Оператор Гаусса–Кузьмина–Вирсинга.

В математике оператор Гаусса –Кузмина–Вирсинга — это оператор переноса отображения Гаусса, который переводит положительное число в дробную часть его обратной величины. (Это не то же самое, что отображение Гаусса в дифференциальной геометрии .) Он назван в честь Карла Гаусса , Родиона Кузмина и Эдуарда Вирсинга . Он встречается при изучении непрерывных дробей ; он также связан с дзета-функцией Римана .

Связь с картами и цепными дробями

Карта Гаусса

Файл:Функция Гаусса

Функция Гаусса (карта) h имеет вид:

${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor .}$

где обозначает функцию пола . ${\displaystyle \lfloor 1/x\rfloor }$

Он имеет бесконечное число скачков разрывов при x = 1/ n для положительных целых чисел  n . Его трудно аппроксимировать одним гладким полиномом. ^[1]

Оператор на картах

Оператор Гаусса–Кузьмина–Вирсинга действует на функции как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [Gf](x)=\int _{0}^{1}\delta (x-h(y))f(y)\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).}$

он имеет неподвижную точку , единственную с точностью до масштабирования, которая является плотностью меры, инвариантной относительно отображения Гаусса. ${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\ln 2(1+x)}}}$

Собственные значения оператора

Первая собственная функция этого оператора равна

${\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}\ {\frac {1}{1+x}}}$

что соответствует собственному значению λ 1  = 1. Эта собственная функция дает вероятность появления заданного целого числа в разложении непрерывной дроби и известна как распределение Гаусса–Кузьмина . Это следует отчасти из того, что отображение Гаусса действует как оператор усечения _сдвига для непрерывных дробей : если

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]}$

представляет собой представление числа 0 <  x  < 1 в виде непрерывной дроби, тогда

${\displaystyle h(x)=[0;a_{2},a_{3},\dots ].}$

Поскольку сопряжен сдвигу Бернулли , собственное значение простое, и поскольку оператор оставляет инвариантной меру Гаусса–Кузьмина, оператор эргодичен относительно меры. Этот факт позволяет кратко доказать существование константы Хинчина . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$

Дополнительные собственные значения могут быть вычислены численно; следующее собственное значение равно λ ₂ = −0,3036630029... (последовательность A038517 в OEIS ), а его абсолютное значение известно как константа Гаусса–Кузмина–Вирсинга . Аналитические формы для дополнительных собственных функций неизвестны. Неизвестно, являются ли собственные значения иррациональными .

Расположим собственные значения оператора Гаусса–Кузьмина–Вирсинга по абсолютной величине:

${\displaystyle 1=|\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq |\lambda _{3}|\geq \cdots .}$

В 1995 году Филипп Флажоле и Брижит Валле предположили , что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda _{n}}{\lambda _{n+1}}}=-\varphi ^{2},{\text{ where }}\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

В 2018 году Гедрюс Алкаускас привел убедительный аргумент в пользу того, что эту гипотезу можно усовершенствовать до гораздо более сильного утверждения: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-1)^{n+1}\lambda _{n}=\varphi ^{-2n}+C\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{\sqrt {n}}}+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},\\[4pt]&{\text{where }}C={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi }}}}=1.1019785625880999_{+};\end{aligned}}}$

здесь функция ограничена и является дзета-функцией Римана . ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle \zeta (\star )}$

Непрерывный спектр

Собственные значения образуют дискретный спектр, когда оператор ограничен действием на функции на единичном интервале действительной числовой прямой. В более широком смысле, поскольку отображение Гаусса является оператором сдвига на пространстве Бэра , оператор GKW также можно рассматривать как оператор на функциональном пространстве (рассматриваемом как банахово пространство , с базисными функциями, взятыми в качестве индикаторных функций на цилиндрах топологии произведения ) . В последнем случае он имеет непрерывный спектр с собственными значениями в единичном круге комплексной плоскости. То есть, учитывая цилиндр , оператор G сдвигает его влево: . Принимая в качестве индикаторной функции , которая равна 1 на цилиндре (когда ), и нулю в противном случае, имеем . Ряд ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$ ${\displaystyle C_{n}[b]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}}$ ${\displaystyle GC_{n}[b]=C_{n-1}[b]}$ ${\displaystyle r_{n,b}(x)}$ ${\displaystyle x\in C_{n}[b]}$ ${\displaystyle Gr_{n,b}=r_{n-1,b}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}r_{n,b}(x)}$

тогда является собственной функцией с собственным значением . То есть, мы имеем всякий раз, когда суммирование сходится: то есть, когда . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [Gf](x)=\lambda f(x)}$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$

Особый случай возникает, когда требуется рассмотреть меру Хаара оператора сдвига, то есть функцию, которая инвариантна относительно сдвигов. Это задается мерой Минковского . То есть, имеем, что . ^[3] ${\displaystyle ?^{\prime }}$ ${\displaystyle G?^{\prime }=?^{\prime }}$

Эргодичность

Отображение Гаусса на самом деле гораздо более чем эргодично: оно экспоненциально перемешивает, ^{[4] [5],} но доказательство не является элементарным.

