Взаимность (электромагнетизм)

Теорема классического электромагнетизма

В классическом электромагнетизме взаимность относится к ряду связанных теорем, включающих обмен гармоническими во времени плотностями электрического тока (источниками) и результирующими электромагнитными полями в уравнениях Максвелла для инвариантных во времени линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность тесно связана с концепцией симметричных операторов из линейной алгебры , применяемой к электромагнетизму.

Возможно , наиболее распространенной и общей такой теоремой является теорема взаимности Лоренца (и ее различные частные случаи, такие как теорема взаимности Рэлея-Карсона ), названная в честь работы Хендрика Лоренца 1896 года, последовавшей за аналогичными результатами относительно звука лорда Рэлея и света Гельмгольца (Potton 2004). В общем, она гласит, что связь между колеблющимся током и результирующим электрическим полем не изменится, если поменять местами точки, где помещен ток, и точки, где измеряется поле. Для конкретного случая электрической сети ее иногда формулируют как утверждение, что напряжения и токи в разных точках сети можно поменять местами. Более технически, из этого следует, что взаимное сопротивление первой цепи из-за второй такое же, как взаимное сопротивление второй цепи из-за первой.

Взаимность полезна в оптике , которая (помимо квантовых эффектов) может быть выражена в терминах классического электромагнетизма, а также в терминах радиометрии .

Аналогичная теорема существует и в электростатике , известная как теорема взаимности Грина , связывающая взаимообмен электрического потенциала и плотности электрического заряда .

Формы теорем взаимности используются во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенных систем. ^[1] Например, взаимность подразумевает, что антенны работают одинаково хорошо как передатчики или приемники, и, в частности, что диаграммы излучения и приема антенны идентичны. Взаимность также является базовой леммой, которая используется для доказательства других теорем об электромагнитных системах, таких как симметрия матрицы импеданса и матрицы рассеяния , симметрии функций Грина для использования в вычислительных методах граничных элементов и матриц переноса, а также свойства ортогональности гармонических мод в волноводных системах (в качестве альтернативы доказательству этих свойств непосредственно из симметрий собственных операторов ).

Взаимность Лоренца

В частности, предположим, что имеется плотность тока , которая создает электрическое поле и магнитное поле , где все три являются периодическими функциями времени с угловой частотой ω , и в частности они имеют зависимость от времени Предположим, что у нас аналогичным образом имеется второй ток с той же частотой ω, который (сам по себе) создает поля и Тогда теорема взаимности Лоренца утверждает, при определенных простых условиях на материалы среды, описанной ниже, что для произвольной поверхности S, охватывающей объем V : ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\,,}$ ${\displaystyle \exp(-i\omega t)\,.}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\,.}$

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

Эквивалентно, в дифференциальной форме (по теореме о дивергенции ):

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .}$

Эта общая форма обычно упрощается для ряда особых случаев. В частности, обычно предполагается, что и локализованы (т.е. имеют компактный носитель ), и что нет входящих волн из бесконечно большого расстояния. В этом случае, если интегрировать по всему пространству, то члены поверхностного интеграла сокращаются (см. ниже) и получается: ${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\ }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .}$

Этот результат (вместе со следующими упрощениями) иногда называют теоремой о взаимности Рэлея-Карсона , в честь работы лорда Рэлея о звуковых волнах и расширения Карсона (1924; 1930) для приложений радиочастотных антенн. Часто это соотношение еще больше упрощают, рассматривая точечные дипольные источники, в этом случае интегралы исчезают, и мы просто имеем произведение электрического поля на соответствующие дипольные моменты токов. Или, для проводов пренебрежимо малой толщины, мы получаем приложенный ток в одном проводе, умноженный на результирующее напряжение на другом и наоборот; см. также ниже.

