В теории музыки предел или гармонический предел — это способ характеристики гармонии, присутствующей в музыкальном произведении или жанре , или гармоний, которые можно создать с использованием определенной гаммы . Термин «предел» был введен Гарри Партчем [1] , который использовал его для определения верхней границы сложности гармонии; отсюда и название.
Гарри Партч, Айвор Даррег и Ральф Дэвид Хилл входят в число многих микротоналистов , которые предполагают, что музыка медленно развивается, используя все более и более высокие гармоники в своих конструкциях (см. Эмансипация диссонанса ). [ нужна цитата ] В средневековой музыке согласными считались только аккорды, состоящие из октав и чистых пятых (включающие отношения между первыми тремя гармониками ). На Западе триадная гармония возникла примерно во времена Возрождения , и трезвучия быстро стали фундаментальными строительными блоками западной музыки. Мажорные и минорные трети этих трезвучий вызывают взаимоотношения между первыми пятью гармониками.
Примерно на рубеже 20-го века тетрады дебютировали как фундаментальные строительные блоки в афроамериканской музыке . [ нужна цитация ] В традиционной педагогике теории музыки эти септаккорды обычно объясняются как цепочки мажорных и минорных третей. Однако их также можно объяснить как происходящие непосредственно от гармоник старше 5. Например, доминантный септаккорд в 12-ET приближается к 4:5:6:7, а мажорный септаккорд - к 8:10:12:15.
В простой интонации интервалы между тонами рисуются из рациональных чисел . Со времен Парча появились две различные формулировки понятия предела: нечетный предел и простой предел . Нечетный предел и предел простых чисел n не включают одни и те же интервалы, даже если n — нечетное простое число.
Для положительного нечетного числа n n-нечетный предел содержит все рациональные числа такие, что наибольшее нечетное число, делящее числитель или знаменатель, не превышает n .
В «Происхождении музыки» Гарри Партч рассматривал рациональные интонации в соответствии с размером их числителей и знаменателей по модулю октав. [2] Поскольку октавы соответствуют коэффициентам 2, сложность любого интервала может быть измерена просто по наибольшему нечетному коэффициенту в его отношении. Теоретические предсказания Парча о сенсорном диссонансе интервалов (его «Одноногая невеста») очень похожи на предсказания таких теоретиков, как Герман фон Гельмгольц , Уильям Сетарес и Пауль Эрлих . [3]
См. § Примеры ниже.
Идентичность — это каждое из нечетных чисел, указанных ниже, включая (нечетный) предел настройки. Например, тождества, включенные в настройку с 5 пределами, — это 1, 3 и 5. Каждое нечетное число представляет собой новую высоту тона в гармоническом ряду и, таким образом, может считаться тождеством:
C C G C E G B C D E F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
По словам Партча: «Число 9, хотя и не простое , тем не менее является тождеством в музыке просто потому, что это нечетное число». [4] Партч определяет «идентичность» как «один из коррелятов, ' мажорных ' или ' минорных ' в тональности ; один из нечетных ингредиентов, один, несколько или все из которых действуют как полюс тональности». [5]
Odentity и udentity — это сокращения от сверхидентификации и недостаточной идентичности соответственно. [6] По словам производителя музыкального программного обеспечения Tonalsoft: «Идентичность — это идентичность тональности » . [7]
Для простого числа n предел n-простых чисел содержит все рациональные числа, которые можно разложить на множители с использованием простых чисел, не превышающих n . Другими словами, это набор рациональных чисел с числителем и знаменателем, оба n - гладкие .
Настройка p-предела. Учитывая простое число p , подмножество, состоящее из тех рациональных чисел x , простая факторизация которых имеет форму с, образует подгруппу ( ). ... Мы говорим, что шкала или система настройки использует настройку p-предела, если все интервальные отношения между высотами тона лежат в этой подгруппе. [8]
В конце 1970-х годов на западном побережье США начал формироваться новый жанр музыки, известный как американская школа гамелана . Вдохновленные индонезийским гамеланом , музыканты в Калифорнии и других странах начали создавать свои собственные инструменты гамелан, часто настраивая их только по интонации. Центральной фигурой этого движения был американский композитор Лу Харрисон . В отличие от Парча, который часто брал гаммы непосредственно из гармонического ряда, композиторы американского движения Гамелан имели тенденцию черпать гаммы из простой интонационной решетки, аналогично тому, как это используется для построения блоков периодичности Фоккера . Такие гаммы часто содержат отношения с очень большими числами, которые, тем не менее, связаны простыми интервалами с другими нотами гаммы.
Настройка и интервалы простого предела часто обозначаются термином, обозначающим систему счисления , основанную на пределе. Например, настройка и интервалы с 7 пределами называются семеричными, 11-предельные — недесятичными и так далее.
В музыкальном темпераменте простые соотношения интонации сопоставляются с близкими иррациональными аппроксимациями. Эта операция, в случае успеха, не меняет относительную гармоническую сложность различных интервалов, но может усложнить использование концепции гармонического предела. Поскольку некоторые аккорды (например, уменьшенный септаккорд в 12-ET ) имеют несколько допустимых строев только в интонации, их гармонический предел может быть неоднозначным.
