Определитель Кэли – Менгера

Формула «объема» n-симплекса

В линейной алгебре , геометрии и тригонометрии определитель Кэли-Менгера представляет собой формулу для содержания, т. е. многомерного объема -мерного симплекса, выраженного в квадратах всех расстояний между парами его вершин. Определитель назван в честь Артура Кэли и Карла Менгера . ${\textstyle n}$

Полиномы попарных расстояний между n точками в реальном евклидовом пространстве являются евклидовыми инвариантами, которые связаны отношениями Кэли-Менгера . ^[1] Эти отношения служили нескольким целям, таким как обобщение формулы Герона, вычисление содержимого n -мерного симплекса и, в конечном итоге, определение того, является ли какая-либо реальная симметричная матрица евклидовой матрицей расстояний в области геометрии расстояний . ^[2] ${\displaystyle {n \choose 2}}$

История

Карл Менгер был молодым профессором геометрии в Венском университете, а Артур Кэли — британским математиком, специализировавшимся на алгебраической геометрии. Менгер расширил алгебраическое мастерство Кэли, предложив новую аксиому метрических пространств, используя концепции геометрии расстояния и отношения конгруэнтности, известные как определитель Кэли-Менгера. В конечном итоге это обобщило одно из первых открытий в геометрии расстояний — формулу Герона , которая вычисляет площадь треугольника по длинам его сторон. ^[3]

Определение

Позвольте быть точками в -мерном евклидовом пространстве , причем . ^[a] Эти точки являются вершинами n -мерного симплекса: треугольник, когда ; тетраэдр, когда , и так далее. Пусть – евклидовы расстояния между вершинами и . Содержимое, т.е. n -мерный объем этого симплекса, обозначаемый , может быть выражено как функция определителей некоторых матриц следующим образом: ^{[4] [5]} ${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\textstyle d_{ij}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\textstyle A_{j}}$ ${\displaystyle v_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n}^{2}&={\frac {1}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&\cdots &d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&\cdots &d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}&d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}&\cdots &2d_{0n}^{2}\end{vmatrix}}\\[10pt]&={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Это определитель Кэли-Менгера . Ибо это симметричный полином от 's и, таким образом, инвариантен при перестановке этих величин. Это не работает, но всегда инвариантно относительно перестановки вершин. ^[б] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle d_{ij}}$ ${\displaystyle n>2,}$

За исключением последней строки и столбца из единиц, матрица во второй форме этого уравнения представляет собой евклидову матрицу расстояний .

Особые случаи

2-Симплекс

Еще раз повторим: симплекс — это n -мерный многогранник и выпуклая оболочка точек , не лежащих ни в одной размерной плоскости. ^[6] Следовательно, 2-симплекс возникает тогда, когда и в результате симплекса образуется треугольник. Поэтому формула для определения треугольника приведена ниже: ^[5] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle V_{j}^{2}}$

${\displaystyle -16\Delta ^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\\\end{vmatrix}}}$

В результате приведенное выше уравнение представляет собой содержимое 2-симплекса (площадь плоского треугольника с длинами сторон , и ) и представляет собой обобщенную форму формулы Герона. ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

3-Симплекс

Точно так же 3-симплекс возникает, когда и в результате симплекса образуется тетраэдр. ^[6] Поэтому формула для определения тетраэдра приведена ниже: ^[5] ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle V_{j}^{2}}$

${\displaystyle 288V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{41}^{2}&d_{42}^{2}&d_{43}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}$

В результате приведенное выше уравнение представляет содержимое 3-симплекса, который представляет собой объем тетраэдра, где ребро между вершинами и имеет длину . ^[5] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle d_{ij}}$

Доказательство

Пусть векторы-столбцы являются точками в -мерном евклидовом пространстве. Начнем с формулы объема ${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle v_{n}={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|\,,}$

отметим, что определитель не меняется, когда мы добавляем дополнительную строку и столбец для создания матрицы , ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}&0\\1&1&\cdots &1&0\\\|A_{0}\|^{2}&\|A_{1}\|^{2}&\cdots &\|A_{n}\|^{2}&1\end{pmatrix}}\,,}$

где – квадрат длины вектора . Дополнительно отметим, что матрица ${\displaystyle \|A_{j}\|^{2}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-2&0&\cdots &0&0&0\\0&-2&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-2&0&0\\0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\end{pmatrix}}}$

имеет определитель . Таким образом, ^[7] ${\displaystyle (-2)^{n}(-1)=(-1)^{n+1}2^{n}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}=\det(P^{T}QP)=\det(Q)\det(P)^{2}=(-1)^{n+1}2^{n}(n!)^{2}v_{n}^{2}\,.}$

Обобщение на гиперболическую и сферическую геометрию.

