Теорема Кутты–Жуковского

Формула, связывающая подъемную силу на аэродинамическом профиле со скоростью жидкости, плотностью и циркуляцией

Теорема Кутты–Жуковского является фундаментальной теоремой в аэродинамике , используемой для расчета подъемной силы аэродинамического профиля ( и любого двумерного тела, включая круговые цилиндры), перемещающегося в однородной жидкости с постоянной скоростью, настолько большой, что поток, наблюдаемый в системе отсчета, фиксированной относительно тела, является устойчивым и неразделенным . Теорема связывает подъемную силу, создаваемую аэродинамическим профилем, со скоростью аэродинамического профиля через жидкость, плотностью жидкости и циркуляцией вокруг аэродинамического профиля. Циркуляция определяется как линейный интеграл по замкнутому контуру, охватывающему аэродинамический профиль, компонента скорости жидкости, касательного к контуру. ^[1] Она названа в честь Мартина Кутты и Николая Жуковского (или Жуковского), которые впервые разработали ее ключевые идеи в начале 20-го века. Теорема Кутты–Жуковского является невязкой теорией , но она является хорошим приближением для реального вязкого потока в типичных аэродинамических приложениях. ^[2]

Теорема Кутты–Жуковского связывает подъемную силу с циркуляцией так же, как эффект Магнуса связывает боковую силу (называемую силой Магнуса) с вращением. ^[3] Однако циркуляция здесь не вызвана вращением аэродинамического профиля. Поток жидкости в присутствии аэродинамического профиля можно рассматривать как суперпозицию поступательного потока и вращающегося потока. Этот вращающийся поток вызван эффектами изгиба , угла атаки и острой задней кромки аэродинамического профиля. Его не следует путать с вихрем, подобным торнадо, окружающим аэродинамический профиль. На большом расстоянии от аэродинамического профиля вращающийся поток можно рассматривать как вызванный линейным вихрем (с вращающейся линией, перпендикулярной двумерной плоскости). При выводе теоремы Кутты–Жуковского аэродинамический профиль обычно отображается на круговой цилиндр. Во многих учебниках теорема доказывается для кругового цилиндра и аэродинамического профиля Жуковского , но она верна и для общих аэродинамических профилей.

Формула подъемной силы

Теорема применима к двумерному потоку вокруг фиксированного аэродинамического профиля (или любой формы бесконечного размаха ). Подъемная сила на единицу размаха аэродинамического профиля определяется по формуле ^[4] ${\displaystyle L'\,}$

где и — плотность жидкости и скорость жидкости далеко вверх по потоку от аэродинамического профиля, а — циркуляция, определяемая как линейный интеграл ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \,ds}$

вокруг замкнутого контура, охватывающего аэродинамический профиль, и пройденного в отрицательном (по часовой стрелке) направлении. Как поясняется ниже, этот путь должен находиться в области потенциального потока , а не в пограничном слое цилиндра. Подынтегральное выражение является компонентом локальной скорости жидкости в направлении, касательном к кривой , и представляет собой бесконечно малую длину на кривой . Уравнение (1) является формой теоремы Кутты–Жуковского . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V\cos \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle C}$

Кюте и Шетцер формулируют теорему Кутты–Жуковского следующим образом: ^[5]

Сила на единицу длины, действующая на прямой цилиндр любого поперечного сечения, равна и перпендикулярна направлению ${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma }$ ${\displaystyle V_{\infty }.}$

Кровообращение и состояние Кутта

Подъемный профиль имеет либо изгиб, либо работает под положительным углом атаки , углом между линией хорды и потоком жидкости далеко вверх по течению от профиля. Кроме того, профиль должен иметь острую заднюю кромку.

