Клиффордские ворота

Определение квантовых схем

В квантовых вычислениях и квантовой теории информации ворота Клиффорда являются элементами группы Клиффорда , набора математических преобразований, которые нормализуют n -кубитную группу Паули , т. е. отображают тензорные произведения матриц Паули в тензорные произведения матриц Паули посредством сопряжения . Понятие было введено Дэниелом Готтесманом и названо в честь математика Уильяма Кингдона Клиффорда . ^[1] Квантовые схемы , состоящие только из вентилей Клиффорда, можно эффективно моделировать с помощью классического компьютера благодаря теореме Готтесмана-Нилла .

Группа Клиффорда генерируется тремя вентилями: Адамаром , фазовым вентилем S и CNOT . ^{[2] [3] [4]} Этот набор элементов минимален в том смысле, что отбрасывание любого элемента приводит к невозможности реализации некоторых операций Клиффорда; удаление вентиля Адамара запрещает степени в унитарном матричном представлении, удаление фазового вентиля S запрещает в унитарной матрице, а удаление вентиля CNOT уменьшает набор реализуемых операций с до . Поскольку все матрицы Паули могут быть построены из фазовых элементов и элементов Адамара, каждый элемент Паули также тривиально является элементом группы Клиффорда. ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{1}^{n}}$

Ворота равны произведению и ворот. Чтобы показать, что унитарное целое является членом группы Клиффорда, достаточно показать, что для всего, что состоит только из тензорных произведений и , мы имеем . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}}$

Общие генерирующие ворота

Ворота Адамара

Ворота Адамара

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

является членом группы Клиффорда как и . ${\displaystyle HXH^{\dagger }=Z}$ ${\displaystyle HZH^{\dagger }=X}$

S- ворота

Фазовые ворота

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}$

является воротами Клиффорда, как и . ${\displaystyle SXS^{\dagger }=Y}$ ${\displaystyle SZS^{\dagger }=Z}$

ворота CNOT

Вентиль CNOT применяется к двум кубитам. Это (C) управляемый вентиль НЕ, где вентиль НЕ выполняется над кубитом 2 тогда и только тогда, когда кубит 1 находится в состоянии 1.

${\displaystyle \mathrm {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Между и есть четыре варианта: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Создание универсального набора квантовых вентилей

Ворота Клиффорда не образуют универсальный набор квантовых вентилей, поскольку некоторые вентили вне группы Клиффорда не могут быть произвольно аппроксимированы конечным набором операций. Примером является вентиль фазового сдвига (исторически известный как вентиль): ${\displaystyle \pi /8}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$.

Следующее показывает, что вентиль не отображает вентиль Паули в другую матрицу Паули: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle TX{T^{\dagger }}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\\{e^{i{\frac {\pi }{4}}}}&0\end{array}}\right]\not \in {{\mathbf {P} }_{1}}}$

Однако группа Клиффорда, дополненная гейтом , образует универсальный набор квантовых гейтов для квантовых вычислений. ^[5] Более того, известны точные, оптимальные схемные реализации однокубитных угловых вращений. ^{[6] [7]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$

Смотрите также

• Магическая государственная дистилляция
• Алгебра Клиффорда

Рекомендации

1. Готтесман, Дэниел (1 января 1998 г.). «Теория отказоустойчивых квантовых вычислений» (PDF) . Физический обзор А. 57 (1): 127–137. arXiv : Quant-ph/9702029 . Бибкод : 1998PhRvA..57..127G. дои :10.1103/physreva.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
2. Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (9 декабря 2010 г.). Квантовые вычисления и квантовая информация: издание к 10-летию. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00217-3.
3. Готтесман, Дэниел (1 января 1998 г.). «Теория отказоустойчивых квантовых вычислений». Физический обзор А. 57 (1): 127–137. arXiv : Quant-ph/9702029 . Бибкод : 1998PhRvA..57..127G. doi : 10.1103/PhysRevA.57.127. ISSN  1050-2947. S2CID  8391036.
4. Готтесман, Дэниел (28 мая 1997 г.). Стабилизирующие коды и квантовая коррекция ошибок (кандидатская диссертация). Калтех. arXiv : Quant-ph/9705052 . Бибкод : 1997PhDT.......232G.
5. Форест, Саймон; Госсет, Дэвид; Ключников Вадим; Маккиннон, Дэвид. «Точный синтез однокубитных унитарных единиц по наборам циклотомных вентилей Клиффорда». Журнал математической физики .
6. Росс, Нил Дж.; Селинджер, Питер (2014). «Оптимальное безвспомогательное приближение Клиффорда + Т z-поворотов». arXiv : 1403.2975 .
7. Ключников, Вадим; Маслов Дмитрий; Моска, Мишель (2013). «Быстрый и эффективный точный синтез одиночных кубитов, генерируемых Клиффордом и Т-вентилями». Квантовая информация и вычисления . 13 (7–8): 607–630. arXiv : 1206.5236 . дои : 10.26421/QIC13.7-8-4. S2CID  12885769.