Энтропия

Гауссово отображение, по гауссовой мере, имеет энтропию . Это можно доказать с помощью формулы Рохлина для энтропии. Затем, используя теорему Шеннона–Макмиллана–Бреймана , с ее свойством равнораспределения, мы получаем теорему Лохса . ^[6] ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$

Предварительные сведения по теории меры

Покрывающее семейство — это множество измеримых множеств, такое, что любое открытое множество является непересекающимся объединением множеств в нем. Сравните это с базой в топологии , которая менее ограничительна, поскольку допускает непересекающиеся объединения. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Лемма Кноппа. Пусть будет измеримым, пусть будет покрывающим семейством и предположим, что . Тогда . ${\displaystyle B\subset [0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \exists \gamma >0,\forall A\in {\mathcal {C}},\mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B)=1}$

Доказательство. Поскольку любое открытое множество является несвязным объединением множеств из , то для любого открытого множества , а не только для любого множества из , имеем . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Возьмём дополнение . Поскольку мера Лебега внешне регулярна , мы можем взять открытое множество , близкое к , то есть симметричная разность имеет произвольно малую меру . ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle \mu (B'\Delta B^{c})<\epsilon }$

В пределе становится have . ${\displaystyle \mu (B'\cap B)\geq \gamma \mu (B')}$ ${\displaystyle 0\geq \gamma \mu (B^{c})}$

Отображение Гаусса является эргодическим.

Зафиксируем последовательность положительных целых чисел. Пусть . Пусть интервал будет открытым интервалом с конечными точками . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {q_{n}}{p_{n}}}=[0;a_{1},\dots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$

Лемма. Для любого открытого интервала имеем Доказательство. Для любого имеем по стандартной теории цепных дробей . Расширяя определение, — интервал с конечными точками . Теперь вычислим напрямую. Чтобы показать, что дробь равна , воспользуемся тем фактом, что . ${\displaystyle (a,b)\subset (0,1)}$ $${\displaystyle \mu (T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n})=\mu ((a,b))\mu (\Delta _{n})\underbrace {\left({\frac {q_{n}(q_{n}+q_{n-1})}{(q_{n}+q_{n-1}b)(q_{n}+q_{n-1}a)}}\right)} _{\geq 1/2}}$$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}+t]={\frac {q_{n}+q_{n-1}t}{p_{n}+p_{n-1}t}}}$ ${\displaystyle T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n}}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}+a],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+b]}$ ${\displaystyle \geq 1/2}$ ${\displaystyle q_{n}\geq q_{n-1}}$

Теорема. Отображение Гаусса эргодично.

Доказательство. Рассмотрим множество всех открытых интервалов в виде . Соберем их в одно семейство . Это покрывающее семейство, поскольку любой открытый интервал , где являются рациональными, является непересекающимся объединением конечного числа множеств из . ${\displaystyle ([0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1])}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (a,b)\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Предположим, что множество является -инвариантным и имеет положительную меру. Выберите любое . Поскольку мера Лебега является внешне регулярной, существует открытое множество , которое отличается от только на . Поскольку является -инвариантным, мы также имеем . Следовательно, По предыдущей лемме имеем Возьмем предел, мы имеем . По лемме Кноппа оно имеет полную меру. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta _{n}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\Delta B)=\mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }$ $${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\in \mu (B\cap \Delta _{n})\pm \epsilon }$$ $${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B_{0})\mu (\Delta _{n})\in {\frac {1}{2}}(\mu (B)\pm \epsilon )\mu (\Delta _{n})}$$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \mu (B\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B)\mu (\Delta _{n})}$

Связь с дзета-функцией Римана

Оператор GKW связан с дзета-функцией Римана . Обратите внимание, что дзета-функция может быть записана как

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}$

что подразумевает, что

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}x\left[Gx^{s-1}\right]\,dx}$

путем замены переменной.

Элементы матрицы

Рассмотрим разложения в ряд Тейлора при x  = 1 для функции f ( x ) и . То есть, пусть ${\displaystyle g(x)=[Gf](x)}$

${\displaystyle f(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}}$

и запишем аналогично для g ( x ). Расширение сделано около x  = 1, потому что оператор GKW плохо себя ведет при x  = 0. Расширение сделано около 1 −  x, так что мы можем сохранить x положительным числом, 0 ≤  x  ≤ 1. Тогда оператор GKW действует на коэффициенты Тейлора как

${\displaystyle (-1)^{m}{\frac {g^{(m)}(1)}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{mn}(-1)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}},}$

где матричные элементы оператора GKW задаются выражением

${\displaystyle G_{mn}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{k+m+1 \choose m}\left[\zeta (k+m+2)-1\right].}$

Этот оператор чрезвычайно хорошо сформирован и, таким образом, очень численно поддается обработке. Константа Гаусса–Кузьмина легко вычисляется с высокой точностью путем численной диагонализации верхней левой части n на n . Не существует известного замкнутого выражения, которое диагонализирует этот оператор; то есть, не существует известных замкнутых выражений для собственных векторов.

