Интеграция Лебега – Стилтьеса

В анализе с теорией меры и смежных разделах математики интегрирование Лебега–Стилтьеса обобщает как интегрирование Римана–Стилтьеса , так и интегрирование Лебега , сохраняя многочисленные преимущества первого в более общей структуре теории меры. Интеграл Лебега–Стилтьеса — это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега–Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на действительной прямой. Мера Лебега–Стилтьеса — это регулярная борелевская мера , и наоборот, каждая регулярная борелевская мера на действительной прямой имеет этот вид.

Интегралы Лебега–Стилтьеса , названные в честь Анри Леона Лебега и Томаса Иоанна Стилтьеса , также известны как интегралы Лебега–Радона или просто интегралы Радона , в честь Иоганна Радона , которому принадлежит большая часть теории. Они находят общее применение в вероятностных и стохастических процессах , а также в некоторых разделах анализа, включая теорию потенциала .

Определение

Интеграл Лебега–Стилтьеса

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

определяется, когда является измеримым по Борелю и ограниченным и имеет ограниченную вариацию в $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ и непрерывен справа, или когда $f$ неотрицателен, а $g$ монотонен и непрерывен справа . Для начала предположим, что $f$ неотрицателен, а $g$ монотонно не убывает и непрерывен справа. Определим $w$ $(($ $s$ $,$ $t$ $]) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ и $w$ $({$ $a$ $}) = 0$ (В качестве альтернативы, построение работает для $g,$ непрерывного слева, $w$ $([$ $s$ $,$ $t$ $)) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ и $w$ $({$ $b$ $}) = 0$ ). $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ $g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$

По теореме Каратеодори о расширении существует единственная мера Бореля $μ g$ на $[a, b]$ , которая совпадает с $w$ на каждом интервале $I.$ Мера $μ g$ возникает из внешней меры (фактически, метрической внешней меры ), заданной как

\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\}

инфимум , взятый по всем покрытиям $E$ счетным числом полуоткрытых интервалов. Эта мера иногда называется ^[1] мерой Лебега –Стилтьеса, связанной с $g$ .

Интеграл Лебега–Стилтьеса

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

определяется как интеграл Лебега f по мере $μ$ $g$ обычным образом. Если $g$ $не$ возрастает, то определяем

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),

последний интеграл определяется предыдущей конструкцией.

Если $g$ имеет ограниченную вариацию, то можно записать

g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)

где $g 1 (x) = V х а g$ — это полная вариация gв интервале $[$ $a$ $,$ $x$ $]$ , и $g$ $2$ $($ $x$ $) =$ $g$ $1$ $($ $x$ $)$ $-$ $g$ $($ $x$ $)$ . Оба $g$ $1$ и $g$ $2$ являются монотонно неубывающими.

Теперь, если $f$ ограничена, интеграл Лебега–Стилтьеса f относительно $g$ определяется как

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),

где последние два интеграла хорошо определены предыдущей конструкцией.

интеграл Даниэля

Альтернативный подход (Hewitt & Stromberg 1965) заключается в определении интеграла Лебега–Стилтьеса как интеграла Даниэля , который расширяет обычный интеграл Римана–Стилтьеса. Пусть $g$ будет неубывающей, непрерывной справа функцией на $[a, b]$ , и определите $I (f)$ как интеграл Римана–Стилтьеса

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

для всех непрерывных функций $f$ . Функционал $I$ определяет меру Радона на $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Затем этот функционал можно расширить на класс всех неотрицательных функций, установив

{\begin{align}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{align}}

Для измеримых по Борелю функций имеем

{\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),

и любая сторона тождества затем определяет интеграл Лебега–Стилтьеса $h$ . Внешняя мера $μ g$ определяется через

\mu _{g}(A):={\overline {I}}(\chi _{A})={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})

где $χ A$ — индикаторная функция A. $$

Интеграторы ограниченной вариации обрабатываются, как и выше, путем разложения на положительные и отрицательные вариации.

