Кубическая поверхность

В математике кубическая поверхность — это поверхность в трехмерном пространстве, определяемая одним полиномиальным уравнением степени 3. Кубические поверхности являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии . Теория упрощается за счет работы в проективном пространстве , а не в аффинном , и поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном трехмерном пространстве . Теория также становится более однородной, если сосредоточиться на поверхностях над комплексными числами , а не над действительными числами ; обратите внимание, что комплексная поверхность имеет действительную размерность 4. Простым примером является кубическая поверхность Ферма ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

в . Многие свойства кубических поверхностей справедливы и для поверхностей дель Пеццо в более общем смысле . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Гладкая кубическая поверхность (поверхность Клебша)

Рациональность кубических поверхностей

Центральной особенностью гладких кубических поверхностей X над алгебраически замкнутым полем является то, что все они рациональны , как показал Альфред Клебш в 1866 году. ^[1] То есть, существует однозначное соответствие, определяемое рациональными функциями между проективной плоскостью за вычетом подмножества меньшей размерности и X за вычетом подмножества меньшей размерности. В более общем смысле, каждая неприводимая кубическая поверхность (возможно, сингулярная) над алгебраически замкнутым полем рациональна, если только она не является проективным конусом над кубической кривой. ^[2] В этом отношении кубические поверхности намного проще гладких поверхностей степени не менее 4 в , которые никогда не являются рациональными. В нулевой характеристике гладкие поверхности степени не менее 4 в даже не являются унилинейчатыми . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Более того, Клебш показал, что каждая гладкая кубическая поверхность в над алгебраически замкнутым полем изоморфна раздутию в 6 точках. ^[4] В результате, каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами диффеоморфна связной сумме , где знак минус относится к изменению ориентации . Наоборот, раздутие в 6 точках изоморфно кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, что означает, что никакие три точки не лежат на одной прямой, и все 6 не лежат на конике . Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие ), поверхность зависит от расположения этих 6 точек. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

27 линий на кубической поверхности

Большинство доказательств рациональности кубических поверхностей начинаются с нахождения линии на поверхности. (В контексте проективной геометрии линия в изоморфна .) Точнее, Артур Кэли и Джордж Салмон показали в 1849 году, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем содержит ровно 27 линий. ^[5] Это отличительная черта кубик: гладкая квадратичная (степени 2) поверхность покрывается непрерывным семейством линий, в то время как большинство поверхностей степени не ниже 4 в не содержат линий. Другой полезный метод нахождения 27 линий включает исчисление Шуберта , которое вычисляет количество линий с помощью теории пересечения грассманиана линий на . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

При изменении коэффициентов гладкой комплексной кубической поверхности 27 прямых непрерывно перемещаются. В результате замкнутый контур в семействе гладких кубических поверхностей определяет перестановку 27 прямых. Группа перестановок 27 прямых, возникающих таким образом, называется группой монодромии семейства кубических поверхностей. Замечательным открытием 19-го века было то, что группа монодромии не является ни тривиальной, ни всей симметрической группой ; это группа порядка 51840 , действующая транзитивно на множестве прямых. ^[4] Эта группа была постепенно признана ( Эли Картаном (1896), Артуром Коблом (1915–17) и Патриком дю Валем (1936)) как группа Вейля типа , группа, порожденная отражениями на 6-мерном действительном векторном пространстве, связанная с группой Ли размерности 78. ^[4] ${\displaystyle S_{27}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

Эту же группу порядка 51840 можно описать в комбинаторных терминах как группу автоморфизмов графа из 27 линий с вершиной для каждой линии и ребром всякий раз, когда встречаются две линии. ^[6] Этот граф был проанализирован в 19 веке с использованием подграфов, таких как конфигурация двойной шестерки Шлефли . Дополнительный граф (с ребром всякий раз, когда две линии не пересекаются) известен как граф Шлефли .

