Комплексный анализ

Раздел математики, изучающий функции комплексного переменного

Комплексный анализ , традиционно известный как теория функций комплексной переменной , является разделом математического анализа , который исследует функции комплексных чисел . Он полезен во многих разделах математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , аналитическую комбинаторику и прикладную математику , а также в физике , включая разделы гидродинамики , термодинамики , квантовой механики и теории твисторов . В более широком смысле, использование комплексного анализа также имеет приложения в таких областях техники, как ядерная , аэрокосмическая , машиностроительная и электротехническая . ^[1]

Поскольку дифференцируемая функция комплексной переменной равна суммарной функции, заданной ее рядом Тейлора (то есть она является аналитической ), комплексный анализ в частности занимается аналитическими функциями комплексной переменной, то есть голоморфными функциями . Понятие может быть распространено на функции нескольких комплексных переменных .

История

Огюстен-Луи Коши , один из основателей комплексного анализа

Комплексный анализ является одним из классических разделов математики, корни которого уходят в XVIII век и немного раньше. Среди важных математиков, связанных с комплексными числами, были Эйлер , Гаусс , Риман , Коши , Гёста Миттаг-Леффлер , Вейерштрасс и многие другие в XX веке. Комплексный анализ, в частности теория конформных отображений , имеет множество физических приложений и также используется в аналитической теории чисел . В наше время он стал очень популярен благодаря новому импульсу от комплексной динамики и изображений фракталов, полученных путем итерации голоморфных функций . Другое важное применение комплексного анализа — теория струн , которая исследует конформные инварианты в квантовой теории поля .

Комплексные функции

Показательная функция A ⁿ дискретной ( целой ) переменной n , подобная геометрической прогрессии

Комплексная функция — это функция от комплексных чисел до комплексных чисел. Другими словами, это функция, которая имеет (не обязательно собственное) подмножество комплексных чисел в качестве области определения и комплексные числа в качестве кодомены . Обычно предполагается, что комплексные функции имеют область определения, которая содержит непустое открытое подмножество комплексной плоскости .

Для любой комплексной функции значения из области определения и их образы в диапазоне можно разделить на действительную и мнимую части: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

где все имеют реальные значения. ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

Другими словами, сложную функцию можно разложить на ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$и ${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$

т.е. на две действительные функции ( , ) двух действительных переменных ( , ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Аналогично, любая комплекснозначная функция f на произвольном множестве X ( изоморфна ему и, следовательно, в этом смысле, ему) может рассматриваться как упорядоченная пара двух вещественнозначных функций : (Re f , Im f ) или, альтернативно, как векторнозначная функция из X в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Некоторые свойства комплекснозначных функций (такие как непрерывность ) являются не более чем соответствующими свойствами векторных функций двух действительных переменных. Другие концепции комплексного анализа, такие как дифференцируемость , являются прямыми обобщениями аналогичных концепций для действительных функций, но могут иметь совершенно разные свойства. В частности, каждая дифференцируемая комплексная функция является аналитической (см. следующий раздел), а две дифференцируемые функции, равные в окрестности точки, равны на пересечении своих областей определения (если области определения связаны ). Последнее свойство является основой принципа аналитического продолжения , который позволяет расширить каждую действительную аналитическую функцию единственным способом для получения комплексной аналитической функции, областью определения которой является вся комплексная плоскость с конечным числом удаленных дуг кривой . Многие основные и специальные комплексные функции определяются таким образом, включая комплексную показательную функцию , комплексные логарифмические функции и тригонометрические функции .

Голоморфные функции

Комплексные функции, дифференцируемые в каждой точке открытого подмножества комплексной плоскости, называются голоморфными на . В контексте комплексного анализа производная от при определяется как ^[2] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

