stringtranslate.com

Кривая плоскости четвертого порядка

В алгебраической геометрии , плоская кривая четвертой степени является плоской алгебраической кривой четвертой степени . Она может быть определена двумерным уравнением четвертой степени :

с по крайней мере одной из A, B, C, D, E, не равной нулю. Это уравнение имеет 15 констант. Однако его можно умножить на любую ненулевую константу, не меняя кривую; таким образом, выбрав подходящую константу умножения, любой из коэффициентов можно установить равным 1, оставив только 14 констант. Следовательно, пространство кривых четвертой степени можно отождествить с действительным проективным пространством ⁠ ⁠ Из теоремы Крамера об алгебраических кривых также следует, что существует ровно одна кривая четвертой степени, которая проходит через набор из 14 различных точек в общем положении , поскольку квартика имеет 14 степеней свободы .

Квартальная кривая может иметь максимум:

Можно также рассматривать четвертичные кривые над другими полями (или даже кольцами ), например, комплексными числами . Таким образом, можно получить римановы поверхности , которые являются одномерными объектами над ⁠ ⁠, но двумерны над ⁠ ⁠ Примером является квартика Клейна . Кроме того, можно рассмотреть кривые в проективной плоскости , заданные однородными многочленами.

Примеры

Различные комбинации коэффициентов в приведенном выше уравнении приводят к появлению различных важных семейств кривых, перечисленных ниже.

Кривая амперсанда

Амперсандная кривая — это кривая четвертой степени, заданная уравнением:

Он имеет нулевой род с тремя обычными двойными точками, все в действительной плоскости. [1]

кривая фасоли

Кривая Бина представляет собой кривую четвертой степени с уравнением:

Кривая Бина имеет род ноль. Она имеет одну особенность в начале координат, обычную тройную точку. [2] [3]

Двустворчатая кривая

Двустворчатый корень представляет собой кривую четвертой степени с уравнением

где a определяет размер кривой. Двустворчатый зуб имеет только два острия в качестве особенностей, и, следовательно, является кривой рода один. [4]

Изгиб дуги

Дуговая кривая представляет собой кривую четвертой степени с уравнением:

Дугообразная кривая имеет единственную тройную точку при x = 0, y = 0 и, следовательно, является рациональной кривой с родом ноль. [5]

Крестообразная кривая

Крестообразная кривая , или поперечная кривая, представляет собой кривую четвертой степени, заданную уравнением

где a и b — два параметра , определяющие форму кривой. Крестообразная кривая связана стандартным квадратичным преобразованием x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y с эллипсом a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1, и, следовательно, является рациональной плоской алгебраической кривой рода ноль. Крестообразная кривая имеет три двойные точки в вещественной проективной плоскости при x =0 и y =0, x =0 и z =0, и y =0 и z =0. [6]

Поскольку кривая рациональна, ее можно параметризовать рациональными функциями. Например, если a = 1 и b = 2, то

параметризует точки на кривой за пределами исключительных случаев, когда знаменатель равен нулю.

Иллюстрация обратной теоремы Пифагора и обычной теоремы Пифагора

Обратная теорема Пифагора получается из приведенного выше уравнения путем замены x на AC , y на BC и каждой a и b на CD , где A , B — концы гипотенузы прямоугольного треугольника ABC , а D — основание перпендикуляра, опущенного из точки C , вершины прямого угла, на гипотенузу:

Спиральная секция

Спирические сечения можно определить как бициркулярные четвертичные кривые, симметричные относительно осей x и y . Спиральные сечения входят в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом означает тор.

Декартово уравнение можно записать как

и уравнение в полярных координатах как

Клевер трехлистный (trifolium)

Трехлистный клевер или трифолиум [7] — это четвертая плоская кривая

Решая относительно y , кривую можно описать следующей функцией:

где два появления ± независимы друг от друга, что дает до четырех различных значений y для каждого x .

Параметрическое уравнение кривой имеет вид

[8]

В полярных координатах ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) уравнение имеет вид

Это частный случай розы-кривой с k = 3. Эта кривая имеет тройную точку в начале координат (0, 0) и три двойные касательные.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Кривая амперсанда». Математический мир .
  2. ^ Канди, Х. Мартин; Роллетт, А. П. (1961) [1952], Математические модели (2-е изд.), Clarendon Press, Оксфорд, стр. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, МР  0124167
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Бина». MathWorld .
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двустворчатая кривая». MathWorld .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Боу». MathWorld .
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Крестообразная кривая». MathWorld .
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Трифолиум». MathWorld .
  8. ^ Гибсон, К. Г., Элементарная геометрия алгебраических кривых, введение для студентов , Cambridge University Press, Кембридж, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Страницы 12 и 78.