Любая реальная жидкость является вязкой, что подразумевает, что скорость жидкости исчезает на аэродинамическом профиле. Прандтль показал, что при большом числе Рейнольдса , определяемом как , и малом угле атаки поток вокруг тонкого аэродинамического профиля состоит из узкой вязкой области, называемой пограничным слоем вблизи тела, и невязкой области потока снаружи. При применении теоремы Кутты-Жуковского контур должен быть выбран вне этого пограничного слоя. (Например, циркуляция, рассчитанная с использованием контура, соответствующего поверхности аэродинамического профиля, будет равна нулю для вязкой жидкости.) ${\displaystyle {\mathord {\text{Re}}}={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}$

Требование острой задней кромки физически соответствует потоку, в котором жидкость, движущаяся вдоль нижней и верхней поверхностей аэродинамического профиля, встречается плавно, без движения жидкости вокруг задней кромки аэродинамического профиля. Это известно как условие Кутта .

Кутта и Жуковски показали, что для вычисления давления и подъемной силы тонкого аэродинамического профиля для потока при большом числе Рейнольдса и малом угле атаки поток можно считать невязким во всей области за пределами аэродинамического профиля, если наложено условие Кутта. Это известно как теория потенциального потока и работает на практике замечательно хорошо.

Вывод

Ниже представлены два вывода. Первый — эвристический аргумент, основанный на физическом понимании. Второй — формальный и технический, требующий базового векторного анализа и комплексного анализа .

Эвристический аргумент

Для эвристического аргумента рассмотрим тонкий аэродинамический профиль с хордой и бесконечным размахом, движущийся через воздух плотностью . Пусть аэродинамический профиль наклонен к набегающему потоку, чтобы создать скорость воздуха с одной стороны аэродинамического профиля и скорость воздуха с другой стороны. Тогда циркуляция будет ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V+v}$

${\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}$

Разницу давления между двумя сторонами аэродинамического профиля можно найти, применив уравнение Бернулли : ${\displaystyle \Delta P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)&={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,\\{\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P&={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,\\\Delta P&=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,\end{aligned}}}$

поэтому направленная вниз сила, действующая на воздух, на единицу пролета, равна

${\displaystyle L'=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma \,}$

и восходящая сила (подъемная сила) на аэродинамическом профиле равна ${\displaystyle \rho V\Gamma .\,}$

Дифференциальная версия этой теоремы применяется к каждому элементу пластины и является основой теории тонкого аэродинамического профиля .

Формальное выведение

Формальный вывод теоремы Кутты–Жуковского

Прежде всего, вычисляется сила, действующая на каждую единицу длины цилиндра произвольного поперечного сечения. ^[6] Пусть эта сила на единицу длины (далее именуемая просто силой) будет . Тогда общая сила равна: ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$

где C обозначает границу цилиндра, - статическое давление жидкости, - единичный вектор, нормальный к цилиндру, а ds - элемент дуги границы поперечного сечения. Теперь пусть - угол между нормальным вектором и вертикалью. Тогда компоненты вышеуказанной силы равны: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \,}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\,,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$

Теперь наступает решающий шаг: рассмотрим используемое двумерное пространство как комплексную плоскость . Таким образом, каждый вектор может быть представлен как комплексное число , с его первым компонентом, равным действительной части, и его вторым компонентом, равным мнимой части комплексного числа. Тогда силу можно представить как:

${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$

Следующий шаг — взять комплексно сопряженную силу и выполнить некоторые манипуляции: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$

Участки поверхности ds связаны с изменениями dz вдоль них соотношением:

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\\{}\Rightarrow d{\bar {z}}&=e^{-i\phi }ds.\end{aligned}}}$

Подставляя это обратно в интеграл, получаем:

${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$

Теперь используется уравнение Бернулли , чтобы удалить давление из интеграла. На протяжении всего анализа предполагается, что внешнее силовое поле отсутствует. Массовая плотность потока равна Тогда давление связано со скоростью следующим образом: ${\displaystyle \rho .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$

${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$

При этом сила становится: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$

Осталось сделать только один шаг: ввести комплексный потенциал потока. Он связан с компонентами скорости как где апостроф обозначает дифференцирование по комплексной переменной z . Скорость касается линии границы C , так что это означает, что Следовательно, и получаем искомое выражение для силы: ${\displaystyle w=f(z),}$ ${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$ ${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$ ${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,}$

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$

которая называется теоремой Блазиуса .

