Модель Кокса–Ингерсолла–Росса

Стохастическая модель эволюции финансовых процентных ставок

Три траектории процессов CIR

В математических финансах модель Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR) описывает эволюцию процентных ставок . Это тип «однофакторной модели» ( модель краткосрочной ставки ), поскольку она описывает изменения процентных ставок как вызванные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке процентных деривативов . Она была введена в 1985 году ^[1] Джоном К. Коксом , Джонатаном Э. Ингерсоллом и Стивеном А. Россом как расширение модели Васичека , которая сама является процессом Орнштейна–Уленбека .

Модель

Процесс CIR

Модель CIR описывает мгновенную процентную ставку с помощью процесса квадратного корня Феллера , стохастическое дифференциальное уравнение которого имеет вид ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}$

где — процесс Винера (моделирующий случайный рыночный фактор риска), а , , и — параметры . Параметр соответствует скорости корректировки к среднему значению , и волатильности. Фактор дрейфа , точно такой же, как в модели Васичека. Он обеспечивает возврат процентной ставки к среднему значению в сторону долгосрочного периода , при этом скорость корректировки регулируется строго положительным параметром . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

Фактор стандартного отклонения , , исключает возможность отрицательных процентных ставок для всех положительных значений и . Нулевая процентная ставка также исключается, если выполняется условие ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}$

выполняется. В более общем смысле, когда скорость ( ) близка к нулю, стандартное отклонение ( ) также становится очень малым, что ослабляет влияние случайного шока на скорость. Следовательно, когда скорость приближается к нулю, ее эволюция становится подчиненной фактору дрейфа, который толкает скорость вверх (к равновесию ). ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$

В случае ^[2] процесс квадратного корня Феллера может быть получен из квадрата процесса Орнштейна–Уленбека . Он эргодичен и обладает стационарным распределением. Он используется в модели Хестона для моделирования стохастической волатильности. ${\displaystyle 4ab=\sigma ^{2}\,}$

Распределение

• Будущее распределение

Распределение будущих значений процесса CIR можно вычислить в замкнутой форме:

${\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}$

где , а Y — нецентральное распределение хи-квадрат со степенями свободы и параметром нецентральности . Формально функция плотности вероятности имеет вид: ${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

где , , , а — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка . ${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$ ${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$ ${\displaystyle v=cr_{t+T}}$ ${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$ ${\displaystyle q}$

• Асимптотическое распределение

Из-за возврата к среднему, по мере увеличения времени распределение будет приближаться к гамма-распределению с плотностью вероятности: ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

где и . ${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

Характеристики

• Среднее возвращение ,
• Уровень волатильности, зависящий от уровня ( ), ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• Для данного положительного значения процесс никогда не коснется нуля, если ; в противном случае он может иногда касаться нулевой точки, ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$, поэтому долгосрочное среднее значение равно , ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

Калибровка

• Обычный метод наименьших квадратов

Непрерывное SDE можно дискретизировать следующим образом:

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

что эквивалентно

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

предоставлено niid (0,1). Это уравнение можно использовать для линейной регрессии. ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• Оценка Мартингейла
• Максимальная вероятность

Моделирование

Стохастическое моделирование процесса CIR может быть достигнуто с использованием двух вариантов:

• Дискретизация
• Точный

Ценообразование облигаций

При предположении отсутствия арбитража облигация может быть оценена с использованием этого процесса процентной ставки. Цена облигации экспоненциально аффинна по процентной ставке:

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!}$

где

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(T-t)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

Расширения

Модель CIR использует особый случай базовой аффинной диффузии скачков , которая все еще допускает выражение в замкнутой форме для цен облигаций. В модель можно ввести изменяющиеся во времени функции, заменяющие коэффициенты, чтобы сделать ее согласованной с заранее заданной временной структурой процентных ставок и, возможно, волатильности. Наиболее общий подход представлен в Maghsoodi (1996). ^[3] Более послушный подход представлен в Brigo и Mercurio (2001b) ^[4] , где к модели добавляется внешний зависящий от времени сдвиг для согласованности с входной временной структурой ставок.

