личность Диксона

О конечных суммах произведений трех биномиальных коэффициентов и гипергеометрической сумме

В математике тождество Диксона (или теорема Диксона или формула Диксона ) — это любое из нескольких различных, но тесно связанных тождеств, доказанных AC Dixon , некоторые из которых включают конечные суммы произведений трех биномиальных коэффициентов , а некоторые оценивают гипергеометрическую сумму . Эти тождества, как известно, следуют из теоремы Мастера Мак-Магона и теперь могут быть регулярно доказаны с помощью компьютерных алгоритмов (Ekhad 1990).

Заявления

Первоначальная идентичность, из (Dixon 1891), такова:

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}$

Обобщение, также иногда называемое тождеством Диксона, заключается в следующем:

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}$

где a , b , и c — неотрицательные целые числа (Wilf 1994, стр. 156). Сумма слева может быть записана как конечный хорошо уравновешенный гипергеометрический ряд

${\displaystyle {b+c \choose b-a}{c+a \choose c-a}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)}$

и тождество следует как предельный случай (когда a стремится к целому числу) теоремы Диксона, оценивающей хорошо уравновешенный ₃ F ₂ обобщенный гипергеометрический ряд в 1, из (Dixon 1902):

${\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}$

Это справедливо для Re(1 + 1 ⁄ 2 a − b − c ) > 0. Когда c стремится к −∞, это сводится к формуле Куммера для гипергеометрической функции ₂ F ₁ при −1. Теорема Диксона может быть выведена из оценки интеграла Сельберга .

д-аналоги

Q - аналог формулы Диксона для основного гипергеометрического ряда в терминах q-символа Похгаммера имеет вид

${\displaystyle \;_{4}\varphi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}$

где | qa ^1/2 / bc | < 1.

Ссылки

• Диксон, AC (1891), «О сумме кубов коэффициентов в некотором разложении по биномиальной теореме», Вестник математики , 20 : 79–80, JFM  22.0258.01
• Диксон, AC (1902), «Суммирование определенного ряда», Proc. London Math. Soc. , 35 (1): 284–291, doi :10.1112/plms/s1-35.1.284, JFM  34.0490.02
• Эхад, Шалош Б. (1990), «Очень короткое доказательство теоремы Диксона», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 54 (1): 141–142, doi :10.1016/0097-3165(90)90014-N, ISSN  1096-0899, MR  1051787, Zbl  0707.05007
• Гессель, Айра ; Стэнтон, Деннис (1985), «Краткие доказательства теорем Заальшютца и Диксона», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 38 (1): 87–90, doi : 10.1016/0097-3165(85)90026-3 , ISSN  1096-0899, MR  0773560, Zbl  0559.05008
• Уорд, Джеймс (1991), «100 лет идентичности Диксона», Бюллетень Ирландского математического общества , 0027 (27): 46–54, doi : 10.33232/BIMS.0027.46.54 , ISSN  0791-5578, MR  1185413, Zbl  0795.01009
• Уилф, Герберт С. (1994), Generatingfunctionology (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 0-12-751956-4, ЗБЛ  0831.05001