Чтобы прийти к формуле Жуковского, этот интеграл должен быть оценен. Из комплексного анализа известно, что голоморфная функция может быть представлена ​​в виде ряда Лорана . Из физики задачи выводится, что производная комплексного потенциала будет выглядеть следующим образом: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots .}$

Функция не содержит членов более высокого порядка, поскольку скорость остается конечной на бесконечности. Так что представляет производную комплексного потенциала на бесконечности: . Следующая задача — выяснить значение . Используя теорему о вычетах для приведенного выше ряда: ${\displaystyle a_{0}\,}$ ${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$ ${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$

Теперь выполните указанную выше интеграцию:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}w'(z)\,dz&=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)\\&=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)\\&=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).\end{aligned}}}$

Первый интеграл распознается как циркуляция , обозначенная как Второй интеграл может быть оценен после некоторых преобразований: ${\displaystyle \Gamma .}$

${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$

Здесь функция тока . Поскольку граница C цилиндра сама по себе является линией тока, функция тока на ней не меняется, и . Следовательно, указанный выше интеграл равен нулю. В результате: ${\displaystyle \psi \,}$ ${\displaystyle d\psi =0\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$

Возьмем квадрат ряда:

${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\cdots .}$

Подставим это обратно в формулу Блазиуса–Чаплыгина и выполним интегрирование с использованием теоремы о вычетах:

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$

Итак, формула Кутты–Жуковского выглядит так:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=\rho \Gamma v_{y\infty }\,,&F_{y}&=-\rho \Gamma v_{x\infty }.\end{aligned}}}$

Подъемные силы для более сложных ситуаций

Подъемная сила, предсказанная теоремой Кутты-Жуковского в рамках теории невязкого потенциального течения, является довольно точной даже для реального вязкого течения, при условии, что течение является устойчивым и неразделенным. ^[7] При выводе теоремы Кутты-Жуковского использовалось предположение о безвихревом течении. Когда вне тела имеются свободные вихри, что может иметь место для большого числа нестационарных течений, течение является вращательным. Когда течение является вращательным, для вывода подъемных сил следует использовать более сложные теории. Ниже приведено несколько важных примеров.

Импульсно начатый поток при малом угле атаки

Для импульсивно начатого потока, например, полученного внезапным ускорением аэродинамического профиля или установкой угла атаки, существует вихревая пелена , непрерывно сбрасываемая с задней кромки, и подъемная сила неустойчива или зависит от времени. Для начального потока с малым углом атаки вихревая пелена следует плоской траектории, а кривая коэффициента подъемной силы как функции времени задается функцией Вагнера. ^[8] В этом случае начальная подъемная сила составляет половину конечной подъемной силы, заданной формулой Кутты–Жуковского. ^[9] Подъемная сила достигает 90% своего значения в стационарном состоянии, когда крыло прошло расстояние около семи длин хорд.

Импульсно начатый поток под большим углом атаки

Когда угол атаки достаточно велик, вихревая пелена задней кромки изначально имеет спиральную форму, а подъемная сила является единичной (бесконечно большой) в начальный момент времени. ^[10] Подъемная сила падает в течение очень короткого периода времени, прежде чем будет достигнута обычно предполагаемая монотонно возрастающая кривая подъемной силы.

Стартовый поток при большом угле атаки для крыльев с острыми передними кромками

Если, как и в случае плоской пластины, передняя кромка также острая, то вихри также сбрасываются с передней кромки, и роль вихрей на передней кромке двояка: 1) они увеличивают подъемную силу, когда они все еще близки к передней кромке, так что они поднимают кривую подъемной силы Вагнера, и 2) они вредны для подъемной силы, когда они конвектируются к задней кромке, вызывая новую спираль вихря задней кромки, движущуюся в направлении уменьшения подъемной силы. Для этого типа потока карта силовых линий вихря (VFL) ^[11] может использоваться для понимания эффекта различных вихрей в различных ситуациях (включая больше ситуаций, чем начальный поток) и может использоваться для улучшения управления вихрем с целью увеличения или уменьшения подъемной силы. Карта силовых линий вихря представляет собой двумерную карту, на которой отображаются силовые линии вихря. Для вихря в любой точке потока его подъемная сила пропорциональна его скорости, его циркуляции и косинусу угла между линией тока и линией силы вихря. Поэтому карта силовой линии вихря ясно показывает, создает ли данный вихрь подъемную силу или вредит ей.

