Механизм Кодзай

В небесной механике механизм Козаи — динамическое явление, влияющее на орбиту двойной системы , возмущенную далеким третьим телом при определенных условиях. Он также известен как механизм фон Цейпеля-Козаи-Лидова , механизм Лидова-Козаи , механизм Козаи-Лидова или некоторая комбинация эффектов Козаи, Лидова-Козаи, Козаи-Лидова или фон Зейпеля-Козаи-Лидова, колебаний, циклов или резонанс. Этот эффект заставляет аргумент перицентра орбиты колебаться около постоянного значения , что, в свою очередь, приводит к периодическому обмену между ее эксцентриситетом и наклонением . Этот процесс происходит во временах, намного превышающих орбитальные периоды. Он может вывести изначально почти круговую орбиту на произвольно высокий эксцентриситет и переключить первоначально умеренно наклоненную орбиту между прямым и ретроградным движением .

Было обнаружено, что этот эффект является важным фактором, формирующим орбиты неправильных спутников планет, транснептуновых объектов , внесолнечных планет и кратных звездных систем . ^[1]^{: v} Гипотетически это способствует слиянию черных дыр . ^[2] Впервые он был описан в 1961 году Михаилом Лидовым при анализе орбит искусственных и естественных спутников планет. ^[3] В 1962 году Ёсихидэ Кодзаи опубликовал тот же результат в применении к орбитам астероидов , возмущенных Юпитером . ^[4] В XXI веке цитирование первых статей Козаи и Лидова резко возросло. По состоянию на 2017 год ^{[обновлять]}этот механизм входит в число наиболее изученных астрофизических явлений. ^[1]^{: ви}

Фон

гамильтонова механика

В гамильтоновой механике физическая система задается функцией, называемой гамильтонианом и обозначаемой , от канонических координат в фазовом пространстве . Канонические координаты состоят из обобщенных координат в конфигурационном пространстве и сопряженных им импульсов при , для $N$ тел в системе ( для эффекта Цейпеля-Козаи-Лидова). Число пар, необходимых для описания данной системы, равно числу ее степеней свободы . ${\mathcal {H}}$ $x_{k}$ $p_{k}$ $k=1,...N$ $N=3$ $(x_{k},p_{k})$

Пары координат обычно выбираются таким образом, чтобы упростить расчеты, связанные с решением той или иной задачи. Один набор канонических координат можно изменить на другой посредством канонического преобразования . Уравнения движения системы получаются из гамильтониана через канонические уравнения Гамильтона , которые связывают производные координат по времени с частными производными гамильтониана по сопряженным импульсам.

Задача трёх тел

Динамика системы, состоящей из трех тел, действующих под действием взаимного гравитационного притяжения, сложна. В общем, поведение системы трех тел в течение длительных периодов времени чрезвычайно чувствительно к любым незначительным изменениям начальных условий , включая даже небольшие неопределенности в определении начальных условий и ошибки округления в компьютерной арифметике с плавающей запятой . Практическим следствием является то, что задачу трех тел нельзя решить аналитически в течение неопределенного периода времени, за исключением особых случаев. ^[5]^{: 221} Вместо этого для прогнозирования времени, ограниченного доступной точностью, используются численные методы . ^[6]^{: 2, 10}

Механизм Лидова–Козаи является особенностью иерархических тройных систем ^[7]^{: 86} , то есть систем, в которых одно из тел, называемое «возмущающим», расположено далеко от двух других, которые, как говорят, составляют внутреннюю двойную систему . . Возмущающее устройство и центр масс внутренней двойной системы составляют внешнюю двойную систему . ^[8]^{: §I} Такие системы часто изучаются с использованием методов теории возмущений для записи гамильтониана иерархической системы трех тел в виде суммы двух слагаемых, ответственных за изолированную эволюцию внутренней и внешней двойной системы, и третий член, связывающий две орбиты, ^[8]

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {in}}+{\mathcal {H}}_{\rm {out}}+{\mathcal {H}} _{\rm {перт}}.

Затем термин связи расширяется в порядке параметра , определяемого как отношение больших полуосей внутренней и внешней двойной системы и, следовательно, небольшого в иерархической системе. ^[8] Поскольку пертурбативный ряд быстро сходится , качественное поведение иерархической системы трех тел определяется начальными членами разложения, называемыми членами квадрупольного ( ) , октупольного ( ) и гексадекапольного ( ) порядка, ^{[9 ]}^{: 4–5} $\альфа$ $\propto \alpha ^{2}$ $\propto \alpha ^{3}$ $\propto \alpha ^{4}$

{\mathcal {H}}_{\rm {pert}}={\mathcal {H}}_{\rm {quad}}+{\mathcal {H}}_{\rm {oct}} +{\mathcal {H}}_{\rm {hex}}+O(\alpha ^{5}).