Граф Шлефли

Многие проблемы, связанные с кубическими поверхностями, можно решить с помощью комбинаторики корневой системы . Например, 27 прямых можно отождествить с весами фундаментального представления группы Ли . Возможные наборы особенностей, которые могут возникнуть на кубической поверхности, можно описать в терминах подсистем корневой системы. ^[7] Одним из объяснений этой связи является то, что решетка возникает как ортогональное дополнение к антиканоническому классу в группе Пикара с ее формой пересечения (исходящей из теории пересечения кривых на поверхности). Для гладкой комплексной кубической поверхности решетка Пикара также может быть отождествлена ​​с группой когомологий . ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle -K_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$

Точка Эккарда — это точка, в которой пересекаются 3 из 27 прямых. Большинство кубических поверхностей не имеют точки Эккарда, но такие точки встречаются на подмножестве коразмерности -1 семейства всех гладких кубических поверхностей. ^[8]

При наличии отождествления между кубической поверхностью на X и раздутием в 6 точках общего положения 27 прямых на X можно рассматривать как: 6 исключительных кривых, созданных раздутием, бирациональные преобразования 15 прямых через пары 6 точек в , и бирациональные преобразования 6 коник, содержащих все, кроме одной из 6 точек. ^[9] Заданную кубическую поверхность можно рассматривать как раздутие более чем одним способом (фактически, 72 различными способами), и поэтому описание как раздутие не раскрывает симметрию между всеми 27 прямыми. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

Связь между кубическими поверхностями и корневой системой обобщается до связи между всеми поверхностями дель Пеццо и корневыми системами. Это одна из многих классификаций ADE в математике. Продолжая эти аналогии, Вера Серганова и Алексей Скоробогатов дали прямую геометрическую связь между кубическими поверхностями и группой Ли . ^[10] ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

В физике 27 линий можно отождествить с 27 возможными зарядами М-теории на шестимерном торе (6 импульсов; 15 мембран ; 6 пятибран ), и тогда группа E ₆ естественным образом действует как группа U-дуальности . Это отображение между поверхностями дель Пеццо и М-теорией на торах известно как таинственная дуальность .

Специальные кубические поверхности

Гладкая комплексная кубическая поверхность в с наибольшей группой автоморфизмов — это кубическая поверхность Ферма, определяемая соотношением ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

Его группа автоморфизмов является расширением порядка 648. ^[11] ${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$

Следующей наиболее симметричной гладкой кубической поверхностью является поверхность Клебша , которую можно определить двумя уравнениями ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Ее группа автоморфизмов — симметрическая группа порядка 120. После сложной линейной замены координат поверхность Клебша также может быть определена уравнением ${\displaystyle S_{5}}$

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

в . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Узловая кубическая поверхность Кэли

Среди сингулярных комплексных кубических поверхностей узловая кубическая поверхность Кэли является единственной поверхностью с максимальным числом узлов , равным 4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

Его группа автоморфизмов имеет порядок 24. ${\displaystyle S_{4}}$

Реальные кубические поверхности

В отличие от комплексного случая, пространство гладких кубических поверхностей над действительными числами не связно в классической топологии (основанной на топологии R ). Его связные компоненты (иначе говоря, классификация гладких действительных кубических поверхностей с точностью до изотопии ) были определены Людвигом Шлефли (1863), Феликсом Клейном (1865) и Х. Г. Цойтеном (1875). ^[12] А именно, существует 5 изотопических классов гладких действительных кубических поверхностей X в , различающихся топологией пространства действительных точек . Пространство действительных точек диффеоморфно либо , либо несвязному объединению и 2-сферы, где обозначает связную сумму r копий действительной проективной плоскости . Соответственно, число действительных прямых, содержащихся в X , равно 27, 15, 7 или 3. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$

Гладкая действительная кубическая поверхность рациональна над R тогда и только тогда, когда ее пространство действительных точек связно, отсюда в первых четырех из предыдущих пяти случаев. ^[13]

Среднее число действительных линий на X равно ^[14] , когда определяющий полином для X выбирается случайным образом из гауссовского ансамбля, индуцированного внутренним произведением Бомбьери . ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}-3}$

Пространство модулей кубических поверхностей

Две гладкие кубические поверхности изоморфны как алгебраические многообразия тогда и только тогда, когда они эквивалентны некоторым линейным автоморфизмом . Геометрическая теория инвариантов дает модульное пространство кубических поверхностей с одной точкой для каждого класса изоморфизма гладких кубических поверхностей. Это модульное пространство имеет размерность 4. Точнее, это открытое подмножество взвешенного проективного пространства P(12345) по Салмону и Клебшу (1860). В частности, это рациональное 4-мерное множество. ^[15] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Конус кривых

Прямые на кубической поверхности X над алгебраически замкнутым полем могут быть описаны внутренне, без ссылки на вложение X в : они являются в точности (−1)-кривыми на X , то есть кривыми, изоморфными , имеющими самопересечение −1. Кроме того, классы прямых в решетке Пикара X (или, что эквивалентно, группа классов дивизоров ) являются в точности элементами u из Pic( X ) такими, что и . (Здесь используется то, что ограничение гиперплоского линейного расслоения O(1) на X является антиканоническим линейным расслоением , по формуле присоединения .) ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle u^{2}=-1}$ ${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle -K_{X}}$

