Подалгебра Картана

Нильпотентная подалгебра алгебры Ли

В математике подалгебра Картана , часто сокращенно CSA , — это нильпотентная подалгебра алгебры Ли , которая является самонормализующейся (если для всех , то ). Они были введены Эли Картаном в его докторской диссертации. Она управляет теорией представления полупростой алгебры Ли над полем характеристики . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$

В конечномерной полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики (например, ), подалгебра Картана — это то же самое, что и максимальная абелева подалгебра, состоящая из элементов x, таких, что присоединенный эндоморфизм является полупростым (т.е. диагонализируемым ). Иногда эта характеристика просто принимается за определение подалгебры Картана. ^{[1] стр. 231} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

В общем случае подалгебра называется торической, если она состоит из полупростых элементов. Над алгебраически замкнутым полем торическая подалгебра автоматически абелева. Таким образом, над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики подалгебра Картана может быть также определена как максимальная торическая подалгебра.

Алгебры Каца–Муди и обобщенные алгебры Каца–Муди также имеют подалгебры, которые играют ту же роль, что и подалгебры Картана полупростых алгебр Ли (над полем нулевой характеристики).

Существование и уникальность

Подалгебры Картана существуют для конечномерных алгебр Ли, когда базовое поле бесконечно. Один из способов построения подалгебры Картана — с помощью регулярного элемента . Над конечным полем вопрос о существовании все еще открыт. ^{[ необходима цитата ]}

Для конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует более простой подход: по определению, торическая подалгебра — это подалгебра , состоящая из полупростых элементов (элемент является полупростым, если индуцированный им присоединенный эндоморфизм диагонализуем ). Подалгебра Картана , в таком случае, является тем же самым, что и максимальная торическая подалгебра, и существование максимальной торической подалгебры легко увидеть. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики все подалгебры Картана сопряжены относительно автоморфизмов алгебры и, в частности, все изоморфны . Общая размерность подалгебры Картана тогда называется рангом алгебры.

Для конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли существование подалгебры Картана установить гораздо проще, предполагая существование компактной вещественной формы. ^[2] В этом случае можно рассматривать как комплексификацию алгебры Ли максимального тора компактной группы. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Если — линейная алгебра Ли (подалгебра Ли алгебры Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V ) над алгебраически замкнутым полем, то любая подалгебра Картана из является централизатором максимальной торической подалгебры из . ^{[ требуется ссылка ]} Если — полупросто и поле имеет нулевую характеристику, то максимальная торическая подалгебра является самонормализующейся и, таким образом, равна ассоциированной подалгебре Картана. Если, кроме того, — полупросто, то присоединенное представление представляется как линейная алгебра Ли, так что подалгебра из является подалгеброй Картана тогда и только тогда, когда она является максимальной торической подалгеброй. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры

• Любая нильпотентная алгебра Ли является своей собственной подалгеброй Картана.
• Подалгебра Картана , алгебра Ли матриц над полем, — это алгебра всех диагональных матриц. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Для специальной алгебры Ли бесследовых матриц имеется подалгебра Картана , где Например, в подалгебре Картана есть подалгебра матриц со скобкой Ли, заданная матричным коммутатором. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}}$$ $${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}}$$
• Алгебра Ли матриц следа имеет две несопряженные подалгебры Картана. ^{[ необходима ссылка} ] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 0}$
• Размерность подалгебры Картана в общем случае не является максимальной размерностью абелевой подалгебры, даже для сложных простых алгебр Ли. Например, алгебра Ли матриц следа имеет подалгебру Картана ранга , но имеет максимальную абелеву подалгебру размерности, состоящую из всех матриц вида с любой матрицей . Можно непосредственно увидеть, что эта абелева подалгебра не является подалгеброй Картана, поскольку она содержится в нильпотентной алгебре строго верхних треугольных матриц (или, поскольку она нормализована диагональными матрицами). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Подалгебры Картана полупростых алгебр Ли

Для конечномерной полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 подалгебра Картана обладает следующими свойствами: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$является абелевым ,
• Для присоединенного представления изображение состоит из полупростых операторов (т.е. диагонализируемых матриц). ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$

(Как отмечалось ранее, подалгебру Картана на самом деле можно охарактеризовать как подалгебру, которая является максимальной среди тех, которые обладают двумя вышеуказанными свойствами.)