Для многих систем удовлетворительное описание находится уже в низшем, квадрупольном порядке пертурбативного разложения. Октупольный член в определенных режимах становится доминирующим и отвечает за долговременное изменение амплитуды колебаний Лидова–Козаи. ^[10]

Светское приближение

Механизм Лидова – Козаи представляет собой вековой эффект, то есть он происходит на временных масштабах, гораздо более длительных по сравнению с орбитальными периодами внутренней и внешней двойной системы. Чтобы упростить задачу и сделать ее более доступной в вычислительном отношении, иерархический гамильтониан трех тел можно секуляризовать , то есть усреднить по быстро меняющимся средним аномалиям двух орбит. Благодаря этому процессу проблема сводится к проблеме двух взаимодействующих массивных проволочных петель. ^[9]^{: 4}

Обзор механизма

Предел тестовых частиц

Простейшая трактовка механизма фон Зейпеля-Лидова-Козаи предполагает, что один из внутренних компонентов двойной системы, вторичный , представляет собой пробную частицу – идеализированный точечный объект с незначительной массой по сравнению с двумя другими телами, первичным и далеким. возмутитель. Эти предположения справедливы, например, в случае искусственного спутника Земли на низкой околоземной орбите , возмущенного Луной , или короткопериодической кометы , возмущенной Юпитером .

В этих приближениях осредненные по орбите уравнения движения вторичной обмотки имеют сохраняющуюся величину : составляющую орбитального момента вторичной обмотки, параллельную угловому моменту первичной/возмущающей орбиты. Эту сохраняющуюся величину можно выразить через эксцентриситет вторичной звезды $e$ и наклон $i$ относительно плоскости внешней двойной системы:

L_{\mathrm {z} }={\sqrt {1-e^{2}\;}}\,\cos i=\mathrm {constant}

Сохранение $L$ _$z$ означает, что эксцентриситет орбиты можно «обменять на» наклонение. Таким образом, почти круговые, сильно наклоненные орбиты могут стать очень эксцентричными. Поскольку увеличение эксцентриситета при сохранении постоянной большой полуоси уменьшает расстояние между объектами в перицентре , этот механизм может привести к тому, что кометы (возмущенные Юпитером ) станут пасущимися на солнце .

Осцилляции Лидова–Козаи будут присутствовать, если $L$ _$z$ меньше определенного значения. При критическом значении $L$ _$z$ появляется орбита с «фиксированной точкой» с постоянным наклонением, определяемым формулой

i_{\mathrm {crit} }=\arccos \left({\sqrt {{\frac {3}{5}}\,}}\,\right)\approx 39,2^{\mathsf {o} }

Для значений $L$ _$z$ меньших этого критического значения существует однопараметрическое семейство орбитальных решений, имеющих один и тот же $L$ _$z$ , но разную степень изменения $e$ или $i$ . Примечательно, что степень возможного изменения i $не$ зависит от задействованных масс, которые лишь определяют временной масштаб колебаний. ^[11]

Сроки

Основной временной масштаб, связанный с колебаниями Козаи, составляет ^[11]^{: 575.}

T_{\mathrm {Kozai} }=2\pi \,{\frac {\,{\sqrt {G\,M\;}}\,}{G\,m_{2}}}\, {\frac {\,a_{2}^{3}\,}{a^{3/2}}}\left(1-e_{2}^{2}\right)^{3/2}= {\frac {\,P_{2}^{2}\,}{P}}\,\left(1-e_{2}^{2}\right)^{3/2}

где $a$ указывает на большую полуось, $P$ — период обращения, $e$ — эксцентриситет и $m$ — масса; переменные с индексом «2» относятся к внешней (возмущающей) орбите, а переменные без индексов относятся к внутренней орбите; $М$ – масса первичной обмотки. Например, при периоде Луны 27,3 дня, эксцентриситете 0,055 и периоде спутников Глобальной системы позиционирования в пол (звездных) дня временной масштаб Кодзай составляет немногим более 4 лет; для геостационарных орбит он вдвое короче.