дзета Римана

Дзета Римана может быть записана как

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}}$

где заданы элементами матрицы выше: ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle t_{n}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {G_{mn}}{(m+1)(m+2)}}.}$

Выполняя суммирование, получаем:

${\displaystyle t_{n}=1-\gamma +\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left[{\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}\right]}$

где — константа Эйлера–Маскерони . Они играют роль аналога констант Стилтьеса , но для падающего факториального разложения. Записывая ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}}$

получаем: a ₀ = −0,0772156... и a ₁ = −0,00474863... и так далее. Значения быстро становятся малыми, но являются колеблющимися. Можно выполнить некоторые явные суммы по этим значениям. Их можно явно связать с константами Стилтьеса, перевыразив падающий факториал как полином с коэффициентами числа Стирлинга , а затем решив. В более общем смысле, дзета Римана может быть перевыражена как разложение в терминах последовательностей Шеффера полиномов.

Это расширение дзета-функции Римана исследуется в следующих источниках. ^{[7] [8] [9] [10] [11]} Коэффициенты убывают по мере

${\displaystyle \left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).}$

Ссылки

1. Введение в численные методы с точки зрения обратного анализа ошибок, авторы: Корлесс, Роберт, Филлион, Николас
2. Алкаускас, Гиедрюс (2018). «Оператор переноса для отображения непрерывных дробей Гаусса. I. Структура собственных значений и формулы следов». arXiv : 1210.4083 [math.NT].
3. Вепстас, Линас (2008). «О мере Минковского». arXiv : 0810.1265 [math.DS].
4. Цваймюллер, Роланд (30.03.2004). «Кузмин, сцепление, конусы и экспоненциальное смешивание». Forum Mathematicum . 16 (3): 447–457. doi :10.1515/form.2004.021. ISSN  1435-5337.
5. Полликотт, Марк (2019), Дани, СГ; Гош, Аниш (ред.), «Экспоненциальное смешивание: лекции из Мумбаи», Геометрические и эргодические аспекты групповых действий , Серия Infosys Science Foundation, Сингапур: Springer, стр. 135–167, doi :10.1007/978-981-15-0683-3_4, ISBN 978-981-15-0683-3, S2CID  214272613 , получено 2024-01-13
6. Теорема Шеннона-Макмиллана-Бреймана
7. Еремин, А. Ю.; Капорин, И. Е.; Керимов, М. К. (1985). «Вычисление дзета-функции Римана в комплексной области». СССР. Вычисл. матем. и мат. физ . 25 (2): 111–119. doi :10.1016/0041-5553(85)90116-8.
8. Еремин, А. Ю.; Капорин, И. Е.; Керимов, М. К. (1988). «Вычисление производных дзета-функции Римана в комплексной области». Известия АН СССР. Вычислительная математика и физика АН СССР . 28 (4): 115–124. doi :10.1016/0041-5553(88)90121-8.
9. Баэс-Дуарте, Луис (2003). «Новое необходимое и достаточное условие для гипотезы Римана». arXiv : math.NT/0307215 .
10. Баэс-Дуарте, Луис (2005). «Последовательный критерий типа Рисса для гипотезы Римана». Международный журнал математики и математических наук . 2005 (21): 3527–3537. doi : 10.1155/IJMMS.2005.3527 .
11. Флажоле, Филипп; Вепстас, Линас (2006). «О различиях значений дзета». Журнал вычислительной и прикладной математики . 220 (1–2): 58–73. arXiv : math/0611332 . Bibcode :2008JCoAM.220...58F. doi :10.1016/j.cam.2007.07.040. S2CID  15022096.

Общие ссылки

• А. Я. Хинчин , Непрерывные дроби , 1935, английский перевод Издательство Чикагского университета, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (см. раздел 15). 
• К. И. Бабенко, К одной задаче Гаусса , Математические докл. СССР , 19 :136–140 (1978) МР 472746.
• К. И. Бабенко и С. П. Юрьев, О дискретизации одной задачи Гаусса , Доклады АН СССР , 19 , стр. 731–735 (1978). MR 499751
• А. Дюрнер, Об одной теореме Гаусса–Кузмина–Леви. Arch. Math. 58 , 251–256, (1992). MR 1148200
• AJ MacLeod, Высокоточные числовые значения задачи Гаусса–Кузьмина с цепной дробью. Computers Math. Appl. 26 , 37–44, (1993).
• Э. Вирсинг, О теореме Гаусса–Кузмина–Леви и теореме типа Фробениуса для функциональных пространств. Acta Arith. 24 , 507–528, (1974). MR 337868

Дальнейшее чтение

• Кейт Бриггс, Точное вычисление константы Гаусса–Кузмина–Вирсинга (2003) (Содержит очень обширную коллекцию ссылок.)
• Филипп Флажоле и Брижит Валле , О константе Гаусса–Кузмина–Вирсинга. Архивировано 18 мая 2005 г. на Wayback Machine (1995).
• Линас Вепстас Оператор Бернулли, оператор Гаусса–Кузмина–Вирсинга и дзета Римана (2004) (PDF)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Гаусса-Кузьмина-Вирсинга». Математический мир .
• Последовательность OEIS A038517 (десятичное расширение константы Гаусса-Кузьмина-Вирсинга)