Другой частный случай теоремы взаимности Лоренца применяется, когда объем V полностью содержит оба локализованных источника (или, в качестве альтернативы, если V не пересекает ни один из источников). В этом случае:

${\displaystyle \ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

В практических задачах встречаются и другие, более обобщенные формы соотношений взаимности Лоренца и других, в которых, помимо плотности электрического тока , используется также плотность магнитного тока . Эти типы соотношений взаимности обычно обсуждаются в электротехнической литературе. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \ }$

Взаимность для электрических сетей

Выше принцип взаимности Лоренца был сформулирован в терминах внешнего источника тока и результирующего поля. Часто, особенно для электрических сетей, вместо этого предпочитают думать о внешнем напряжении и результирующих токах. Теорема взаимности Лоренца описывает и этот случай, предполагая омические материалы (т. е. токи, которые линейно реагируют на приложенное поле) с матрицей проводимости 3×3 σ , которая должна быть симметричной , что подразумевается другими условиями ниже. Чтобы правильно описать эту ситуацию, нужно тщательно различать внешние приложенные поля (от возбуждающих напряжений) и общие поля, которые получаются (King, 1963).

Более конкретно, вышеизложенное состояло только из внешних "источниковых" членов, введенных в уравнения Максвелла. Теперь мы обозначаем это как , чтобы отличить его от полного тока, произведенного как внешним источником, так и результирующими электрическими полями в материалах. Если этот внешний ток находится в материале с проводимостью σ , то он соответствует внешне приложенному электрическому полю , где, по определению σ : ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$

Более того, электрическое поле выше состояло только из реакции на этот ток и не включало «внешнее» поле. Поэтому теперь мы обозначаем поле, полученное ранее, как , где полное поле определяется как ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .}$

Теперь уравнение в левой части теоремы взаимности Лоренца можно переписать, переместив σ из члена внешнего тока в члены поля отклика , а также добавив и вычтя член , чтобы получить внешнее поле, умноженное на полный ток. ${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\ .\end{aligned}}}$

Для предела тонких проводов это дает произведение внешнего приложенного напряжения (1), умноженное на результирующий полный ток (2) и наоборот. В частности, теорема взаимности Рэлея-Карсона становится простым суммированием:

${\displaystyle \ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}}$

где и I обозначают комплексные амплитуды приложенных напряжений переменного тока и результирующих токов, соответственно, в наборе элементов схемы (индексированных как n ) для двух возможных наборов напряжений и ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}\ .}$

Чаще всего это упрощается до случая, когда каждая система имеет один источник напряжения при и Тогда теорема становится просто ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .}$

${\displaystyle I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}}$

или словами:

Ток в точке (1) от напряжения в точке (2) идентичен току в точке (2) от того же напряжения в точке (1).

Условия и доказательство взаимности Лоренца

Теорема взаимности Лоренца является просто отражением того факта, что линейный оператор, связывающий и на фиксированной частоте (в линейных средах): где — это обычно симметричный оператор относительно « внутреннего произведения » для векторных полей и ^[8] (Технически, эта несопряженная форма не является истинным внутренним произведением, поскольку она не является вещественнозначной для комплексных полей, но в данном случае это не проблема. В этом смысле оператор не является истинно эрмитовым, а скорее комплексно-симметричным.) Это верно всякий раз, когда диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость μ при заданном ω являются симметричными матрицами 3×3 (симметричными тензорами ранга 2) — это включает в себя общий случай, когда они являются скалярами (для изотропных сред), конечно. Они не обязательно должны быть действительными — комплексные значения соответствуют материалам с потерями, таким как проводники с конечной проводимостью σ (которая включена в ε через ) — и поэтому теорема взаимности не требует инвариантности относительно обращения времени . Условие симметричности матриц ε и μ почти всегда выполняется; см. ниже исключение. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} }$$ $${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} }$$ ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \ .}$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega \ }$

