Закон Кюри – Вейсса

Model of magnetic susceptibility under certain conditions

В магнетизме закон Кюри -Вейсса описывает магнитную восприимчивость χ ферромагнетика в парамагнитной области выше температуры Кюри :

${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}}$

где C — константа Кюри , специфичная для материала , T — абсолютная температура, а TC — температура Кюри _, обе измеряются в кельвинах . Закон предсказывает особенность восприимчивости при T = _TC . Ниже этой температуры ферромагнетик имеет спонтанную намагниченность . Название дано в честь Пьера Кюри и Пьера Вейса .

Фон

Магнитный момент , который присутствует даже в отсутствие внешнего магнитного поля , называется спонтанной намагниченностью . Материалы с этим свойством известны как ферромагнетики , такие как железо , никель и магнетит . Однако при нагревании этих материалов при определенной температуре они теряют спонтанную намагниченность и становятся парамагнитными . Эта пороговая температура, ниже которой материал становится ферромагнитным, называется температурой Кюри и различна для каждого материала.

Закон Кюри-Вейсса описывает изменения магнитной восприимчивости материала , вблизи его температуры Кюри. Магнитная восприимчивость — это соотношение намагниченности материала и приложенного магнитного поля. ${\displaystyle \chi }$

Ограничения

Во многих материалах закон Кюри–Вейсса не может описать восприимчивость в непосредственной близости от точки Кюри, поскольку основан на приближении среднего поля . Вместо этого существует критическое поведение вида

${\displaystyle \chi \propto {\frac {1}{(T-T_{\rm {C}})^{\gamma }}}}$

с критическим показателем γ . Однако при температурах T ≫ _TC выражение закона Кюри–Вейсса все еще остается верным, но с заменой TC на температуру Θ _, которая несколько выше фактической температуры Кюри. Некоторые авторы называют Θ постоянной Вейсса , чтобы отличить ее от температуры фактической точки Кюри.

Классические подходы к магнитной восприимчивости и теорема Бора–ван Левена

Согласно теореме Бора-ван Лювена , когда статистическая механика и классическая механика применяются последовательно, среднее тепловое значение намагниченности всегда равно нулю. Магнетизм невозможно объяснить без квантовой механики. Это означает, что ее нельзя объяснить, не принимая во внимание, что материя состоит из атомов. Далее перечислены некоторые полуклассические подходы к этому, использующие простую модель атома, поскольку их легко понять и использовать, хотя они и не совсем верны.

Магнитный момент свободного атома обусловлен орбитальным угловым моментом и спином его электронов и ядра. Когда атомы таковы, что их оболочки полностью заполнены, они не имеют чистого магнитного дипольного момента в отсутствие внешнего магнитного поля. Когда такое поле присутствует, оно искажает траектории (классическая концепция) электронов так, что приложенное поле может быть противоположным, как предсказывает закон Ленца . Другими словами, суммарный магнитный диполь, индуцированный внешним полем, направлен в противоположном направлении, и такие материалы отталкиваются им. Их называют диамагнитными материалами.

Иногда атом имеет суммарный магнитный дипольный момент даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Вклады отдельных электронов и ядер в общий угловой момент не компенсируют друг друга. Это происходит, когда оболочки атомов заполнены не полностью ( Правило Хунда ). Однако совокупность таких атомов может не иметь суммарного магнитного момента, поскольку эти диполи не выровнены. Внешнее магнитное поле может в некоторой степени выравнивать их и развивать чистый магнитный момент на объем. Такое выравнивание зависит от температуры, поскольку термическое перемешивание дезориентирует диполи. Такие материалы называются парамагнетиками .

В некоторых материалах атомы (с чистыми магнитными дипольными моментами) могут взаимодействовать друг с другом, выравниваясь, даже в отсутствие какого-либо внешнего магнитного поля, когда тепловое возбуждение достаточно низкое. Выравнивание может быть параллельным ( ферромагнетизм ) или антипараллельным. В случае антипараллельности дипольные моменты могут нейтрализовать или не нейтрализовать друг друга ( антиферромагнетизм , ферримагнетизм ).

Метод матрицы плотности к магнитной восприимчивости

Мы возьмем очень простую ситуацию, в которой каждый атом можно аппроксимировать как систему с двумя состояниями. Тепловая энергия настолько мала, что атом находится в основном состоянии. Предполагается, что в этом основном состоянии атом не имеет чистого орбитального углового момента, а имеет только один неспаренный электрон, который придает ему половинный спин. В присутствии внешнего магнитного поля основное состояние распадается на два состояния, разность энергий которых пропорциональна приложенному полю. Спин неспаренного электрона параллелен полю в более высоком энергетическом состоянии и антипараллелен в нижнем.