Пример

Предположим, что $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $R$ $2$ — спрямляемая кривая на плоскости, а $ρ$ $:$ $R$ $2$ $\to [0, \infty)$ — измерима по Борелю. Тогда мы можем определить длину $γ$ относительно евклидовой метрики, взвешенной по ρ, как

\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),

где - длина ограничения $γ$ на $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ . Иногда это называют $ρ$ -длиной $γ$ . Это понятие весьма полезно для различных приложений: например, в грязной местности скорость, с которой человек может двигаться, может зависеть от того, насколько глубока грязь. Если $ρ$ $($ $z$ $)$ обозначает обратную величину скорости ходьбы в точке $z$ или около нее , то $ρ$ -длина $γ$ - это время, которое потребуется для прохождения $γ$ . Понятие экстремальной длины использует это понятие $ρ$ -длины кривых и полезно при изучении конформных отображений . $\ell (т)$

Интеграция по частям

Функция $f$ называется «регулярной» в точке $a,$ если существуют правый и левый пределы $f$ $($ $a$ $+)$ и $f$ $($ $a$ $-)$ , и функция принимает в $точке a$ среднее значение

f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.

Для двух функций $U$ и $V$ конечной вариации, если в каждой точке хотя бы одна из функций $U$ или $V$ непрерывна или обе функции $U$ и $V$ регулярны, то справедлива формула интегрирования по частям для интеграла Лебега–Стилтьеса: ^[2]

\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .

Здесь соответствующие меры Лебега–Стилтьеса связаны с непрерывными справа версиями функций $U$ и $V$ ; то есть, и аналогично Ограниченный интервал $($ $a$ $,$ $b$ $)$ может быть заменен неограниченным интервалом $(-\infty,$ $b$ $)$ , $($ $a$ $, \infty)$ или $(-\infty, \infty)$ при условии, что $U$ и $V$ имеют конечную вариацию на этом неограниченном интервале. Также могут использоваться комплекснозначные функции. ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ ${\tilde {V}}(x).$

Альтернативный результат, имеющий важное значение в теории стохастического исчисления, заключается в следующем. Даны две функции $U$ и $V$ конечной вариации, которые обе непрерывны справа и имеют пределы слева (они являются функциями càdlàg ), тогда

U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},

где $Δ U t = U (t) - U (t -)$ . Этот результат можно рассматривать как предшественник леммы Ито , и он используется в общей теории стохастического интегрирования. Окончательный член равен $Δ U (t)Δ V (t) = d [U, V],$ что возникает из квадратичной ковариации $U$ и $V$ . (Более ранний результат можно тогда рассматривать как результат, относящийся к интегралу Стратоновича .)

Связанные концепции

Интеграция Лебега

Когда $g (x) = x$ для всех действительных $x$ , то $μ g$ является мерой Лебега , а интеграл Лебега–Стилтьеса функции $f$ относительно $g$ эквивалентен интегралу Лебега функции $f$ .

Интеграция Римана–Стилтьеса и теория вероятностей

Если $f$ — непрерывная действительная функция действительной переменной, а $v$ — неубывающая действительная функция, то интеграл Лебега–Стилтьеса эквивалентен интегралу Римана–Стилтьеса , и в этом случае мы часто пишем

\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)

для интеграла Лебега–Стилтьеса, позволяя мере $μ v$ оставаться неявной. Это особенно распространено в теории вероятностей , когда $v$ является кумулятивной функцией распределения действительной случайной величины $X$ , в этом случае

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].

( Более подробную информацию о рассмотрении таких случаев см. в статье об интегрировании Римана–Стилтьеса .)

Примечания

^ Халмош (1974), Раздел 15
^ Хьюитт, Эдвин (май 1960). «Интеграция по частям для интегралов Стилтьеса». The American Mathematical Monthly . 67 (5): 419–423. doi :10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

Также см.

Хенсток-Курцвейл-Стилтьес Интеграл

Ссылки

Халмош, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
Хьюитт, Эдвин ; Штромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
Сакс, Станислав (1937) Теория интеграла.
Шилов, Г. Е. и Гуревич, Б. Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, перевод. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 .