Для любого эрмитова оператора под скалярным произведением , по определению, и теорема взаимности Рэлея-Карсона является просто векторной версией этого утверждения для этого конкретного оператора , то есть, Эрмитово свойство оператора здесь может быть получено путем интегрирования по частям . Для конечного объема интегрирования поверхностные члены из этого интегрирования по частям дают более общую теорему о поверхностном интеграле выше. В частности, ключевым фактом является то, что для векторных полей и интегрирования по частям (или теоремы о расходимости ) по объему V , ограниченному поверхностью S, дает тождество: ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle (f,g)\!}$ ${\displaystyle (f,\operatorname {\hat {O}} g)=(\operatorname {\hat {O}} f,g)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \ :}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \ ,}$ $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ .}$$

Это тождество затем применяется дважды, чтобы получить плюс поверхностный член, что дает соотношение взаимности Лоренца. ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})}$ ${\displaystyle (\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$

Условия и доказательство взаимности Лоренца с использованием уравнений Максвелла и векторных операций ^[9]

Мы докажем общую форму теоремы электромагнитного взаимодействия Лоренца, которая утверждает, что поля и , создаваемые двумя различными плотностями синусоидального тока соответственно и одинаковой частоты, удовлетворяют условию ${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ $${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .}$$

Возьмем область, в которой диэлектрическая постоянная и проницаемость могут быть функциями положения, но не времени. Уравнения Максвелла, записанные в терминах полных полей, токов и зарядов области, описывают электромагнитное поведение области. Два уравнения ротора следующие: $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

При условиях постоянной частоты из двух уравнений ротора получаем уравнения Максвелла для случая, периодического во времени: $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

Необходимо признать, что символы в уравнениях этой статьи представляют собой комплексные множители , давая синфазные и противофазные части относительно выбранной точки отсчета. Комплексные векторные множители могут быть названы векторными фазорами по аналогии с комплексными скалярными величинами, которые обычно называют фазорами . ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Эквивалентность векторных операций показывает, что для любых векторов и $${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} \ .}$

Если мы применим эту эквивалентность к и получим: ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Если продукты в уравнениях, периодических по времени, берутся, как указано в этой последней эквивалентности, и складываются, $${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Теперь это может быть интегрировано в объем беспокойства, $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .}$$

Из теоремы о расходимости следует, что объемный интеграл равен поверхностному интегралу по границе. ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$ $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Эта форма верна для общих сред, но в общем случае линейных, изотропных, не зависящих от времени материалов ε является скаляром, не зависящим от времени. Тогда, как правило, физические величины и ${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .}$

Последнее уравнение тогда становится $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Совершенно аналогичным образом получаем для векторов и следующее выражение: ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatorname {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Вычитая два последних уравнения по членам, получаем и эквивалентно в дифференциальной форме QED $${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\operatorname {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$$ $${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ }$$

Отмена на поверхностный срок

Сокращение поверхностных членов в правой части теоремы взаимности Лоренца для интегрирования по всему пространству не совсем очевидно, но может быть получено несколькими способами. Строгая обработка поверхностного интеграла учитывает причинность взаимодействующих состояний волнового поля: вклад поверхностного интеграла на бесконечности исчезает только для взаимодействия свертки по времени двух причинных волновых полей (взаимодействие корреляции по времени приводит к ненулевому вкладу). ^[10]

Другим простым аргументом было бы то, что для локализованного источника поля стремятся к нулю на бесконечности, но этот аргумент не работает в случае среды без потерь: при отсутствии поглощения излучаемые поля затухают обратно пропорционально расстоянию, но площадь поверхности интеграла увеличивается пропорционально квадрату расстояния, поэтому две скорости уравновешивают друг друга в интеграле.

Вместо этого принято (например, Кинг, 1963) предполагать, что среда однородна и изотропна достаточно далеко. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает форму плоских волн, распространяющихся радиально наружу (в направлении) с и где Z — скалярный импеданс окружающей среды. Тогда следует то, что по простому векторному тождеству равно Аналогично, и два члена взаимно уничтожают друг друга. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$

