Математическое уравнение
В математике лемма Вейля , названная в честь Германа Вейля , утверждает, что каждое слабое решение уравнения Лапласа является гладким решением. Это контрастирует , например, с волновым уравнением , которое имеет слабые решения, которые не являются гладкими решениями. Лемма Вейля представляет собой частный случай эллиптической или гипоэллиптической регулярности .
Утверждение леммы
Пусть – открытое подмножество двумерного евклидова пространства и обозначает обычный оператор Лапласа . Лемма Вейля [1] утверждает, что если локально интегрируемая функция является слабым решением уравнения Лапласа в том смысле, что![{\displaystyle \Омега}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u\in L_ {\mathrm {loc} }^{1}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _ {\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для каждой пробной функции ( гладкой функции с компактным носителем ) то (с точностью до переопределения на множестве нулевой меры ) является гладкой и поточечно удовлетворяет условиям в .![{\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta u=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Омега}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Этот результат подразумевает внутреннюю регулярность гармонических функций в , но ничего не говорит об их регулярности на границе .![{\displaystyle \Омега}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial \Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Идея доказательства
Чтобы доказать лемму Вейля, нужно свернуть функцию с помощью подходящего смягчающего средства и показать, что смягчение удовлетворяет уравнению Лапласа, из которого следует, что оно обладает свойством среднего значения. Взяв предел как и используя свойства смягчающих факторов, можно обнаружить, что он также обладает свойством среднего значения, [2] что означает, что это гладкое решение уравнения Лапласа. [3] [4] Альтернативные доказательства используют гладкость фундаментального решения лапласиана или подходящие априорные эллиптические оценки.
![{\displaystyle \varphi _ {\varepsilon }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u_ {\varepsilon }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon \to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ДоказательствоПусть – стандартный смягчающий элемент .![{\displaystyle \left(\rho _{\varepsilon }\right)_{\varepsilon >0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Зафиксируйте компактный набор и поставьте расстояние между ним и границей .![{\displaystyle \Omega ^{\prime }\Subset \Omega}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon _{0} =\operatorname {dist} \left(\Omega ^{\prime},\partial \Omega \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega ^{\prime }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Омега}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для каждой и функции![{\displaystyle x\in \Omega ^{\prime }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon \in \left (0, \varepsilon _ {0} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y\longmapsto \rho _ {\varepsilon }(xy)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
принадлежит тестовым функциям , поэтому мы можем рассмотреть![{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\langle u,\rho _ {\varepsilon }(x-\cdot)\right\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы утверждаем, что оно не зависит от . Чтобы доказать это, мы рассчитаем для .![{\displaystyle \varepsilon \in \left (0, \varepsilon _ {0} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _ {\varepsilon }(xy)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Напомним, что
![{\displaystyle \rho _ {\varepsilon }(xy)=\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где стандартное ядро моллификатора было определено в Mollifier#Concrete_example . Если мы положим![{\displaystyle \rho }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta (t)={\begin{cases}{\frac {1}{c_{n}}}\mathrm {e} ^{\frac {1}{t-1}}&{\text { if }}t<1,\\0&{\text{ if }}t\geqslant 1,\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем .![{\ displaystyle \ rho (x) = \ theta \ left (| x | ^ {2} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Очевидно, удовлетворяет для . Теперь посчитаем![{\ displaystyle \ theta \ in \ mathrm {C} ^ {\ infty } (\ mathbb {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta (т)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle т\geqslant 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {xy} {\varepsilon }}\right)\right)&=-n\varepsilon ^{-n-1}\rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)-\varepsilon ^{-n }\nabla \rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {xy}{\varepsilon ^{2}}}\\&=-{\frac {1} {\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {xy}{\ varepsilon }}\right)\cdot {\frac {xy}{\varepsilon }}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поставь так, чтобы![{\displaystyle K(x)=-n\rho (x)-\nabla \rho (x)\cdot x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\ right)\right)={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}K\left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
С точки зрения того, что мы получаем![{\ displaystyle \ rho (x) = \ theta \ left (| x | ^ {2} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K(x)=-\operatorname {div} (\rho (x)x)=-\operatorname {div} \left(\theta \left(|x|^{2}\right)x\right )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и если мы установим
![{\displaystyle \Theta (t)={\frac {1}{2}}\int _{t}^{\infty }\theta (s)\mathrm {d} s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем с for и . Следовательно![{\displaystyle \Theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Тета (т)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle т\geqslant 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Theta ^{\prime }(t)=- {\frac {1}{2}}\theta (t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -\theta \left(|x|^{2}\right)x=\nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и так , где . Обратите внимание на это , и![{\displaystyle K(x)=\operatorname {div} \nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)=(\Delta \Phi)(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ Phi (x) = \ Theta \ left (| x | ^ {2} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi \in {\mathcal {D}}\left({\overline {B_{1}(0)}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right) +\nabla \rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {xy}{\varepsilon }}\right)&={\frac {1}{\varepsilon ^ {n+1}}}\Delta _{y}\left(\Phi \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)\right)\\&=\Delta _{y}\left (\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)\right).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь поддерживается в , и так по предположению![{\displaystyle y\mapsto \varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x)}}\subset \Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Теперь, рассматривая разностные коэффициенты, мы видим, что
.