Существуют сферические и гиперболические обобщения. ^[8] Доказательство можно найти здесь. ^[9]

В сферическом пространстве размерности и постоянной кривизны любые точки удовлетворяют условиям ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 1/R^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&f(d_{01})&f(d_{02})&\cdots &f(d_{0n})&1\\f(d_{01})&0&f(d_{12})&\cdots &f(d_{1n})&1\\f(d_{02})&f(d_{12})&0&\cdots &f(d_{2n})&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\f(d_{0n})&f(d_{1n})&f(d_{2n})&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&{\frac {1}{2R^{2}}}\end{vmatrix}}=0}$

где и – сферическое расстояние между точками . ${\displaystyle f(d)=2R^{2}\left(1-\cos {\frac {d}{R}}\right)}$ ${\displaystyle d_{ij}}$ ${\displaystyle i,j}$

В гиперболическом пространстве размерности и постоянной кривизны любые точки удовлетворяют условиям ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle -1/R^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&f(d_{01})&f(d_{02})&\cdots &f(d_{0n})&1\\f(d_{01})&0&f(d_{12})&\cdots &f(d_{1n})&1\\f(d_{02})&f(d_{12})&0&\cdots &f(d_{2n})&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\f(d_{0n})&f(d_{1n})&f(d_{2n})&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&-{\frac {1}{2R^{2}}}\end{vmatrix}}=0}$

где и – гиперболическое расстояние между точками . ${\displaystyle f(d)=2R^{2}\left(\cosh {\frac {d}{R}}-1\right)}$ ${\displaystyle d_{ij}}$ ${\displaystyle i,j}$

Пример

В случае мы имеем, что это площадь треугольника , и поэтому мы будем обозначать ее через . По определителю Кэли-Менгера, где длины сторон треугольника , и , ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&={\begin{vmatrix}2a^{2}&a^{2}+b^{2}-c^{2}\\a^{2}+b^{2}-c^{2}&2b^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\[6pt]&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[6pt]&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}}}$

Результат в третьей строке обусловлен тождеством Фибоначчи . Последнюю строку можно переписать, чтобы получить формулу Герона для площади треугольника с учетом трех сторон, которая была известна еще Архимеду. ^[10]

В случае величина дает объем тетраэдра , который мы обозначим через . Для расстояний между и , определитель Кэли – Менгера дает ^{[11] [12]} ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle d_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}={}&{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2}&d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2}&2d_{03}^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]={}&4d_{01}^{2}d_{02}^{2}d_{03}^{2}+(d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2})(d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2})(d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2})\\[6pt]&{}-d_{01}^{2}(d_{02}^{2}+d_{03}^{2}-d_{23}^{2})^{2}-d_{02}^{2}(d_{01}^{2}+d_{03}^{2}-d_{13}^{2})^{2}-d_{03}^{2}(d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Нахождение радиуса описанной симплекса

Учитывая невырожденный n -симплекс, он имеет описанную n -сферу радиусом . Тогда ( n  + 1)-симплекс, составленный из вершин n -симплекса и центра n -сферы, вырожден. Таким образом, мы имеем ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&r^{2}&r^{2}&r^{2}&\cdots &r^{2}&1\\r^{2}&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\r^{2}&d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\r^{2}&d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\r^{2}&d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}=0}$

В частности, когда это дает радиус описанной окружности треугольника, выраженный в длинах его ребер. ${\displaystyle n=2}$

Установить классификации

Исходя из этих определителей, мы также имеем следующие классификации:

Прямой

Множество Λ (содержащее не менее трех различных элементов) называется прямым тогда и только тогда , когда для любых трех элементов A , B и C из Λ ^[13]

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0}$

Самолет

Множество Π (содержащее не менее четырех различных элементов) называется плоским тогда и только тогда, когда для любых четырех элементов A , B , C и D из Π ^[13]

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&d(AD)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&d(BD)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&d(CD)^{2}&1\\d(AD)^{2}&d(BD)^{2}&d(CD)^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0}$

но не все тройки элементов из П прямые друг к другу;

Плоский

Множество Φ (содержащее не менее пяти различных элементов) называется плоским тогда и только тогда, когда для любых пяти элементов A , B , C , D и E из Φ ^[13]

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&d(AD)^{2}&d(AE)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&d(BD)^{2}&d(BE)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&d(CD)^{2}&d(CE)^{2}&1\\d(AD)^{2}&d(BD)^{2}&d(CD)^{2}&0&d(DE)^{2}&1\\d(AE)^{2}&d(BE)^{2}&d(CE)^{2}&d(DE)^{2}&0&1\\1&1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0}$

но не все четверки элементов из Ф плоские друг к другу; и так далее.