Приведенный выше аргумент явно показывает, почему поверхностные члены могут сокращаться, но не обладает общностью. В качестве альтернативы можно рассматривать случай окружающей среды без потерь с граничными условиями излучения, налагаемыми с помощью принципа предельного поглощения (LAP): принимая предел, когда потери (мнимая часть ε ) стремятся к нулю. Для любых ненулевых потерь поля экспоненциально затухают с расстоянием, а поверхностный интеграл исчезает, независимо от того, является ли среда однородной. Поскольку левая часть теоремы взаимности Лоренца исчезает при интегрировании по всему пространству с любыми ненулевыми потерями, она также должна исчезать в пределе, когда потери стремятся к нулю. (Обратите внимание, что LAP неявно налагает условие излучения Зоммерфельда нулевых входящих волн из бесконечности, потому что в противном случае даже произвольно малые потери устранили бы входящие волны, и предел не дал бы решения без потерь.)

Взаимность и функция Грина

Обратный оператор ie, в (который требует спецификации граничных условий на бесконечности в системе без потерь), имеет ту же симметрию, что и и по сути является сверткой функции Грина . Таким образом, другая точка зрения на взаимность Лоренца состоит в том, что она отражает тот факт, что свертка с электромагнитной функцией Грина является комплексно-симметричной (или антиэрмитовой, ниже) линейной операцией при соответствующих условиях на ε и μ . Более конкретно, функция Грина может быть записана как дающая n -ый компонент at из точечного дипольного тока в m -ом направлении at (по сути, дает матричные элементы ), а взаимность Рэлея-Карсона эквивалентна утверждению, что В отличие от этого, как правило, невозможно дать явную формулу для функции Грина (за исключением особых случаев, таких как однородные среды), но она обычно вычисляется численными методами. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {\hat {O}} ^{-1}\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} ^{-1}}$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$

Магнитооптические материалы без потерь

Один случай, в котором ε не является симметричной матрицей, — это магнитооптические материалы, в этом случае обычное утверждение о взаимности Лоренца не выполняется (однако, см. ниже обобщение). Если мы допустим магнитооптические материалы, но ограничимся ситуацией, когда поглощение материала пренебрежимо мало , то ε и μ в общем случае будут комплексными эрмитовыми матрицами 3×3 . В этом случае оператор является эрмитовым относительно сопряженного скалярного произведения , и вариант теоремы о взаимности ^{[ требуется ссылка ]} все еще выполняется: где изменения знака происходят из в уравнении выше, что делает оператор антиэрмитовым (пренебрегая поверхностными членами). Для частного случая это дает переформулировку закона сохранения энергии или теоремы Пойнтинга (поскольку здесь мы предположили отсутствие потерь в материалах, в отличие от предыдущего): Средняя по времени скорость работы, выполняемой током (задаваемая действительной частью ), равна среднему по времени внешнему потоку мощности (интегралу вектора Пойнтинга ). По той же причине, однако, поверхностные члены в общем случае не исчезают, если интегрировать по всему пространству для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэлея-Карсона не выполняется без дополнительных предположений. ${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$ ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,}$ $${\displaystyle -\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A} }$$ ${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,}$ ${\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$

Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэлея-Карсона, является ключом к таким устройствам, как изоляторы и циркуляторы Фарадея . Ток на одной стороне изолятора Фарадея создает поле на другой стороне, но не наоборот.

Обобщение на несимметричные материалы

Для комбинации материалов с потерями и магнитооптических материалов, а также в общем случае, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни эрмитовыми матрицами, все равно можно получить обобщенную версию взаимности Лоренца, рассматривая и как существующие в разных системах . ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$

В частности, если удовлетворять уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами и удовлетворять уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами , где обозначает транспонирование , то уравнение взаимности Лоренца выполняется. Это может быть далее обобщено на бианизотропные материалы путем транспонирования полного тензора восприимчивости 6×6. ^[11] ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$ ${\displaystyle \left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Исключения из принципа взаимности

Для нелинейных сред теорема взаимности обычно не выполняется. Взаимность также обычно не применяется для изменяющихся во времени («активных») сред; например, когда ε модулируется во времени каким-либо внешним процессом. (В обоих этих случаях частота ω обычно не является сохраняющейся величиной.)