Действительно, ибо у нас есть![{\displaystyle \varepsilon,\varepsilon ^{\prime }>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho _{\varepsilon +\varepsilon ^{\prime }}(xy)-\rho _{\varepsilon }(xy)}{\varepsilon ^{\prime }}}&{\stackrel {\mathrm {FTC} }{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _ {\varepsilon +t\varepsilon ^{\prime }}(xy)\mathrm {d} t\\&\left.{\underset {\varepsilon ^{\prime }\searrow 0}{\longrightarrow }}{\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\right|_{s=\varepsilon }\rho _{s}(xy)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
в относительно , при условии и (поскольку мы можем дифференцировать обе части относительно . Но тогда , и так для всех , где . Теперь пусть . Затем, с помощью обычного трюка при свертке распределений с тестовыми функциями ,![{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \Omega ^{\prime }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _ {\varepsilon }(x-\cdot)\right\rangle =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\langle u, \rho _ {\varepsilon } (x-\cdot) \ right\rangle =\left\langle u, \rho _ {\varepsilon _ {1}} (x-\cdot) \вправо\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon \in \left (0, \varepsilon _ {0} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon _{1}\in \left(0,\varepsilon _{0}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}\left(\Omega ^{\prime }\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _ {\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot)\right\rangle \varphi (x)\ mathrm {d} x&=\left\langle u,\int _{\Omega ^{\prime }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\varphi (x)\mathrm {d} x\right \rangle \\&=\left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и так у нас есть![{\displaystyle \varepsilon \in \left (0, \varepsilon _ {1} \ right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Следовательно, как и в случае , мы получаем![{\displaystyle \rho _ {\varepsilon }*\varphi \rightarrow \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon \searrow 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Следовательно , и поскольку это было произвольно, мы закончили.![{\displaystyle \left.u\right|_{\Omega ^{\prime }}\in \mathrm {C} ^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega ^{\prime }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обобщение на распределения
В более общем смысле, тот же результат справедлив для каждого распределительного решения уравнения Лапласа: Если удовлетворяет для каждого , то это регулярное распределение, связанное с гладким решением уравнения Лапласа. [5]![{\displaystyle T\in D'(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle T,\Delta \varphi \rangle =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=T_{u}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с гипоэллиптичностью
Лемма Вейля следует из более общих результатов, касающихся свойств регулярности эллиптических или гипоэллиптических операторов. [6] Линейный оператор в частных производных с гладкими коэффициентами является гипоэллиптическим, если сингулярный носитель равен сингулярному носителю для каждого распределения . Оператор Лапласа является гипоэллиптическим, поэтому если , то сингулярный носитель пуст, поскольку сингулярный носитель пуст, а это означает, что . Фактически, поскольку лапласиан эллиптичен, верен более сильный результат, и решения являются вещественно-аналитическими .![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Пу}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta u=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta u=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечания
- ^ Герман Вейль , Метод ортогональных проекций в теории потенциала, Duke Math. Дж. , 7, 411–444 (1940). См. лемму 2, с. 415
- ^ Известно, что свойство среднего значения характеризует гармонические функции в следующем смысле. Позволять . Тогда гармоничен в обычном смысле (так и тогда и только тогда, когда для всех шаров имеем
![{\ displaystyle h \ in \ mathrm {C} (\ Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ч}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h\in \mathrm {C} ^{2}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left.\Delta h=0\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{r}\left(x_{0}\right)\Subset \Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h\left(x_{0}\right)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\partial B_{r}\ left(x_{0}\right)}h(x)\mathrm {d} S_{x}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – ( n − 1)-мерная площадь гиперсферы . Используя полярные координаты около, мы видим, что когда гармонична , то для ,![{\displaystyle \omega _ {n-1}r^{n-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial B_{r}\left(x_{0}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ч}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{r}\left(x_{0}\right)\Subset \Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h\left(x_{0}\right)=\left(\rho _{r}*h\right)\left(x_{0}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Бернар Дакоронья, Введение в вариационное исчисление, 2-е изд., Imperial College Press (2009), стр. 148.
- ^ Струк, Дэниел В. «Лемма Вейля, одна из многих» (PDF) .
- ^ Ларс Гординг , Некоторые моменты анализа и их история , AMS (1997), с. 66.
- ^ Ларс Хёрмандер , Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , 2-е изд., Springer-Verlag (1990), стр.110
Рекомендации
- Гилбарг, Дэвид; Нил С. Трудингер (1988). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Спрингер. ISBN 3-540-41160-7.
- Штейн, Элиас (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-11386-6.