Для любого проективного многообразия X конус кривых означает выпуклый конус, натянутый на все кривые в X (в действительном векторном пространстве 1-циклов по модулю числовой эквивалентности или в группе гомологии , если базовое поле — комплексные числа). Для кубической поверхности конус кривых натянут на 27 прямых. ^[16] В частности, это рациональный многогранный конус в с большой группой симметрии, группой Вейля . Существует аналогичное описание конуса кривых для любой поверхности дель Пеццо. ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

Кубические поверхности над полем

Гладкая кубическая поверхность X над полем k, которое не является алгебраически замкнутым, не обязательно должна быть рациональной над k . В качестве крайнего случая существуют гладкие кубические поверхности над рациональными числами Q (или p-адическими числами ) без рациональных точек , в этом случае X , безусловно, не является рациональной. ^[17] Если X ( k ) непусто, то X по крайней мере унирационально над k , по Беньямино Сегре и Яношу Коллару . ^[18] Для бесконечного k унирациональность подразумевает, что множество k -рациональных точек плотно по Зарискому в X . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$

Абсолютная группа Галуа k переставляет 27 прямых X над алгебраическим замыканием k (через некоторую подгруппу группы Вейля ). Если некоторая орбита этого действия состоит из непересекающихся прямых, то X является раздутием «более простой» поверхности дель Пеццо над k в замкнутой точке. В противном случае X имеет число Пикара 1. (Группа Пикара X является подгруппой геометрической группы Пикара .) В последнем случае Сегре показал, что X никогда не является рациональным. Более того, Юрий Манин доказал утверждение о бирациональной жесткости: две гладкие кубические поверхности с числом Пикара 1 над совершенным полем k являются бирациональными тогда и только тогда, когда они изоморфны. ^[19] Например, эти результаты дают много кубических поверхностей над Q , которые являются унирациональными, но не рациональными. ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$

Сингулярные кубические поверхности

В отличие от гладких кубических поверхностей, которые содержат 27 линий, сингулярные кубические поверхности содержат меньше линий. ^[20] Более того, их можно классифицировать по типу сингулярности, которая возникает в их нормальной форме. Эти сингулярности классифицируются с помощью диаграмм Дынкина .

Классификация

Нормальная сингулярная кубическая поверхность в с локальными координатами называется находящейся в нормальной форме , если она задана как . В зависимости от типа сингулярности, содержащейся в , она изоморфна проективной поверхности в заданной как , где такие же, как в таблице ниже. Это означает, что мы можем получить классификацию всех сингулярных кубических поверхностей. Параметры следующей таблицы следующие: являются тремя различными элементами из , параметры находятся в и является элементом из . Обратите внимание, что существуют две различные сингулярные кубические поверхности с сингулярностью . ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$ ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$ ${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ ${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ ${\displaystyle d,e}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

В нормальной форме, если кубическая поверхность содержит хотя бы одну особенность, она будет иметь особенность в точке . ^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle [0:0:0:1]}$

Линии на сингулярных кубических поверхностях

Согласно классификации сингулярных кубических поверхностей, в следующей таблице показано количество линий , содержащихся в каждой поверхности.

Группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров

Автоморфизм нормальной особой кубической поверхности — это ограничение автоморфизма проективного пространства на . Такие автоморфизмы сохраняют особые точки. Более того, они не переставляют особые точки разных типов. Если поверхность содержит две особенности одного типа, автоморфизм может переставлять их. Совокупность автоморфизмов на кубической поверхности образует группу , так называемую группу автоморфизмов . В следующей таблице показаны все группы автоморфизмов особых кубических поверхностей без параметров. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Алгебраическая поверхность
• Классификация Энрикеса-Кодайры
• сорт Фано
• исчисление Шуберта