Взаимность Фельда-Тая

В 1992 году тесно связанная теорема взаимности была сформулирована независимо YA Feld ^[12] и CT Tai, ^[13] и известна как теорема взаимности Feld-Tai или лемма Feld-Tai . Она связывает два гармонических по времени локализованных источника тока и результирующие магнитные поля :

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatorname {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\operatorname {d} V\ .}$

Однако лемма Фельда-Таи справедлива только при гораздо более ограничительных условиях, чем взаимность Лоренца. Она обычно требует неизменяемых во времени линейных сред с изотропным однородным импедансом , т. е. постоянным скалярным отношением μ / ε , за возможным исключением областей идеально проводящего материала.

Точнее, взаимность Фельда-Тая требует эрмитовой (или, скорее, комплексно-симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как указано выше, но также опирается на предположение, что оператор, связывающий и , является постоянным скалярным множителем оператора, связывающего и , что верно, когда ε является постоянным скалярным множителем μ (два оператора обычно отличаются заменой ε и μ ). Как указано выше, можно также построить более общую формулировку для интегралов по конечному объему. ${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$ ${\displaystyle \ i\omega \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$ ${\displaystyle \ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,}$

Оптическая взаимность в радиометрических терминах

Помимо квантовых эффектов, классическая теория охватывает электрические и магнитные явления в ближнем, среднем и дальнем поле с произвольными временными характеристиками. Оптика относится к дальним почти синусоидальным колебательным электромагнитным эффектам. Вместо парных электрических и магнитных переменных оптика, включая оптическую взаимность, может быть выражена в парных по поляризации радиометрических переменных, таких как спектральная яркость , традиционно называемая удельной интенсивностью .

В 1856 году Герман фон Гельмгольц писал:

«Луч света, исходящий из точки A, достигает точки B, претерпев некоторое количество преломлений, отражений и т. д. В точке A пусть любые две перпендикулярные плоскости a ₁ , a ₂ будут взяты в направлении луча; и пусть колебания луча будут разделены на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем подобные плоскости b ₁ , b ₂ в луче в точке B ; тогда может быть продемонстрировано следующее предложение. Если, когда количество света J, поляризованного в плоскости a _{1 ,} исходит из A в направлении данного луча, та часть K света, поляризованного в b _{1 ,} достигает B , то, наоборот, если количество света J, поляризованного в b _{1 ,} исходит из B , то то же самое количество света K, поляризованного в a _{1 ,} достигнет A ». ^[14]

Это иногда называют принципом взаимности (или реверсии) Гельмгольца . ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} Когда волна распространяется через материал, на который действует приложенное магнитное поле, взаимность может быть нарушена, поэтому этот принцип не будет применяться. ^[14] Аналогично, когда на пути луча есть движущиеся объекты, принцип может быть полностью неприменим. Исторически сложилось так, что в 1849 году сэр Джордж Стокс сформулировал свой оптический принцип реверсии, не обращая внимания на поляризацию. ^{[21] [22] [23]}

Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предлагаемого закона. ^{[24] [25]}

Простейшая формулировка принципа: если я вижу вас, то вы можете видеть меня . Этот принцип был использован Густавом Кирхгофом при выводе закона теплового излучения и Максом Планком при анализе закона теплового излучения .

Для алгоритмов глобального освещения с трассировкой лучей входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсии друг друга, не влияя на результат функции распределения двунаправленной отражательной способности (BRDF). ^[25]

Взаимность Грина

В то время как приведенные выше теоремы взаимности были справедливы для осциллирующих полей, теорема Грина является аналогичной теоремой для электростатики с фиксированным распределением электрического заряда (Панофски и Филлипс, 1962).