Теорема Лагалли

Когда источник (массы) зафиксирован снаружи тела, поправка силы, вызванная этим источником, может быть выражена как произведение силы внешнего источника и индуцированной скорости в этом источнике всеми причинами, кроме этого источника. Это известно как теорема Лагалли. ^[12] Для двумерного невязкого потока классическая теорема Кутты Жуковского предсказывает нулевое сопротивление. Однако, когда вихрь находится снаружи тела, возникает индуцированное вихрем сопротивление в форме, аналогичной индуцированной подъемной силе.

Обобщенная теорема Лагалли

Для свободных вихрей и других тел вне одного тела без связанной завихренности и без вихреобразования справедлива обобщенная теорема Лагалли ^[13], с помощью которой силы выражаются как произведения силы внутренних сингулярностей (вихрей изображения, источников и дублетов внутри каждого тела) и индуцированной скорости в этих сингулярностях всеми причинами, кроме тех, что находятся внутри этого тела. Вклад, обусловленный каждой внутренней сингулярностью, суммируется, чтобы дать общую силу. Движение внешних сингулярностей также вносит вклад в силы, и компонент силы, обусловленный этим вкладом, пропорционален скорости сингулярности.

Индивидуальная сила каждого тела для многотельного вращательного потока

Когда в дополнение к множественным свободным вихрям и множественным телам имеются связанные вихри и вихреобразование на поверхности тела, обобщенная теорема Лагалли все еще верна, но существует сила, обусловленная вихреобразованием. Эта сила вихреобразования пропорциональна скорости вихреобразования и расстоянию между парой вихрей в процессе производства. При таком подходе явная и алгебраическая формула силы, учитывающая все причины (внутренние сингулярности, внешние вихри и тела, движение всех сингулярностей и тел и вихреобразование), верна индивидуально для каждого тела ^[14] с ролью других тел, представленных дополнительными сингулярностями. Следовательно, возможно разложение силы по телам.

Общее трехмерное вязкое течение

Для общего трехмерного, вязкого и нестационарного потока формулы силы выражаются в интегральных формах. Интеграция объема определенных величин потока, таких как моменты завихренности, связана с силами. Различные формы интегрального подхода теперь доступны для неограниченной области ^{[9] [15] [16]} и для искусственно усеченной области. ^[17] Теорема Кутта-Жуковского может быть восстановлена ​​из этих подходов при применении к двумерному аэродинамическому профилю и когда поток является стационарным и неразделенным.

Теория подъемной линии для крыльев, вихри на концах крыльев и индуктивное сопротивление

Крыло имеет конечный размах, и циркуляция в любой секции крыла меняется в зависимости от направления размаха. Это изменение компенсируется высвобождением продольных вихрей, называемых хвостовыми вихрями , из-за сохранения завихренности или теоремы Кельвина о сохранении циркуляции. Эти продольные вихри сливаются в две вращающиеся в противоположных направлениях сильные спирали, разделенные расстоянием, близким к размаху крыла, и их ядра могут быть видны, если относительная влажность высока. Рассмотрение хвостовых вихрей как серии полубесконечных прямолинейных вихрей приводит к хорошо известной теории подъемной линии. Согласно этой теории, крыло имеет подъемную силу, меньшую, чем предсказывает чисто двумерная теория с использованием теоремы Кутты–Жуковского. Это происходит из-за эффектов восходящего потока от хвостовых вихрей, добавленных к скосу потока на угол атаки крыла. Это уменьшает эффективный угол атаки крыла, уменьшая величину подъемной силы, создаваемой при заданном угле атаки, и требуя большего угла атаки для восстановления этой потерянной подъемной силы. При этом новом большем угле атаки сопротивление также увеличилось. Индуцированное сопротивление эффективно уменьшает наклон кривой подъемной силы 2-D аэродинамического профиля и увеличивает угол атаки (при этом также уменьшая значение ). ${\displaystyle C_{L_{\max }}}$ ${\displaystyle C_{L_{\max }}}$

