., [3] [7] [4] В этом типе рубцевания нет периодических орбит в возмущенном классическом аналоге или они слишком нестабильны, чтобы вызвать рубец в общепринятом смысле. Обычные и вызванные возмущением рубцы являются как ярким визуальным примером классическо-квантового соответствия, так и квантового подавления хаоса (см. рисунок). В частности, рубцы являются существенной поправкой к предположению, что соответствующие собственные состояния классически хаотического гамильтониана являются только безликими и случайными. В некотором смысле шрамы можно рассматривать как собственный эквивалент теоремы квантовой эргодичности о том, как короткие периодические орбиты вносят поправки в статистику собственных значений универсальной теории случайных матриц.