В частности, пусть обозначает электрический потенциал, возникающий из полной плотности заряда . Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона , , где — диэлектрическая проницаемость вакуума . Аналогично, пусть обозначает электрический потенциал, возникающий из полной плотности заряда , удовлетворяющий . В обоих случаях мы предполагаем, что распределения зарядов локализованы, так что потенциалы можно выбрать стремящимися к нулю на бесконечности. Тогда теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов по всему пространству: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatorname {d} V~.}$

Эта теорема легко доказывается из второго тождества Грина . Эквивалентно, это утверждение, что

${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})\operatorname {d} V=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatorname {d} V\ ,}$

т.е. это эрмитов оператор (что следует из двукратного интегрирования по частям). ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Смотрите также

• Принцип эквивалентности поверхностей

Ссылки

1. Stumpf, M. (2018). Электромагнитная взаимность в теории антенн . Piscataway, NJ: Wiley-IEEE Press.
2. Баланис, Калифорния (2024). Advanced Engineering Electromagnetics (3-е изд.). Wiley . С. 335–337. doi :10.1002/9781394180042. ISBN 978-1-394-18001-1. Получено 29 февраля 2024 г. .
3. Харрингтон, РФ (2001). Гармонические электромагнитные поля во времени. Wiley - IEEE . С. 116–120. doi :10.1109/9780470546710. ISBN 978-0-471-20806-8. Получено 29 февраля 2024 г. .
4. Ван Блейдел, Дж. (2007). Электромагнитные поля (2-е изд.). Вили — IEEE . стр. 397–402. дои : 10.1002/047012458X. ISBN 978-0-471-26388-3. Получено 29 февраля 2024 г. .
5. Фелсен, Л. Б.; Маркувиц , Н. (2003). Излучение и рассеяние волн. Wiley - IEEE . С. 90–93. doi :10.1109/9780470546307. ISBN 978-0-780-31088-9. Получено 29 февраля 2024 г. .
6. Kong, JA (2008). Теория электромагнитных волн (3-е изд.). EMW. стр. 697–702. ISBN 978-0-9668143-9-2.
7. Коллин, RE (1991). Полевая теория направленных волн (2-е изд.). Wiley - IEEE . стр. 49–50. doi :10.1109/9780470544648. ISBN 978-0-879-42237-0. Получено 29 февраля 2024 г. .
8. Chew, Wen Cho (апрель 2008 г.). «Новый взгляд на теоремы взаимности и сохранения энергии в электромагнетизме». IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 56 (4): 970–975. Bibcode : 2008ITAP...56..970C. doi : 10.1109/TAP.2008.919189. S2CID  13615400.
9. Рамо, Саймон; Уиннери, Джон; ван Дузер, Теодор (1965). Поля и волны в коммуникационной электронике (международное издание). John Wiley & Sons. ISBN 978-047170720-2.ISBN  0471707201
10. Штумпф, М. (2018). Электромагнитная взаимность в теории антенн . IEEE Press / Wiley. §1.4.3.
11. Конг, Джин Ау (1972). «Теоремы бианизотропных сред». Труды IEEE . 60 (9): 1036–1046. doi :10.1109/PROC.1972.8851.
12. Фельд, Я. Н. (1992). «О квадратичной лемме в электродинамике». Доклады АН СССР . 37 : 235–236.
13. Тай, Ч.-Т. (1992). «Дополнительные теоремы взаимности в электромагнитной теории». Труды IEEE по антеннам и распространению . 40 (6): 675–681. Bibcode :1992ITAP...40..675T. doi :10.1109/8.144602. hdl : 2027.42/21036 .
14. фон Гельмгольц, Х. (1856). Handbuch der Psychologischen Optik [ Справочник по физиологической оптике ]. Том. 1 (1-е изд.). Лейпциг: Леопольд Восс. п. 169;цитируется Планком. Английская версия, цитируемая здесь, основана на «переводе Гельмгольца». Philosophical Magazine (Второе издание). Серия 4. 20 . Перевод Guthrie, F.: 2–21 1867.
15. Миннарт, М. (1941). «Принцип взаимности в лунной фотометрии». The Astrophysical Journal . 93 : 403–410. Bibcode : 1941ApJ....93..403M. doi : 10.1086/144279.
16. Чандрасекар, С. (1950). Перенос излучения . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. С. 20–21, 171–177, 182.
17. Тингвальдт, CP (1952). «Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik» [О законе взаимности Гельмгольца в оптике]. Оптик . 9 (6): 248–253.
18. Леви, Л. (1968). Прикладная оптика: Руководство по проектированию оптических систем . Т. 1. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Wiley. С. 84.(2 тома)
19. Кларк, FJJ; Парри, DJ (1985). «Взаимность Гельмгольца: ее обоснованность и применение в рефлектометрии». Lighting Research & Technology . 17 (1): 1–11. doi :10.1177/14771535850170010301. S2CID  123394330.
20. Борн, М.; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики : Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Cambridge University Press. стр. 423. ISBN 0-521-64222-1.
21. Стокс, ГГ (1849). «Об идеальной черноте центрального пятна в кольцах Ньютона и о проверке формул Френеля для интенсивностей отраженных и преломленных лучей». Cambridge and Dublin Mathematical Journal . новая серия. 4 : 1–14.
22. Махан, AI (1943). «Математическое доказательство принципа обратимости Стокса». Журнал оптического общества Америки . 33 (11): 621–626. doi :10.1364/JOSA.33.000621.
23. Лекнер, Дж. (1987). Теория отражения электромагнитных и корпускулярных волн. Дордрехт: Мартинус Нийхофф. С. 33–37. ISBN 90-247-3418-5– через Google Книги.
24. Рэлей, Дж. В. Страт, барон (1900). «О законе взаимности в диффузном отражении». Philosophical Magazine . серия 5. 49 : 324–325.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
25. Hapke, B. (1993). Теория спектроскопии отражения и излучения . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. Раздел 10C, страницы 263-264. ISBN 0-521-30789-9.

