В разделе математики, известном как универсальная алгебра (и в ее приложениях), подпрямо неприводимая алгебра — это алгебра , которая не может быть разложена как подпрямое произведение «более простых» алгебр. Подпрямо неприводимые алгебры играют в алгебре роль, несколько аналогичную простым числам в теории чисел .
Универсальная алгебра A называется подпрямо неприводимой, если A имеет более одного элемента и если любое подпрямое представление A включает (в качестве фактора) алгебру, изоморфную A , причем изоморфизм задается отображением проекции.
Теорема о подпрямом представлении универсальной алгебры утверждает, что каждая алгебра подпрямо представима своими подпрямо неразложимыми факторами . Эквивалентное определение «подпрямо неразложимой» — это любая алгебра A , которая не подпрямо представима своими факторами, не изоморфными A. (Это не совсем то же самое, что «своими собственными факторами», поскольку собственный фактор A может быть изоморфен A , например, фактор полурешетки ( Z , min ), полученный путем идентификации только двух элементов 3 и 4.)
Непосредственным следствием является то, что любое многообразие как класс, замкнутый относительно гомоморфизмов , подалгебр и прямых произведений , определяется своими подпрямо неразложимыми членами, поскольку каждая алгебра A в многообразии может быть построена как подалгебра подходящего прямого произведения подпрямо неразложимых частных A , все из которых принадлежат многообразию, поскольку A принадлежит ему. По этой причине часто изучают не само многообразие, а только его подпрямые неразложимые элементы.
Алгебра A является подпрямо неприводимой тогда и только тогда, когда она содержит два элемента, которые идентифицируются каждым собственным фактором, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда ее решетка Con A конгруэнций имеет наименьший неединичный элемент. То есть любая подпрямо неприводимая алгебра должна содержать определенную пару элементов, свидетельствующих о ее неприводимости таким образом. При наличии такого свидетеля ( a , b ) подпрямо неприводимости мы говорим, что подпрямо неприводимая алгебра является ( a , b )-неприводимой.
Для любого класса C подобных алгебр лемма Йонссона (принадлежащая Бьярни Йонссону ) утверждает, что если многообразие HSP( C ), порожденное C , является конгруэнтно-дистрибутивным, то его подпрямые неприводимые элементы лежат в HSP U ( C ), то есть они являются факторами подалгебр ультрапроизведений членов C . (Если C — конечное множество конечных алгебр, операция ультрапроизведения излишня.)
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы алгебра Гейтинга была подпрямо неприводимой, является наличие наибольшего элемента строго ниже 1. Пара-свидетель — это этот элемент и 1, и идентификация любой другой пары элементов a , b идентифицирует как a → b , так и b → a с 1, тем самым сводя все выше этих двух импликаций к 1. Следовательно, каждая конечная цепочка из двух или более элементов как алгебра Гейтинга подпрямо неприводима.
По лемме Йонссона подпрямо неразложимые алгебры конгруэнц-дистрибутивного многообразия, порождённого конечным множеством конечных алгебр, не больше, чем порождающие алгебры, поскольку факторы и подалгебры алгебры A никогда не больше, чем сама A. Например, подпрямые неразложимые в многообразии, порождённом конечной линейно упорядоченной алгеброй Гейтинга H, должны быть просто невырожденными факторами H , а именно всеми меньшими линейно упорядоченными невырожденными алгебрами Гейтинга. Условия не могут быть отброшены в общем случае: например, многообразие всех алгебр Гейтинга порождается множеством своих конечных подпрямо неразложимых алгебр, но существуют подпрямо неразложимые алгебры Гейтинга произвольной (бесконечной) мощности . Существует также единственная конечная алгебра, порождающая (неконгруэнтно-дистрибутивное) многообразие с произвольно большими подпрямыми неприводимыми элементами. [2]