Максимальный тор

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли.

В математической теории компактных групп Ли особую роль играют подгруппы тора, в частности максимальные подгруппы тора .

Тор в компактной группе Ли G — это компактная , связная , абелева подгруппа Ли группы G (и, следовательно, изоморфная ^[1] стандартному тору T ⁿ ). Максимальный тор — это тот, который является максимальным среди таких подгрупп. То есть, T является максимальным тором, если для любого тора T ′, содержащего T, имеем T = T ′. Каждый тор содержится в максимальном торе просто по соображениям размерности . Некомпактная группа Ли не обязана иметь нетривиальные торы (например, R ⁿ ).

Размерность максимального тора в G называется рангом G. Ранг хорошо определен, поскольку все максимальные торы оказываются сопряженными . Для полупростых групп ранг равен числу узлов в соответствующей диаграмме Дынкина .

Примеры

Унитарная группа U( n ) имеет в качестве максимального тора подгруппу всех диагональных матриц . То есть,

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

T, очевидно, изоморфен произведению n окружностей, поэтому унитарная группа U( n ) имеет ранг n . Максимальный тор в специальной унитарной группе SU( n ) ⊂ U( n ) — это просто пересечение T и SU( n ), которое является тором размерности  n  − 1.

Максимальный тор в специальной ортогональной группе SO(2 n ) задается множеством всех одновременных вращений в любом фиксированном выборе n попарно ортогональных плоскостей (т. е. двумерных векторных пространств). Конкретно, один максимальный тор состоит из всех блочно-диагональных матриц с диагональными блоками, где каждый диагональный блок является матрицей вращения. Это также максимальный тор в группе SO(2 n +1), где действие фиксирует оставшееся направление. Таким образом, как SO(2 n ), так и SO(2 n +1) имеют ранг n . Например, в группе вращений SO(3) максимальные торы задаются вращениями вокруг фиксированной оси. ${\displaystyle 2\times 2}$

Симплектическая группа Sp( n ) имеет ранг n . Максимальный тор задается множеством всех диагональных матриц, все элементы которых лежат в фиксированной комплексной подалгебре алгебры H .

Характеристики

Пусть G — компактная, связная группа Ли, а — алгебра Ли группы G. Первым основным результатом является теорема о торе, которая может быть сформулирована следующим образом: ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теорема о торе : Если T — один фиксированный максимальный тор в G , то каждый элемент G сопряжен с элементом T.

Эта теорема имеет следующие следствия:

• Все максимальные торы в G сопряжены. ^[3]
• Все максимальные торы имеют одинаковую размерность, известную как ранг G.
• Максимальный тор в G является максимальной абелевой подгруппой, но обратное не обязательно. ^[4]
• Максимальные торы в G — это в точности подгруппы Ли, соответствующие максимальным абелевым подалгебрам из ^[5] (ср. подалгебра Картана ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Каждый элемент группы G лежит в некотором максимальном торе; таким образом, экспоненциальное отображение для G является сюръективным.
• Если G имеет размерность n и ранг r, то n − r четно.

Корневая система

Если T — максимальный тор в компактной группе Ли G , можно определить корневую систему следующим образом. Корни — это веса для присоединенного действия T на комплексифицированной алгебре Ли G . Чтобы быть более явным, пусть обозначает алгебру Ли T , пусть обозначает алгебру Ли , а пусть обозначает комплексификацию . Тогда мы говорим, что элемент является корнем для G относительно T , если и существует ненулевой элемент такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X}$

для всех . Здесь — фиксированное скалярное произведение на , которое инвариантно относительно присоединенного действия связных компактных групп Ли. ${\displaystyle H\in {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Корневая система, как подмножество алгебры Ли T , обладает всеми обычными свойствами корневой системы, за исключением того, что корни могут не охватывать . [ ^6] Корневая система является ключевым инструментом в понимании классификации и теории представлений G. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Группа Вейля

При наличии тора T (не обязательно максимального) группа Вейля группы G относительно T может быть определена как нормализатор T по модулю централизатора T. То есть,

${\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}$

Зафиксируем максимальный тор в G; тогда соответствующая группа Вейля называется группой Вейля группы G (она зависит с точностью до изоморфизма от выбора T ). ${\displaystyle T=T_{0}}$

Первые два основных результата, касающиеся группы Вейля, таковы.