Период колебаний всех трех переменных ( $e$ , $i$ , $ω$ – последняя является аргументом периапсиса ) одинаков, но зависит от того, насколько «далеко» орбита находится от орбиты с фиксированной точкой, и становится очень длинным для сепаратрисы . орбита, отделяющая либрирующие орбиты от колеблющихся орбит.

Астрофизические последствия

Солнечная система

Механизм фон Зейпеля-Лидова-Козаи заставляет аргумент перицентра ( $ω$ ) либрировать примерно на 90 ° или 270 °, то есть его периапс возникает, когда тело находится дальше всего от экваториальной плоскости. Этот эффект является одной из причин того, что Плутон динамически защищен от близких сближений с Нептуном .

Механизм Лидова – Козаи накладывает ограничения на возможные орбиты внутри системы. Например:

Для обычного спутника: Если орбита луны планеты сильно наклонена к орбите планеты, эксцентриситет орбиты луны будет увеличиваться до тех пор, пока при максимальном приближении луна не будет разрушена приливными силами.
Для нерегулярных спутников: Растущий эксцентриситет приведет к столкновению с обычной луной, планетой или, альтернативно, растущий апоцентр может вытолкнуть спутник за пределы сферы Хилла . Недавно был обнаружен радиус устойчивости Хилла как функция наклонения спутника, что также объясняет неравномерное распределение неравномерных наклонений спутников. ^[12]

Этот механизм был задействован при поиске Девятой планеты , гипотетической планеты, вращающейся вокруг Солнца далеко за орбитой Нептуна. ^[13]

Было обнаружено, что ряд лун находится в резонансе Лидова-Козаи со своей планетой, в том числе Карпо и Эупори Юпитера , ^[14]Кивиук и Иджирак Сатурна , ^[1]^{: 100} Маргарет Урана , ^{[15] и}Сао и Несо Нептуна . ^[16]

Некоторые источники называют советский космический зонд «Луна-3» первым примером искусственного спутника, испытывающего колебания Лидова – Козаи. Запущенный в 1959 году на сильно наклоненную эксцентричную геоцентрическую орбиту, это была первая миссия, сфотографировавшая обратную сторону Луны . Он сгорел в атмосфере Земли, совершив одиннадцать оборотов. ^[1]^{: 9–10} Однако, по данным Gkolias et al. . (2016) другой механизм, должно быть, привел к распаду орбиты зонда, поскольку колебаниям Лидова – Козаи могли помешать эффекты сжатия Земли . ^[17]

Внесолнечные планеты

Механизм фон Зейпеля-Лидова-Козаи в сочетании с приливным трением способен создавать горячие юпитеры — газовые гигантские экзопланеты, вращающиеся вокруг своих звезд на узких орбитах. ^[18]^[19]^[20]^[21] Высокий эксцентриситет планеты HD 80606 b в системе HD 80606/80607 , вероятно, обусловлен механизмом Козаи. ^[22]

Черные дыры

Считается, что этот механизм влияет на рост центральных черных дыр в плотных звездных скоплениях . Это также стимулирует эволюцию определенных классов двойных черных дыр ^[8] и может играть роль в обеспечении возможности слияния черных дыр . ^[23]

История и развитие

Эффект был впервые описан в 1909 году шведским астрономом Гуго фон Цейпелем в его работе о движении периодических комет в Astronomische Nachrichten . ^[24]^[25] В 1961 году советский учёный-космонавт Михаил Лидов обнаружил эффект при анализе орбит искусственных и естественных спутников планет. Первоначально опубликованный на русском языке, результат был переведен на английский язык в 1962 году. ^[3]^[26]^{: 88}

Лидов впервые представил свою работу по орбитам искусственных спутников на конференции по общим и прикладным проблемам теоретической астрономии, проходившей в Москве 20–25 ноября 1961 г. ^[27] Его статья была впервые опубликована в русскоязычном журнале в 1961 г. ^[3] Японский астроном Ёсихидэ Кодзай был среди участников конференции 1961 года. ^[27] Козаи опубликовал тот же результат в широко читаемом англоязычном журнале в 1962 году, используя результат для анализа орбит астероидов , возмущенных Юпитером . ^[4] Поскольку Лидов был первым, кто опубликовал эту работу, многие авторы используют термин «механизм Лидова–Козаи». Другие, однако, называют его механизмом Козаи-Лидова или просто механизмом Козаи.