Теорема Менгера

Карл Менгер сделал дальнейшее открытие после разработки определителя Кэли-Менгера, который стал известен как теорема Менгера . Теорема гласит:

Полуметрика является евклидовой размерности n тогда и только тогда, когда все определители Кэли-Менгера в точках строго положительны, все определители в точках равны нулю и определитель Кэли-Менгера хотя бы на одном наборе точек неотрицательен (в этом случае он обязательно нуль) . ^[1] ${\displaystyle \rho :A\times A\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n+3}$

Проще говоря, если каждое подмножество точек может быть изометрически вложено в евклидово пространство, но не в общеразмерном , то полуметрика является евклидовой размерностью, если только она не состоит ровно из точек и определитель Кэли-Менгера в этих точках строго отрицателен. Этот тип полуметрики можно было бы классифицировать как псевдоевклидову . ^[1] ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle (n-1)-}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n+3}$ ${\displaystyle n+3}$

Реализация евклидовой матрицы расстояний

Учитывая отношения Кэли-Менгера, как объяснено выше, в следующем разделе будут представлены два алгоритма, позволяющие решить, является ли данная матрица матрицей расстояний, соответствующей евклидову множеству точек. Первый алгоритм сделает это, если задана матрица И размерность с помощью алгоритма решения геометрических ограничений. Второй алгоритм делает это, когда размерность не указана. Этот алгоритм теоретически находит реализацию полной матрицы евклидовых расстояний в наименьшем возможном измерении вложения за квадратичное время. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n}$

Теорема (г дана)

Для целей и контекста следующей теоремы, алгоритма и примера будут использоваться немного другие обозначения, чем раньше, что приведет к измененной формуле для объема размерного симплекса ниже, чем выше. ${\displaystyle n-1}$

Теорема. Матрица является евклидовой матрицей расстояний тогда и только тогда, когда для всех подматриц , где , . Чтобы иметь реализацию в размерности , если , то . ^[14] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle \det({\hat {\delta _{S}}})\geq 0}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle |S|=k\geq d+2}$ ${\displaystyle \det({\hat {\delta _{S}}})=0}$

Как указывалось ранее, цель этой теоремы исходит из следующего алгоритма реализации евклидовой матрицы расстояний или матрицы Грама.

Алгоритм

Вход

Евклидова матрица расстояний или матрица Грама . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Выход

Набор точек ${\displaystyle P}$

Процедура

• Если размерность фиксирована, мы можем решить систему полиномиальных уравнений, по одному для каждой записи внутреннего продукта , где переменные - это координаты каждой точки в желаемом измерении . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ ${\displaystyle d}$
• В противном случае мы можем решать по одной точке за раз.
  • Решите координаты, используя его расстояния до всех ранее размещенных точек . Таким образом, представлено не более значений координат, что обеспечивает минимальную размерность и сложность. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{k-1}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k-1}$

Пример

Пусть каждая точка имеет координаты . Чтобы расставить первые три точки: ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle {p_{k}^{1},p_{k}^{2},...}}$

1. Поставил в начало координат, так . ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}={0,0,...}}$
2. Поставил на первую ось, т.к. ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}={(\delta _{12})^{2},0,...}}$
3. Положить : ${\displaystyle p_{3}}$

${\displaystyle {\begin{cases}(p_{1}^{1}-p_{3}^{1})^{2}+(p_{1}^{2}-p_{3}^{2})^{2}=(\delta _{13})^{2}\\(p_{2}^{1}-p_{3}^{1})^{2}+(p_{2}^{2}-p_{3}^{2})^{2}=(\delta _{23})^{2}\end{cases}}}$ ${\displaystyle \rightarrow {\begin{cases}p_{3}^{1}={\frac {(\delta _{12})^{2}+(\delta _{13})^{2}-(\delta _{23})^{2}}{2\delta _{12}}}\\p_{3}^{2}={\frac {\sqrt {(\delta _{31}+\delta _{32}+\delta _{12})(\delta _{31}+\delta _{32}-\delta _{12})(\delta _{31}-\delta _{32}+\delta _{12})(-\delta _{31}+\delta _{32}+\delta _{12})}}{2\delta _{01}}}\end{cases}}}$

Чтобы найти реализацию с помощью приведенного выше алгоритма, дискриминант системы квадратов расстояний должен быть положительным, что эквивалентно наличию положительного объема. В общем случае объем размерного симплекса, образованного вершинами, определяется выражением ^[14] ${\displaystyle \Delta p_{1}p_{2}p_{3}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n-1}^{2}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n-1}(n-1!)^{2}}}\det({\hat {\Delta }})}$.

