Теорема Леви о непрерывности

Результат в теории вероятностей

В теории вероятностей теорема Леви о непрерывности , или теорема сходимости Леви , ^[1] названная в честь французского математика Поля Леви , связывает сходимость по распределению последовательности случайных величин с поточечной сходимостью их характеристических функций . Эта теорема является основой одного из подходов к доказательству центральной предельной теоремы и является одной из основных теорем, касающихся характеристических функций.

Заявление

Предположим, что у нас есть

• последовательность случайных величин , не обязательно разделяющих общее вероятностное пространство , ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$
• последовательность соответствующих характеристических функций , которые по определению являются ${\textstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

  ${\displaystyle \varphi _{n}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,}$

  где — оператор ожидаемого значения . ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Если последовательность характеристических функций сходится поточечно к некоторой функции ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}$

то следующие утверждения становятся эквивалентными:

• ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по распределению к некоторой случайной величине X

  ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}$

  т.е. кумулятивные функции распределения, соответствующие случайным величинам, сходятся в каждой точке непрерывности функции распределения  X ;
• ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$плотный : ​

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}$

• ${\displaystyle \varphi (t)}$является характеристической функцией некоторой случайной величины X ;
• ${\displaystyle \varphi (t)}$является непрерывной функцией t ;
• ${\displaystyle \varphi (t)}$непрерывна при t =  0.

Доказательство

Имеются строгие доказательства этой теоремы. ^{[1] [2]}

Ссылки

1. Williams, D. (1991). Вероятность с Мартингалами . Cambridge University Press. раздел 18.1. ISBN 0-521-40605-6.
2. Фристедт, BE; Грей, LF (1996). Современный подход к теории вероятностей . Бостон: Birkhäuser. Теоремы 14.15 и 18.21. ISBN 0-8176-3807-5.