Матрица плотности , , — это матрица, описывающая квантовую систему в смешанном состоянии, статистический ансамбль нескольких квантовых состояний (здесь несколько одинаковых атомов с двумя состояниями). Этому следует противопоставить один вектор состояния, который описывает квантовую систему в чистом состоянии. Ожидаемое значение измерения по ансамблю равно . В терминах полного набора состояний можно написать ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )}$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =\sum _{ij}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|.}$

Уравнение фон Неймана говорит нам, как матрица плотности меняется со временем.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho (t)]}$

В равновесии имеем , а разрешенные матрицы плотности равны . Канонический ансамбль имеет где . ${\displaystyle [H,\rho ]=0}$ ${\displaystyle f(H)}$ ${\displaystyle \rho =\exp(-H/T)/Z}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \exp(-H/T)}$

Для системы с двумя состояниями мы можем написать . Вот гиромагнитное отношение . Следовательно , и ${\displaystyle H=-\gamma \hbar B\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Z=2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}$

${\displaystyle \rho (B,T)={\frac {1}{2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}}{\begin{pmatrix}\exp(-\gamma \hbar B/(2T))&0\\0&\exp(\gamma \hbar B/(2T))\end{pmatrix}}.}$

Из которого

${\displaystyle \langle J_{x}\rangle =\langle J_{y}\rangle =0,\langle J_{z}\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\tanh(\gamma \hbar B/(2T)).}$

Объяснение пара- и диамагнетизма с помощью теории возмущений

При наличии однородного внешнего магнитного поля вдоль направления z гамильтониан атома изменяется на ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Delta H=\alpha J_{z}B+\beta B^{2}\sum _{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}),}$

где — положительные действительные числа, которые не зависят от того, на какой атом мы смотрим, но зависят от массы и заряда электрона. соответствует отдельным электронам атома. ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle i}$

К этой ситуации мы применим теорию возмущений второго порядка. Это оправдано тем, что даже при самых высоких достижимых в настоящее время напряженностях поля сдвиги уровня энергии, обусловленные энергиями возбуждения атомов, весьма малы. Вырождение исходного гамильтониана решается выбором базиса, который диагонализует вырожденные подпространства. Пусть будет такой основой состояние атома (вернее, электронов в атоме). Пусть будет изменение энергии в . Итак, мы получаем ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle \Delta E_{n}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle \Delta E_{n}=\langle n|\Delta H|n\rangle +\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|\Delta H|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}.}$

В нашем случае мы можем игнорировать и члены более высокого порядка. Мы получаем ${\displaystyle B^{3}}$

${\displaystyle \Delta E_{n}=\alpha B\langle n|J_{z}|n\rangle +\alpha ^{2}B^{2}\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|J_{z}|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}+\beta B^{2}\sum _{i}\langle n|x_{i}^{2}+y_{i}^{2}|n\rangle .}$

В случае диамагнитного материала первые два члена отсутствуют, поскольку в основном состоянии они не имеют углового момента. В случае парамагнетика вклад вносят все три члена.

Добавление спин-спинового взаимодействия в гамильтониан: модель Изинга

До сих пор мы предполагали, что атомы не взаимодействуют друг с другом. Хотя это разумное предположение в случае диамагнетиков и парамагнетиков, оно не работает в случае ферромагнетизма, когда спины атома пытаются выровняться друг с другом в той степени, в которой это позволяет тепловое возбуждение. В этом случае нам приходится рассматривать гамильтониан ансамбля атома. Такой гамильтониан будет содержать все описанные выше члены для отдельных атомов и члены, соответствующие взаимодействию пар атомов. Модель Изинга является одним из простейших приближений такого парного взаимодействия.

${\displaystyle H_{\text{pairs}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{R,R'}S(R)\cdot S(R')J(R-R')}$

Здесь два атома пары находятся в точке . Их взаимодействие определяется их вектором расстояния . Для упрощения расчета часто полагают, что взаимодействие происходит только между соседними атомами и является константой. Эффект такого взаимодействия часто аппроксимируют средним полем , в нашем случае полем Вейсса. ${\displaystyle R,R'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R-R'}$ ${\displaystyle J}$

Модификация закона Кюри за счет поля Вейсса

Закон Кюри-Вейсса представляет собой адаптированную версию закона Кюри, который для парамагнитного материала может быть записан в единицах СИ следующим образом, ^[1] при условии : ${\displaystyle \chi \ll 1}$

$${\displaystyle \chi ={\frac {M}{H}}\approx {\frac {M\mu _{0}}{B}}={\frac {C}{T}}.}$$

Здесь µ0 _— проницаемость свободного пространства ; M — намагниченность ( магнитный момент на единицу объема), B = μ ₀ H — магнитное поле , а C — константа Кюри , специфичная для материала :

$${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}Ng^{2}J(J+1),}$$

k _Bпостоянная БольцманаN —g — g-фактор ЛандеB _—БораJ —углового момента^[2]

Для закона Кюри-Вейсса полное магнитное поле равно B + λM , где λ — константа молекулярного поля Вейсса, а затем

$${\displaystyle \chi ={\frac {M\mu _{0}}{B}}\rightarrow {\frac {M\mu _{0}}{B+\lambda M}}={\frac {C}{T}}}$$

$${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-{\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}}}$$

$${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}}$$

температура Кюри T _C

$${\displaystyle T_{\rm {C}}={\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}$$

Смотрите также

• Закон Кюри
• Парамагнетизм
• Пьер Кюри
• Пьер-Эрнест Вайс
• Биржевое взаимодействие

Примечания

1. Холл 1994, стр. 205–206.
2. Леви 1968, стр. 201–202.

Рекомендации

• Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Уайли. ISBN 978-0471111818.
• Холл, Х. Э. Крюк, младший (1994). Физика твердого тела (2-е изд.). Чичестер: Уайли. ISBN 0471928054.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Леви, Роберт А. (1968). Основы физики твердого тела . Академическая пресса. ISBN 978-0124457508.
• Нил Эшкрофт , Дэвид Мермин (1976). Физика твердого тела . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.

Внешние ссылки

• Магнетизм: модели и механизмы в книге Э. Паварини, Э. Коха и У. Шольвека: возникающие явления в коррелированной материи, Юлих, 2013 г., ISBN 978-3-89336-884-6