В приведенной выше формуле – определитель Кэли – Менгера. Положительный объем эквивалентен положительному определителю матрицы объема. ${\displaystyle \det({\hat {\Delta }})}$

Теорема (d не дана)

Пусть K — целое положительное число, а D — симметричная полая матрица × n с неотрицательными элементами, с n ≥ 2. D — евклидова матрица расстояний с dim(D) = K тогда и только тогда, когда существуют и набор индексов I = такой что ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{K}}$ ${\displaystyle \{i_{1},...,i_{K+1}\}\subseteq I_{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}=0\\x_{i_{j}}(j-1)\neq 0,&{\mbox{ }}j\in I_{2,K+1}\\x_{i_{j}}(i)=0,&{\mbox{ }}j\in I_{2,K},i\in I_{j,K},\end{cases}}}$

где реализует D, где обозначает компонент вектора . ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle x_{h}(l)}$ ${\displaystyle l^{th}}$ ${\displaystyle h^{th}}$

Подробное доказательство этой теоремы можно найти по следующей ссылке. ^[15]

Алгоритм — K = edmsph( D, x )

Источник: ^[15]

${\displaystyle I=\{1,2\}}$ ${\displaystyle K=1}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})=(0,{\sqrt {D_{12}}})}$ ${\displaystyle {\text{for i}}\in \{3,...,n\}{\text{ do}}}$

Γ ${\displaystyle =\bigcap _{j\in I}S^{K}(x_{j},D_{ij})}$

если Г ∅; затем ${\displaystyle =}$

вернуть ∞

иначе, если Γ ${\displaystyle =\{p_{i}\}{\text{ }}then}$

${\displaystyle x_{i}=p_{i}}$

иначе, если Γ ${\displaystyle =\{p_{i}^{+},p_{i}^{-}\}{\text{ }}then}$

${\displaystyle x_{i}=p_{i}^{+}}$

${\displaystyle x}$← развернуть( ) ${\displaystyle x}$

Я ← Я ∪ { я }

К ← К + 1

еще

ошибка : dim aff(span( )) < K - 1 ${\displaystyle x_{j}}$

конец, если

конец возврата K

Смотрите также

• Дистанционная геометрия
  
• Евклидово пространство
  
• Евклидова матрица расстояний
  
• Симплекс
  
• Формула Герона

Примечания

1. n -мерное тело не может быть погружено в k -мерное пространство, если ${\displaystyle k<n.}$
2. (Гипер)объем фигуры не зависит от порядка нумерации ее вершин.

Рекомендации

1. Ситхарам, Мира; Сент-Джон, Одри; Сидман, Джессика. Справочник по основам геометрических систем ограничений . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4987-3891-0
2. http://ufo2.cite.ufl.edu/index.php/Distance_Geometry Геометрия расстояния
3. Шесть математических жемчужин из истории дистанционной геометрии
4. Соммервилл, DMY (1958). Введение в геометрию n измерений . Нью-Йорк: Dover Publications.
5. Определитель Кэли-Менгера
6. Симплексная энциклопедия математики
7. «Симплексные объемы и определитель Кэли-Менгера» . www.mathpages.com . Архивировано из оригинала 16 мая 2019 года . Проверено 8 июня 2019 г.
8. Блюменталь, LM; Гиллам, Б.Э. (1943). «Распределение точек в n -пространстве». Американский математический ежемесячник . 50 (3): 181. дои : 10.2307/2302400. JSTOR  2302400.
9. Тао, Терренс (25 мая 2019 г.). «Сферический определитель Кэли – Менгера и радиус Земли». Что нового . Проверено 10 июня 2019 г.
10. Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики (Том II) . Издательство Оксфордского университета. стр. 321–323.
11. Одет, Дэниел. «Сферические и гиперболические определители Кэли – Менгера» (PDF) . Бюллетень AMQ . ЛИ : 45–52.
12. Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 285–9.
13. Вики-страница abc Distance Geometry
14. Ситхарам, Мира. «Лекции с 1 по 6». «Геометрическая сложность CIS6930, Университет Флориды. Поступила 28 марта 2020 г.
15. Реализация евклидовых матриц расстояний путем пересечения сфер