В математической области теории Ли существует два определения компактной алгебры Ли . Внешне и топологически компактная алгебра Ли — это алгебра Ли компактной группы Ли ; [1] это определение включает торы. Внутренне и алгебраически компактная алгебра Ли — это действительная алгебра Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена ; это определение более ограничительное и исключает торы. [2] Компактную алгебру Ли можно рассматривать как наименьшую действительную форму соответствующей комплексной алгебры Ли, а именно комплексификацию.
Определение
Формально компактную алгебру Ли можно определить либо как алгебру Ли компактной группы Ли , либо как действительную алгебру Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена. Эти определения не совсем согласуются: [2]
Форма Киллинга на алгебре Ли компактной группы Ли отрицательно полуопределена , но не отрицательно определена в общем случае.
Если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно определена, то алгебра Ли является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли.
В общем случае алгебра Ли компактной группы Ли разлагается как прямая сумма алгебры Ли коммутативного слагаемого (для которого соответствующая подгруппа является тором) и слагаемого, на котором форма Киллинга отрицательно определена.
Важно отметить, что обратное утверждение к первому результату выше ложно: даже если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно полуопределена, это не означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой компактной группы. Например, форма Киллинга на алгебре Ли группы Гейзенберга тождественно равна нулю, следовательно, отрицательно полуопределена, но эта алгебра Ли не является алгеброй Ли никакой компактной группы.
Характеристики
Компактные алгебры Ли являются редуктивными ; [3] отметим, что аналогичный результат верен для компактных групп в целом.
Алгебра Ли для компактной группы Ли G допускает Ad( G )-инвариантное скалярное произведение ,. [4] Обратно, если допускает Ad-инвариантное скалярное произведение, то является алгеброй Ли некоторой компактной группы. [5] Если является полупростой, то это скалярное произведение можно считать отрицанием формы Киллинга. Таким образом, относительно этого скалярного произведения Ad( G ) действует ортогональными преобразованиями ( ) и действует кососимметричными матрицами ( ). [4] Можно развить теорию комплексных полупростых алгебр Ли, рассматривая их как комплексификации алгебр Ли компактных групп; [6] существование Ad-инвариантного скалярного произведения на компактной вещественной форме значительно упрощает разработку.
Это можно рассматривать как компактный аналог теоремы Адо о представимости алгебр Ли: подобно тому, как каждая конечномерная алгебра Ли в характеристике 0 вкладывается в каждую компактную алгебру Ли, вкладываемую в
Диаграмма Сатаке компактной алгебры Ли представляет собой диаграмму Дынкина комплексной алгебры Ли, в которой все вершины зачернены.
^ ab (Кнапп 2002, предложения 4.26, 4.27, стр. 249–250)
^ (Кнапп 2002, предложение 4.25, стр. 249)
^ ab (Кнапп 2002, предложение 4.24, стр. 249)
^ SpringerLink
^ Холл 2015 Глава 7
Ссылки
Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.
Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.