• Централизатор T в G равен T , поэтому группа Вейля равна N ( T )/ T . ^[7]
• Группа Вейля порождается отражениями относительно корней ассоциированной алгебры Ли. ^[8] Таким образом, группа Вейля T изоморфна группе Вейля корневой системы алгебры Ли G.

Перечислим теперь некоторые следствия этих основных результатов.

• Два элемента в T сопряжены тогда и только тогда, когда они сопряжены элементом из W. То есть каждый класс сопряженности G пересекает T ровно по одной орбите Вейля . ^[9] Фактически, пространство классов сопряженности в G гомеоморфно пространству орбит T / W.
• Группа Вейля действует посредством ( внешних ) автоморфизмов на T (и его алгебре Ли).
• Компонент тождества нормализатора T также равен T. Таким образом, группа Вейля равна компонентной группе N ( T ).
• Группа Вейля конечна.

Теория представления G по существу определяется T и W.

В качестве примера рассмотрим случай с диагональной подгруппой . Тогда принадлежит тогда и только тогда, когда отображает каждый стандартный базисный элемент в кратное некоторого другого стандартного базисного элемента , то есть тогда и только тогда, когда переставляет стандартные базисные элементы с точностью до умножения на некоторые константы. Группа Вейля в этом случае является группой перестановок на элементах. ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

Интегральная формула Вейля

Предположим, что f — непрерывная функция на G. Тогда интеграл по G от f относительно нормализованной меры Хаара dg можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}}$

где — нормализованная мера объема на фактор-многообразии , а — нормализованная мера Хаара на T . ^[10] Здесь Δ задается формулой знаменателя Вейля , а — порядок группы Вейля. Важный частный случай этого результата возникает, когда f — функция класса , то есть функция, инвариантная относительно сопряжения. В этом случае мы имеем ${\displaystyle d[y]}$ ${\displaystyle G/T}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle |W|}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}}$

Рассмотрим в качестве примера случай , где — диагональная подгруппа. Тогда интегральная формула Вейля для функций класса принимает следующий явный вид: ^[11] ${\displaystyle G=SU(2)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

Здесь нормализованная мера Хаара на равна , а обозначает диагональную матрицу с диагональными элементами и . ${\displaystyle |W|=2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\frac {d\theta }{2\pi }}}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle e^{-i\theta }}$

Смотрите также

• Компактная группа
• Подгруппа Картана
• Подалгебра Картана
• Торическая алгебра Ли
• разложение Брюа
• Формула характера Вейля
• Теория представлений связной компактной группы Ли

Ссылки

1. Холл 2015 Теорема 11.2
2. Холл 2015 Лемма 11.12
3. Холл 2015 Теорема 11.9
4. Холл 2015 Теорема 11.36 и Упражнение 11.5
5. Холл 2015 Предложение 11.7
6. Холл 2015 Раздел 11.7
7. Холл 2015 Теорема 11.36
8. Холл 2015 Теорема 11.36
9. Холл 2015 Теорема 11.39
10. Холл 2015 Теорема 11.30 и Предложение 12.24
11. Холл 2015 Пример 11.33

• Адамс, Дж. Ф. (1969), Лекции по группам Ли , Издательство Чикагского университета, ISBN 0226005305
• Бурбаки, Н. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (глава 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
• Дьедонне, Ж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат по анализу, т. 5, Academic Press, ISBN 012215505X
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN 3540152938
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 0821828487
• Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дэй