Личность Вона

Тождество, которое оценивает суммы в аналитической теории чисел, включающее функцию фон Мангольдта

В математике и аналитической теории чисел тождество Вогана — это тождество, найденное Р. К. Воганом (1977 )  , которое можно использовать для упрощения работы Виноградова по тригонометрическим суммам . Его можно использовать для оценки суммирующих функций вида

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)}$

где f — некоторая арифметическая функция натуральных чисел n , значения которой в приложениях часто являются корнями из единицы, а Λ — функция фон Мангольдта .

Процедура применения метода

Мотивация построения Воганом его тождества кратко обсуждается в начале главы 24 в Davenport. На данный момент мы пропустим большую часть технических деталей, мотивирующих тождество и его использование в приложениях, и вместо этого сосредоточимся на настройке его построения по частям. Следуя ссылке, мы строим четыре различные суммы, основанные на разложении логарифмической производной дзета -функции Римана в терминах функций, которые являются частичными рядами Дирихле, соответственно усеченными на верхних границах и , соответственно. Точнее, мы определяем и , что приводит нас к точному тождеству, которое ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$ ${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$

${\displaystyle -{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).}$

Это последнее расширение подразумевает, что мы можем записать

${\displaystyle \Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

где функции компонентов определены как

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U;\\0,&{\text{ if }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

Затем мы определяем соответствующие суммирующие функции для ${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$

${\displaystyle S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),}$

чтобы мы могли написать

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4}(N).}$

Наконец, в заключение многостраничного рассуждения о технических и порой деликатных оценках этих сумм ^[1] мы получаем следующую форму тождества Воана , когда предполагаем, что , , и : ${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n}$ ${\displaystyle U,V\geq 2}$ ${\displaystyle UV\leq N}$

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

Отмечено, что в некоторых случаях более точные оценки могут быть получены из тождества Воана, если более тщательно обрабатывать сумму компонентов, расширяя ее до вида ${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

Оптимальность верхней границы, полученной путем применения тождества Вогана, по-видимому, зависит от приложения относительно лучших функций , и мы можем выбрать ввод в уравнение (V1). См. приложения, цитируемые в следующем разделе, для конкретных примеров, которые возникают в различных контекстах, соответственно рассматриваемых несколькими авторами. ${\displaystyle U=f_{U}(N)}$ ${\displaystyle V=f_{V}(N)}$

Приложения

• Тождество Воана использовалось для упрощения доказательства теоремы Бомбьери–Виноградова и для изучения сумм Куммера (см. ссылки и внешние ссылки ниже).
• В главе 25 книги Дэвенпорта одним из применений тождества Воана является оценка важной показательной суммы Виноградова , связанной с простыми числами, определяемой формулой

${\displaystyle S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).}$

В частности, мы получаем асимптотическую верхнюю границу для этих сумм (обычно оцениваемых как иррациональные ), рациональные приближения которых удовлетворяют ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,}$

формы

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.}$

Аргумент в пользу этой оценки вытекает из тождества Воана, доказывающего с помощью довольно сложного аргумента, что

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},}$

и затем вывод первой формулы выше в нетривиальных случаях, когда и при . ${\displaystyle q\leq N}$ ${\displaystyle U=V=N^{2/5}}$

• Другое применение тождества Воана можно найти в главе 26 Дэвенпорта, где этот метод используется для получения оценок сумм ( экспоненциальных сумм ) трех простых чисел .
• Примеры идентичности Воана на практике приведены в виде следующих ссылок/цитат в этом информативном посте: ^{[2] [3] [4] [5]}

Обобщения

Идентичность Воана была обобщена Хит-Брауном (1982).

Примечания

1. Примечание: если вы будете читать Дэвенпорта достаточно часто, то придете к очевидным выводам об уровне сложности всех деталей, необходимых для тщательного доказательства личности Воана.
2. Тао, Т. (2012). «Каждое целое число, большее 1, является суммой не более пяти простых чисел». arXiv : 1201.6656 [math.NT].
3. Conrey, JB (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической прямой». J. Reine Angew. Math . 399 : 1–26.
4. HL Montgomery и RC Vaughan (1981). «О распределении чисел, свободных от квадратов». Recent Progress in Analytic Number Theory, H. Halberstam (ред.), C. Hooley (ред.) . 1 : 247–256.
5. DR Heath-Brown и SJ Patterson (1979). «Распределение сумм Куммера при простых аргументах». J. Reine Angew. Math . 310 : 110–130.

Ссылки

• Дэвенпорт, Гарольд (31 октября 2000 г.). Мультипликативная теория чисел (третье изд.). Нью-Йорк: Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-95097-4.
• Грэм, SW (2001) [1994], "Идентичность Вона", Энциклопедия математики , EMS Press
• Хит-Браун, DR (1982), «Простые числа в коротких интервалах и обобщенное тождество Воана», Can. J. Math. , 34 (6): 1365–1377, doi : 10.4153/CJM-1982-095-9 , MR  0678676
• Воан, Р.С. (1977), «Sommes trigonométriques sur les nombres premiers», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A , 285 : 981–983, MR  0498434

Внешние ссылки

• Доказательство Вики о личности Вона
• Математические заметки Джони (очень подробное изложение)
• Энциклопедия математики
• Блог Терри Тао о большом решете и теореме Бомбьери-Виноградова