Смотрите также

• Подковообразный вихрь

Ссылки

1. Андерсон, Дж. Д. Мл. (1989). «Давление, температура и плотность высоты». Введение в полет (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 100–103. ISBN 0-07-001641-0.
2. Лю, LQ; Чжу, JY; Ву, JZ (2015). «Подъем и сопротивление в двумерном стационарном вязком и сжимаемом потоке». Журнал механики жидкости . 784 : 304–341. Bibcode : 2015JFM...784..304L. doi : 10.1017/jfm.2015.584. S2CID  125643946.
3. "Подъемная сила вращающихся цилиндров". NASA Glenn Research Center. 2010-11-09. Архивировано из оригинала 2014-01-11 . Получено 2013-11-07 .
4. Клэнси, Л. Дж. (1975). Аэродинамика . Лондон: Pitman. Раздел 4.5. ISBN 0-273-01120-0.
5. Кете, AM; Шетцер, JD (1959). Основы аэродинамики . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. Раздел 4.9. ISBN 0-471-50952-3.
6. Бэтчелор, Г. К. (1967). Введение в динамику жидкости . Cambridge University Press. стр. 406.
7. Андерсон, Дж. (2010). Основы аэродинамики . Серия McGraw-Hill по авиационной и аэрокосмической технике. Нью-Йорк: McGraw-Hill Education.
8. Вагнер, Х. (1925). «Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflügeln». З. Энджью. Математика. Мех. 5 (1): 17–35. Бибкод : 1925ЗаММ....5...17Вт. дои : 10.1002/zamm.19250050103.
9. Saffman, PG (1992). Vortex Dynamics . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42058-X.
10. Грэм, Дж. М. Р. (1983). «Подъемная сила на аэродинамическом крыле при запуске потока». Журнал механики жидкости . 133 : 413–425. Bibcode : 1983JFM...133..413G. doi : 10.1017/S0022112083001986. S2CID  123501457.
11. Li, J.; Wu, ZN (2015). «Нестационарный подъем для задачи Вагнера при наличии дополнительных вихрей на передней задней кромке». Журнал механики жидкости . 769 : 182–217. Bibcode : 2015JFM...769..182L. doi : 10.1017/jfm.2015.118. S2CID  121892071.
12. Милн-Томсон, Л. М. (1968). Теоретическая гидродинамика . Гонконг: Macmillan Education. стр. 226.
13. Wu, CT; Yang, FL; Young, DL (2012). «Обобщенная двумерная теорема Лагалли со свободными вихрями и ее применение к проблемам взаимодействия жидкости и тела» (PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 698 : 73–92. Bibcode :2012JFM...698...73W. doi :10.1017/jfm.2012.45. S2CID  120656935.
14. Бай, CY; Ли, J.; Ву, ZN (2014). «Обобщенная теорема Кутты-Жуковского для многовихревого и многопрофильного потока с вихреобразованием — общая модель». Китайский журнал аэронавтики . 27 (5): 1037–1050. doi : 10.1016/j.cja.2014.03.014 .
15. Wu, JC (1981). «Теория аэродинамической силы и момента в вязких потоках». Журнал AIAA . 19 (4): 432–441. Bibcode : 1981AIAAJ..19..432W. doi : 10.2514/3.50966.
16. Howe, MS (1995). «О силе и моменте, действующих на тело в несжимаемой жидкости, с применением к твердым телам и пузырькам при высоких числах Рейнольдса». Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 48 (3): 401–425. doi :10.1093/qjmam/48.3.401.
17. Wu, JZ; Lu, XY; Zhuang, LX (2007). «Интегральная сила, действующая на тело из-за локальных структур потока». Журнал механики жидкости . 576 : 265–286. Bibcode : 2007JFM...576..265W. doi : 10.1017/S0022112006004551. S2CID  122293574.

Библиография

• Милн-Томсон, Л. М. (1973) Теоретическая аэродинамика , Dover Publications Inc, Нью-Йорк