Источники

• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1960). Электродинамика сплошных сред . Reading, MA: Addison-Wesley. §89.
• Кинг, Р. У. П. (1963). Фундаментальная электромагнитная теория (переиздание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер. §IV.21.
• Альтман, К.; Сач, К. (1991). Взаимность, пространственное отображение и обращение времени в электромагнетизме . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer.
• Лоренц, Х.А. (1895–1896). «Теорема Пойнтинга об энергии в электромагнитном поле и два общих положения о распространении света» (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Амстердам [Трактаты Королевской академии наук, Амстердам  ] . 4 : 176–187 – через Лейденский университет (leidenuniv.nl).
• Potton, RJ (2004). «Взаимность в оптике». Reports on Progress in Physics . 67 : 717–754.— Обзорная статья по истории данной темы.
• Карсон, Дж. Р. (1924). «Обобщение теоремы о взаимности». Bell System Technical Journal . 3 (3): 393–399 – через Интернет-архив (archive.org).
• Карсон, Дж. Р. (1930). «Теорема о взаимной энергии». Bell System Technical Journal . 9 (4): 325–331 – через Интернет-архив (archive.org).
• Фельд, Я. Н. (1992). «О квадратичной лемме в электродинамике». Доклады АН СССР . 37 : 235–236.
• Тай, Ч.-Т. (1992). «Дополнительные теоремы взаимности в электромагнитной теории». Труды IEEE по антеннам и распространению волн . 40 (6): 675–681.
• Панофски, Вольфганг КХ; Филлипс, Мельба (1962). Классическое электричество и магнетизм . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley.
• Штумпф, М. (2018). Электромагнитная взаимность в теории антенн . Пискатауэй, Нью-Джерси: Wiley-IEEE Press.
• Штумпф, М. (2020). Электромагнитная взаимность во временной области в моделировании антенн . Пискатауэй, Нью-Джерси: Wiley-IEEE Press.
• Асадчий, В.С.; Мирмуса, Миссисипи; Диас-Рубио, А.; Фан, С.; Третьяков С.А. (октябрь 2020 г.). «Учебник по электромагнитной невзаимности и ее истокам». Труды IEEE . 108 (10): 1684–1727. arXiv : 2001.04848 . дои : 10.1109/JPROC.2020.3012381.