На первый взгляд, это определение формально аналогично определению производной действительной функции. Однако комплексные производные и дифференцируемые функции ведут себя существенно по-разному по сравнению со своими действительными аналогами. В частности, для того, чтобы этот предел существовал, значение разностного отношения должно приближаться к одному и тому же комплексному числу, независимо от того, каким образом мы приближаемся в комплексной плоскости. Следовательно, комплексная дифференцируемость имеет гораздо более сильные последствия, чем вещественная дифференцируемость. Например, голоморфные функции бесконечно дифференцируемы , тогда как существование n- й производной не обязательно подразумевает существование ( n + 1)-й производной для действительных функций. Более того, все голоморфные функции удовлетворяют более сильному условию аналитичности , что означает, что функция в каждой точке своей области определения локально задана сходящимся степенным рядом. По сути, это означает, что функции, голоморфные на , могут быть сколь угодно хорошо аппроксимированы полиномами в некоторой окрестности каждой точки в . Это резко контрастирует с дифференцируемыми действительными функциями; существуют бесконечно дифференцируемые действительные функции, которые нигде не являются аналитическими; см . Неаналитическая гладкая функция § Гладкая функция, которая нигде не является действительно аналитической . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Большинство элементарных функций, включая показательную функцию , тригонометрические функции и все полиномиальные функции , соответствующим образом расширенные на комплексные аргументы как функции , голоморфны на всей комплексной плоскости, что делает их целыми функциями , в то время как рациональные функции , где p и q являются полиномами, голоморфны на областях, которые исключают точки, где q равно нулю. Такие функции, которые голоморфны всюду, за исключением набора изолированных точек , известны как мероморфные функции . С другой стороны, функции , и не являются голоморфными нигде на комплексной плоскости, как можно показать из их неспособности удовлетворять условиям Коши–Римана (см. ниже). ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ ${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

Важным свойством голоморфных функций является соотношение между частными производными их действительных и мнимых компонент, известное как условия Коши–Римана . Если , определяемое соотношением , где , голоморфно в области , то для всех , ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{where }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

В терминах действительной и мнимой частей функции, u и v , это эквивалентно паре уравнений и , где нижние индексы указывают на частное дифференцирование. Однако условия Коши–Римана не характеризуют голоморфные функции без дополнительных условий непрерывности (см. теорему Лумана–Мэнхоффа ). ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Голоморфные функции демонстрируют некоторые замечательные особенности. Например, теорема Пикара утверждает, что область значений целой функции может принимать только три возможных формы: , , или для некоторых . Другими словами, если два различных комплексных числа и не находятся в области значений целой функции , то является постоянной функцией. Более того, голоморфная функция на связном открытом множестве определяется ее ограничением на любое непустое открытое подмножество. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle \{z_{0}\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой (внизу). Видно, что отображает пары линий, пересекающихся под углом 90°, в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90°. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В математике конформное отображение — это функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длины.

Более формально, пусть и будут открытыми подмножествами . Функция называется конформной (или сохраняющей углы) в точке , если она сохраняет углы между направленными кривыми через , а также сохраняет ориентацию. Конформные отображения сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle u_{0}}$

Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы производной Якобиана преобразования координат . Преобразование является конформным, когда Якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения ( ортогональным с детерминантом 1). Некоторые авторы определяют конформность, включая отображения, меняющие ориентацию, якобианы которых могут быть записаны как любой скаляр, умноженный на любую ортогональную матрицу. ^[3]

Для отображений в двух измерениях (сохраняющие ориентацию) конформные отображения являются в точности локально обратимыми комплексными аналитическими функциями. В трех и более измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями .

Основные результаты

График цветового круга функции f ( x ) = ⁠( х ² − 1)( х − 2 − я ) ²/х ² + 2 + 2 я⁠ .
Оттенок представляет аргумент , яркость — величину.

Одним из центральных инструментов комплексного анализа является линейный интеграл . Линейный интеграл по замкнутому пути функции, которая голоморфна всюду внутри области, ограниченной замкнутым путем, всегда равен нулю, как утверждает интегральная теорема Коши . Значения такой голоморфной функции внутри круга можно вычислить с помощью интеграла по траектории на границе круга (как показано в интегральной формуле Коши ). Интегралы по траектории в комплексной плоскости часто используются для определения сложных действительных интегралов, и здесь применима, среди прочего, теория вычетов (см. методы контурного интегрирования ). «Полюс» (или изолированная сингулярность ) функции — это точка, в которой значение функции становится неограниченным или «взрывается». Если функция имеет такой полюс, то можно вычислить вычет функции там, который можно использовать для вычисления интегралов по траектории, включающих функцию; это содержание мощной теоремы о вычетах . Замечательное поведение голоморфных функций вблизи существенных сингулярностей описывается теоремой Пикара . Функции, имеющие только полюса, но не имеющие существенных особенностей, называются мероморфными . Ряды Лорана являются комплекснозначным эквивалентом рядов Тейлора , но могут использоваться для изучения поведения функций вблизи особенностей посредством бесконечных сумм более хорошо известных функций, таких как полиномы.

Ограниченная функция , голоморфная во всей комплексной плоскости, должна быть постоянной; это теорема Лиувилля . Ее можно использовать для предоставления естественного и короткого доказательства фундаментальной теоремы алгебры , которая утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто .

Если функция голоморфна во всей связной области, то ее значения полностью определяются ее значениями в любой меньшей подобласти. Говорят, что функция в большей области аналитически продолжена из ее значений в меньшей области. Это позволяет расширить определение функций, таких как дзета-функция Римана , которые изначально определяются в терминах бесконечных сумм, которые сходятся только в ограниченных областях, почти на всю комплексную плоскость. Иногда, как в случае натурального логарифма , невозможно аналитически продолжить голоморфную функцию в неодносвязную область в комплексной плоскости, но ее можно расширить до голоморфной функции на тесно связанной поверхности, известной как поверхность Римана .

Все это относится к комплексному анализу в одной переменной. Существует также очень богатая теория комплексного анализа в более чем одном комплексном измерении , в которой аналитические свойства, такие как разложение в степенной ряд, переносятся, тогда как большинство геометрических свойств голоморфных функций в одном комплексном измерении (таких как конформность ) не переносятся. Теорема об отображении Римана о конформном соотношении определенных областей в комплексной плоскости, которая может быть самым важным результатом в одномерной теории, резко терпит неудачу в более высоких измерениях.

Основное применение некоторых комплексных пространств — в квантовой механике в качестве волновых функций .

Смотрите также

• Сложная геометрия
• Гиперкомплексный анализ
• Векторные исчисления
• Список тем комплексного анализа
• Теорема монодромии
• Реальный анализ
• Теорема Римана–Роха
• Теорема Рунге

Ссылки

1. "Промышленные приложения комплексного анализа". Newton Gateway to Mathematics . 30 октября 2019 г. Получено 20 ноября 2023 г.
2. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (PDF) . McGraw-Hill Education. стр. 197. ISBN 978-0-07-054234-1.
3. Блэр, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. Том 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID  118752074.

Источники

• Абловиц, М. Дж. и А. С. Фокас , Комплексные переменные: введение и применение (Кембридж, 2003).
• Альфорс, Л. , Комплексный анализ (McGraw-Hill, 1953).
• Картан, Х. , Элементарная теория аналитических функций комплексов переменных или плюсов. (Герман, 1961). Английский перевод, Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных. (Аддисон-Уэсли, 1963).
• Carathéodory, C. , Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). Английский перевод, Теория функций комплексной переменной (Chelsea, 1954). [2 тома.]
• Кэрриер, Г. Ф. , М. Крук и К. Э. Пирсон, Функции комплексной переменной: теория и метод. (McGraw-Hill, 1966).
• Конвей, Дж. Б. , Функции одной комплексной переменной. (Springer, 1973).
• Фишер, С., Комплексные переменные. (Уодсворт и Брукс/Коул, 1990).
• Форсайт, А. , Теория функций комплексного переменного (Кембридж, 1893).
• Фрайтаг, Э. и Р. Бусам, Funktionentheorie . (Спрингер, 1995). Английский перевод, Комплексный анализ . (Спрингер, 2005).
• Гурса Э. , Курс математического анализа, том 2. (Готье-Виллар, 1905). Английский перевод, Курс математического анализа, вып. 2, часть 1: Функции комплексной переменной. (Гинн, 1916).
• Хенрици, П. , Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986.]
• Крейциг, Э. , Высшая инженерная математика. (Wiley, 1962).
• Лаврентьев М. и Б. Шабат, Методы рассмотрения функций комплексного переменного. ( Методы теории функций комплексного переменного ). (1951, на русском языке).
• Маркушевич, А.И. Теория функций комплексного переменного , (Prentice-Hall, 1965). [Три тома.]
• Марсден и Хоффман, Базовый комплексный анализ. (Фримен, 1973).
• Нидхэм, Т. , Визуальный комплексный анализ. (Оксфорд, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
• Реммерт, Р. , Теория комплексных функций . (Springer, 1990).
• Рудин, В. , Действительный и комплексный анализ. (McGraw-Hill, 1966).
• Шоу, У. Т., Комплексный анализ с помощью Mathematica (Кембридж, 2006).
• Стайн, Э. и Р. Шакарчи, Комплексный анализ. (Принстон, 2003).
• Свешников А.Г. , Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. (Наука, 1967). Английский перевод, Теория функций комплексного переменного (МИР, 1978).
• Титчмарш, Э. К. , Теория функций. (Оксфорд, 1932).
• Вегерт Э. Визуальные сложные функции . (Биркхойзер, 2012).
• Уиттекер, Э. Т. и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа . (Кембридж, 1902). 3-е изд. (1920)

Внешние ссылки

• Страница комплексного анализа MathWorld от Wolfram Research