Примечания

1. Рид (1988), Следствие 7.4.
2. Коллар, Смит, Корти (2004), Пример 1.28.
3. Коллар, Смит, Корти (2004), Упражнение 1.59.
4. Долгачев (2012), Глава 9, Исторические заметки.
5. Рид (1988), раздел 7.6.
6. Хартшорн (1997), Упражнение V.4.11.
7. Брюс и Уолл (1979), раздел 4; Долгачев (2012), таблица 9.1.
8. Долгачев (2012), раздел 9.1.4.
9. Хартсхорн (1997), Теорема V.4.9.
10. Серганова и Скоробогатов (2007).
11. Долгачев (2012), Таблица 9.6.
12. Дегтярев и Харламов (2000), раздел 3.5.2. Различные типы реальных кубических поверхностей и линии на них изображены в Holzer & Labs (2006).
13. Силхол (1989), раздел VI.5.
14. Basu, S.; Lerario, A.; Lundberg, E.; Peterson, C. (2019). «Случайные поля и исчислительная геометрия линий на действительных и комплексных гиперповерхностях». Mathematische Annalen . 374 (3–4): 1773–1810. arXiv : 1610.01205 . doi : 10.1007/s00208-019-01837-0. S2CID  253717173.
15. Долгачев (2012), уравнение (9.57).
16. Хартшорн (1997), Теорема V.4.11.
17. Коллар, Смит, Корти (2004), Упражнение 1.29.
18. Коллар, Смит, Корти (2004), Теоремы 1.37 и 1.38.
19. Коллар, Смит, Корти (2004), Теоремы 2.1 и 2.2.
20. Брюс, Дж. У.; Уолл, К. Т. С. (1979). «О классификации кубических поверхностей». Журнал Лондонского математического общества . s2-19 (2): 245–256. doi :10.1112/jlms/s2-19.2.245. ISSN  1469-7750.
21. САКАМАКИ, ЁСИИУКИ (2010). «Группы автоморфизмов на нормальных сингулярных кубических поверхностях без параметров». Труды Американского математического общества . 362 (5): 2641–2666. doi : 10.1090/S0002-9947-09-05023-5 . ISSN  0002-9947. JSTOR  25677798.

Ссылки

• Брюс, Дж. В.; Уолл, К. Т. С. (1979), «О классификации кубических поверхностей», Журнал Лондонского математического общества , 19 (2): 245–256, doi :10.1112/jlms/s2-19.2.245, ISSN  0024-6107, MR  0533323
• Кейли, Артур (1849), «О тройных касательных плоскостях поверхностей третьего порядка», Cambridge and Dublin Math. J. , 4 : 118–138
• Кейли, Артур (1869), «Воспоминания о кубических поверхностях», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 159 , Королевское общество: 231–326, doi :10.1098/rstl.1869.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108997
• Дегтярев, А.И.; Харламов, В.М. (2000), «Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: способ Рохлина», Математические обзоры , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi :10.1070/RM2000v055n04ABEH000315, MR  1786731, S2CID  250775854
• Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139084437, ISBN 9781139084437, МР  2964027
• Робин Хартшорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157.
• Хендерсон, Арчибальд (2015) [1911], Двадцать семь линий на кубической поверхности , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Хольцер, Стефан; Лабс, Оливер (2006), «Иллюстрация классификации реальных кубических поверхностей» (PDF) , Алгебраическая геометрия и геометрическое моделирование , Springer, стр. 119–134, MR  2279847
• Исковских, В.А. (2001) [1994], "Кубическая гиперповерхность", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э.; Корти , Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные многообразия , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, MR  2062787, S2CID  117569533
• Манин, Юрий Иванович (1986), Кубические формы , Математическая библиотека Северной Голландии, вып. 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-87823-6, МР  0833513
• Рид, Майлз (1988). Алгебраическая геометрия для студентов . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35662-6. МР  0982494.
• Шлефли, Людвиг (1863), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам в отношении отсутствия или наличия особых точек и реальности их линий», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 , Королевское общество: 193–241, doi : 10.1098/rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614, JSTOR  108795
• Сегре, Беньямино (1942), Неособые кубические поверхности , Oxford University Press , MR  0008171
• Серганова, Вера ; Скоробогатов, Алексей (2007), «Поверхности Дель Пеццо и теория представлений», Алгебра и теория чисел , 1 (4): 393–419, arXiv : math/0611737 , doi : 10.2140/ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Силхол, Роберт (1989), Действительные алгебраические поверхности , Lecture Notes in Mathematics, т. 1392, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0088815, ISBN 3-540-51563-1, МР  1015720

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Кубическая поверхность», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Линии на кубической поверхности Райана Хобана (Лаборатория экспериментальной геометрии Мэрилендского университета), основанные на работе Уильяма Голдмана, Проект демонстраций Вольфрама .
• DVD «Кубические поверхности» (54 анимации кубических поверхностей, которые можно загрузить отдельно или в виде DVD)