Гипотезы Мерсенна

Математические гипотезы о простых числах Мерсенна

В математике гипотезы Мерсенна касаются характеристики простых чисел, называемых простыми числами Мерсенна , что означает простые числа, являющиеся степенью двойки минус один.

Оригинальная гипотеза Мерсенна

Оригинал, названный гипотезой Мерсенна , представлял собой утверждение Марина Мерсенна в его Cogitata Physico-Mathematica (1644; см., например, Dickson 1919) о том, что числа были простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. , 67, 127 и 257, и были составными для всех остальных положительных целых чисел n ≤ 257. Первые семь записей его списка ( для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) уже были доказаны как простые числа пробным делением до времен Мерсенна; ^[1] только последние четыре записи были новыми утверждениями Мерсенна. Из-за размера этих последних чисел Мерсенн не проверял и не мог проверить их все, как и его коллеги в 17 веке. В конце концов, после трех столетий и доступности новых методов, таких как тест Люка-Лемера , было установлено, что гипотеза Мерсенна содержит пять ошибок, а именно: две записи являются составными (соответствующими простым числам n = 67, 257), а три простых числа являются составными. отсутствуют (соответствующие простым числам n = 61, 89, 107). Правильный список для n ≤ 257: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127. ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Хотя первоначальная гипотеза Мерсенна ложна, она, возможно, привела к новой гипотезе Мерсенна .

Новая гипотеза Мерсенна

Гипотеза Нью-Мерсенна или гипотеза Бейтмана, Селфриджа и Вагстаффа (Бейтман и др., 1989) утверждает, что для любого нечетного натурального числа p , если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. p = 2 ^k ± 1 или p = 4 ^k ± 3 для некоторого натурального числа k . ( ОЭИС : A122834 )
2. 2 ^p − 1 — простое число ( простое число Мерсенна ). ( ОЭИС : A000043 )
3. (2 ^p  + 1)/3 — простое число ( простое число Вагстафа ). ( ОЭИС : A000978 )

Если p — нечетное составное число, то 2 ^p  − 1 и (2 ^p  + 1)/3 являются составными. Следовательно, чтобы убедиться в истинности гипотезы, необходимо проверять только простые числа.

В настоящее время известно девять чисел, для которых выполняются все три условия: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (последовательность A107360 в OEIS ). Бейтман и др. ожидал, что ни одно число больше 127 не удовлетворяет всем трем условиям, и показал, что эвристически ни одно большее число не будет удовлетворять даже двум условиям, что сделало бы новую гипотезу Мерсенна тривиально верной.

По состоянию на 2024 год известны ^{[обновлять]}все простые числа Мерсенна до 2 ^{57885161 − 1, и ни для одного из них не выполняется третье условие, за исключением только что упомянутых. [2] [3]} Простые числа, удовлетворяющие хотя бы одному условию, называются

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (последовательность A120334 в OEIS )

Обратите внимание, что два простых числа, для которых исходная гипотеза Мерсенна неверна (67 и 257), удовлетворяют первому условию новой гипотезы (67 = 2 ⁶ + 3, 257 = 2 ⁸ + 1), но не двум другим. 89 и 107, пропущенные Мерсенном, удовлетворяют второму условию, но не двум другим. Мерсенн, возможно, думал, что 2 ^p − 1 является простым, только если p = 2 ^k ± 1 или p = 4 ^k ± 3 для некоторого натурального числа k , но если бы он думал, что это « тогда и только тогда », он включил бы 61.

Гипотезу Новой Мерсенна можно рассматривать как попытку спасти многовековую гипотезу Мерсенна, которая является ложной. Однако, по словам Роберта Д. Сильвермана, Джон Селфридж согласился с тем, что гипотеза Нью-Мерсенна «очевидно верна», поскольку она была выбрана для соответствия известным данным, а контрпримеры, выходящие за рамки этих случаев, крайне маловероятны. Это можно рассматривать скорее как любопытное наблюдение, чем как открытый вопрос, нуждающийся в доказательстве .

Prime Pages показывает, что гипотеза Новой Мерсенна верна для всех целых чисел, меньших или равных 30402457 ^[2], путем систематического перечисления всех простых чисел, для которых уже известно, что одно из условий выполняется.

Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстафа

Ленстра , Померанс и Вагстафф предположили, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна и, точнее, что число простых чисел Мерсенна, меньших x , асимптотически аппроксимируется выражением

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}$^[5]

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Другими словами, количество простых чисел Мерсенна с показателем p меньше y асимптотически равно

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).}$^[5]

Это означает, что в среднем должно быть около ≈ 5,92 простых чисел p с заданным количеством десятичных цифр, таких, что они являются простыми. Гипотеза довольно точна для первых 40 простых чисел Мерсенна, но между 2 ^{20 000 000} и 2 ^{85 000 000} их по крайней мере 12, ^[6] вместо ожидаемого числа, которое составляет около 3,7. ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$ ${\displaystyle M_{p}}$

В более общем смысле, количество простых чисел p ≤ y , которые являются простыми (где a , b — взаимно простые целые числа, a > 1, − a < b < a , a и b не являются обеими совершенными r -ми степенями для любого натурального числа r).  > 1 и −4 ab не является идеальной четвертой степенью) асимптотически ${\displaystyle {\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}}$

${\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).}$

где m — наибольшее неотрицательное целое число, такое что a и − b — совершенные 2 ^m -ные степени. Случай простых чисел Мерсенна — это один из случаев ( a ,  b ) = (2, 1).

Смотрите также

• Гипотеза Гиллиса о распределении чисел простых делителей чисел Мерсенна
• Тест Лукаса-Лемера на простоту
• Тест Лукаса на простоту
• Гипотеза Каталана Мерсенна
• Законы Мерсенна

Рекомендации

• Бейтман, Пенсильвания ; Селфридж, JL ; Вагстафф младший, Сэмюэл С. (1989). «Новая гипотеза Мерсенна». Американский математический ежемесячник . 96 (2). Математическая ассоциация Америки: 125–128. дои : 10.2307/2323195. JSTOR  2323195. МР  0992073.
• Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел . Институт Карнеги в Вашингтоне. п. 31. ОЛ  6616242М.Перепечатано издательством Chelsea Publishing, Нью-Йорк, 1971 г., ISBN 0-8284-0086-5 . 

1. См. источники, данные для отдельных простых чисел в Списке простых чисел Мерсенна и совершенных чисел .
2. «Новая гипотеза о простых числах Мерсенна». t5k.org .
3. Уэнлесс, Джеймс. «Мерсеннеплюс две факторизации».
4. 2=2 ⁰ + 1 удовлетворяет ровно двум из трёх условий, но явно исключается из гипотезы ввиду четности
5. Эвристика: вывод гипотезы Вагстаффа-Мерсенна. Главные страницы . Проверено 11 мая 2014 г.
6. Майкл Ле Пейдж (10 августа 2019 г.). «Внутри гонки по поиску первого простого числа из миллиарда цифр». Новый учёный .

Внешние ссылки

• Главный глоссарий. Новая гипотеза простого числа Мерсенна.