Клиффорд Гейтс

Определение квантовых цепей

В квантовых вычислениях и квантовой теории информации вентили Клиффорда являются элементами группы Клиффорда , набора математических преобразований, которые нормализуют n - кубитную группу Паули , т. е. отображают тензорные произведения матриц Паули в тензорные произведения матриц Паули посредством сопряжения . Понятие было введено Дэниелом Готтесманом и названо в честь математика Уильяма Кингдона Клиффорда . ^[1] Квантовые схемы , состоящие только из вентилей Клиффорда, могут быть эффективно смоделированы с помощью классического компьютера благодаря теореме Готтесмана–Книлла .

Группа Клиффорда генерируется тремя вентилями: Адамара , фазовым вентилем S и CNOT . ^{[2] [3] [4]} Этот набор вентилей минимален в том смысле, что отбрасывание любого одного вентиля приводит к невозможности реализации некоторых операций Клиффорда; удаление вентиля Адамара запрещает степени в представлении унитарной матрицы, удаление фазового вентиля S запрещает в унитарной матрице, а удаление вентиля CNOT сокращает набор реализуемых операций с до . Поскольку все матрицы Паули могут быть построены из фазовых вентилей и вентилей Адамара, каждый вентиль Паули также тривиально является элементом группы Клиффорда. ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1}^{n}}$

Гейт равен произведению и ворот. Чтобы показать, что унитарное является членом группы Клиффорда, достаточно показать, что для всех , которые состоят только из тензорных произведений и , мы имеем . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}}$

Общие генерирующие вентили

ворота Адамара

Ворота Адамара

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

является членом группы Клиффорда как и . ${\displaystyle HXH^{\dagger }=Z}$ ${\displaystyle HZH^{\dagger }=X}$

Сворота

Фазовые ворота

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}$

является воротами Клиффорда, как и . ${\displaystyle SXS^{\dagger }=Y}$ ${\displaystyle SZS^{\dagger }=Z}$

CNOT-ворота

Вентиль CNOT применяется к двум кубитам. Это (C)управляемый вентиль НЕ, где вентиль НЕ выполняется на кубите 2, если и только если кубит 1 находится в состоянии 1.

${\displaystyle \mathrm {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Между и есть четыре варианта: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Создание универсального набора квантовых вентилей

Вентили Клиффорда не образуют универсального набора квантовых вентилей , поскольку некоторые вентили вне группы Клиффорда не могут быть произвольно аппроксимированы конечным набором операций. Примером является вентили сдвига фазы (исторически известные как вентили): ${\displaystyle \pi /8}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$.

Ниже показано, что гейт не отображает гейт Паули в другую матрицу Паули: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle TX{T^{\dagger }}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\\{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}&0\end{array}}\right]\not \in {{\mathbf {P} }_{1}}}$

Однако группа Клиффорда, дополненная вентилем , образует универсальный набор квантовых вентилей для квантовых вычислений. ^[5] Более того, известны точные оптимальные реализации схем поворотов на один кубит на -угол. ^{[6] [7]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$

Смотрите также

• Магическое состояние дистилляции
• Алгебра Клиффорда

Ссылки

1. Готтесман, Дэниел (1998-01-01). "Теория отказоустойчивых квантовых вычислений" (PDF) . Physical Review A . 57 (1): 127–137. arXiv : quant-ph/9702029 . Bibcode :1998PhRvA..57..127G. doi :10.1103/physreva.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
2. Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л. (2010-12-09). Квантовые вычисления и квантовая информация: 10-е юбилейное издание. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3.
3. Готтесман, Дэниел (1998-01-01). «Теория отказоустойчивых квантовых вычислений». Physical Review A. 57 ( 1): 127–137. arXiv : quant-ph/9702029 . Bibcode : 1998PhRvA..57..127G. doi : 10.1103/PhysRevA.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
4. Готтесман, Дэниел (1997-05-28). Стабилизаторные коды и квантовая коррекция ошибок (диссертация). Caltech. arXiv : quant-ph/9705052 . Bibcode :1997PhDT.......232G.
5. Форест, Саймон; Госсет, Дэвид; Ключников, Вадим; МакКиннон, Дэвид. «Точный синтез однокубитных унитариев над наборами циклотомических вентилей Клиффорда». Журнал математической физики .
6. Росс, Нил Дж.; Селинджер, Питер (2014). «Оптимальная безвспомогательная аппроксимация Клиффорда+ T для z-вращений». arXiv : 1403.2975 .
7. Ключников, Вадим; Маслов, Дмитрий; Моска, Мишель (2013). «Быстрый и эффективный точный синтез единичных кубитных унитарных структур, генерируемых вентилями Клиффорда и T». Квантовая информация и вычисления . 13 (7–8): 607–630. arXiv : 1206.5236 . doi :10.26421/QIC13.7-8-4. S2CID  12885769.