Значительное расширение модели CIR на случай стохастического среднего и стохастической волатильности дано Линь Ченом (1996) и известно как модель Чена . Более недавнее расширение для обработки волатильности кластера, отрицательных процентных ставок и различных распределений — это так называемый «CIR #» Орландо, Мининни и Буфало (2018, ^[5] 2019, ^{[6] [7]} 2020, ^[8] 2021, ^[9] 2023 ^[10] ), а более простое расширение, фокусирующееся на отрицательных процентных ставках, было предложено Ди Франческо и Каммом (2021, ^[11] 2022 ^[12] ), которые называются моделями CIR- и CIR--.

Смотрите также

• Модель Халла–Уайта
• модель Васичека
• модель Чэнь

Ссылки

1. "Теория временной структуры процентных ставок - Эконометрическое общество". www.econometricsociety.org . Получено 14 октября 2023 г.
2. Юлия Мишура, Андрей Пилипенко и Антон Юрченко-Титаренко (10 января 2024 г.): Маломерный процесс Кокса-Ингерсолла-Росса, Стохастика, DOI: 10.1080/17442508.2023.2300291
3. Магсуди, Юсеф (январь 1996 г.). «Решение проблемы структуры расширенного срока и оценки опциона на облигации». Математические финансы . 6 (1): 89–109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x. ISSN  0960-1627.
4. Бриго, Дамиано; Меркурио, Фабио (2001-07-01). «Расширение детерминированного сдвига аналитически поддающихся обработке и однородных по времени краткосрочных моделей». Финансы и стохастика . 5 (3): 369–387. doi :10.1007/PL00013541. ISSN  0949-2984. S2CID  35316609.
5. Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования с фиксированным доходом . Вклад в науку управления. Springer International Publishing. стр. 35–43. doi :10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
6. Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования по экономике и финансам . 37 (2): 267–292. doi :10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376. S2CID  204424299.
7. Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал Risk Finance . 20 (4): 370–387. doi :10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943. S2CID  204435499.
8. Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с использованием моделей Васичека и CIR: подход к разделению». Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.
9. Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (26.05.2021). «Прогнозирование процентных ставок: между Халлом и Уайтом и CIR# — как заставить работать однофакторную модель». Журнал прогнозирования . 40 (8): 1566–1580. doi : 10.1002/for.2783 . ISSN  0277-6693.
10. Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (14 июля 2023 г.). «Прогнозирование временных рядов с использованием модели CIR#: от беспокойных настроений на рынках до регулярного сезонного туризма». Технологическое и экономическое развитие экономики . 29 (4): 1216–1238. doi : 10.3846/tede.2023.19294 . ISSN  2029-4921.
11. Ди Франческо, Марко; Камм, Кевин (4 октября 2021 г.). «Как обращаться с отрицательными процентными ставками в рамках CIR». SeMa Journal . 79 (4): 593–618. arXiv : 2106.03716 . doi : 10.1007/s40324-021-00267-w . S2CID  235358123.
12. Ди Франческо, Марко; Камм, Кевин (2022). «О модели расширенного CIR с детерминированным сдвигом в рамках отрицательной процентной ставки». Международный журнал финансовых исследований . 10 (2): 38. doi : 10.3390/ijfs10020038 . hdl : 11585/916048 .

Дополнительные ссылки

• Халл, Джон К. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
• Кокс, Дж. К., Дж. Э. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Econometrica . 53 (2): 385–407. doi :10.2307/1911242. JSTOR  1911242.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Магсуди, Й. (1996). «Решение расширенной временной структуры CIR и оценка опционов на облигации». Математические финансы . 6 (6): 89–109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x.
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Бриго, Дамиано; Фабио Меркурио (2001b). «Расширение детерминированного сдвига аналитически поддающихся обработке и однородных во времени моделей краткосрочных ставок». Финансы и стохастика . 5 (3): 369–388. doi :10.1007/PL00013541. S2CID  35316609.
• Библиотека с открытым исходным кодом, реализующая процесс CIR на Python
• Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (2020). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход с разделением». Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002/for.2642. ISSN  1099-131X. S2CID  126507446.