Эти два свойства говорят о том, что операторы в одновременно диагонализируемы и что существует разложение в прямую сумму как ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

где

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

Пусть . Тогда — корневая система и, более того, ; т.е. централизатор совпадает с . Тогда указанное выше разложение можно записать как: ${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

Как оказывается, для каждого имеет размерность один и поэтому: ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$.

Для получения дополнительной информации см. также Полупростая алгебра Ли#Структура .

Разложение представлений с дуальной подалгеброй Картана

Если задана алгебра Ли над полем характеристики , ^{[ требуется разъяснение ]} и представление алгебры Ли, то существует разложение, связанное с разложением алгебры Ли из ее подалгебры Картана. Если мы установим с , называемым весовым пространством для веса , то существует разложение представления в терминах этих весовых пространств Кроме того, всякий раз, когда мы называем вес -представления . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$$ $${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$$ ${\displaystyle V_{\lambda }\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

Классификация неприводимых представлений с использованием весов

Но оказывается, что эти веса можно использовать для классификации неприводимых представлений алгебры Ли . Для конечномерного неприводимого -представления существует единственный вес относительно частичного упорядочения на . Более того, если задано такое, что для каждого положительного корня , существует единственное неприводимое представление . Это означает, что корневая система содержит всю информацию о теории представлений . ^{[1] стр. 240} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle L^{+}(\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Расщепление подалгебры Картана

Над неалгебраически замкнутыми полями не все подалгебры Картана сопряжены. Важный класс — расщепляющие подалгебры Картана : если алгебра Ли допускает расщепляющую подалгебру Картана, то она называется расщепляемой, а пара называется расщепляемой алгеброй Ли ; над алгебраически замкнутым полем каждая полупростая алгебра Ли расщепляема. Любые две расщепляющие алгебры Картана сопряжены, и они выполняют функцию, аналогичную алгебрам Картана в полупростых алгебрах Ли над алгебраически замкнутыми полями, поэтому расщепляемые полупростые алгебры Ли (на самом деле, расщепляемые редуктивные алгебры Ли) имеют много общих свойств с полупростыми алгебрами Ли над алгебраически замкнутыми полями. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$

Однако над неалгебраически замкнутым полем не каждая полупростая алгебра Ли расщепляема.

Подгруппа Картана

Подгруппа Картана группы Ли — это особый тип подгруппы. В частности, ее алгебра Ли (которая фиксирует алгебраическую структуру группы) сама является подалгеброй Картана. Когда мы рассматриваем компонент тождества подгруппы, она разделяет ту же алгебру Ли. Однако не существует общепринятого определения, для которой подгруппа с этим свойством должна называться «подгруппой Картана», особенно когда речь идет о несвязных группах.

Для компактных связных групп Ли подгруппа Картана по сути является максимальной связной абелевой подгруппой — часто называемой « максимальным тором ». Алгебра Ли, связанная с этой подгруппой, также является подалгеброй Картана.

Теперь, когда мы исследуем несвязные компактные группы Ли, все становится интересным. Существует несколько определений подгруппы Картана. Один из распространенных подходов, предложенный Дэвидом Воганом , определяет ее как группу элементов, которые нормализуют фиксированный максимальный тор, сохраняя при этом фундаментальную камеру Вейля . Эту версию иногда называют «большой подгруппой Картана». Кроме того, существует «малая подгруппа Картана», определяемая как централизатор максимального тора. Важно отметить, что эти подгруппы Картана не всегда могут быть абелевыми в роде

Примеры подгрупп Картана

• Подгруппа в GL ₂ ( R ), состоящая из диагональных матриц.

Ссылки

1. Хотта, Р. (Рёши) (2008). D-модули, перверсивные пучки и теория представлений. Такеучи, Киёси, 1967-, Танисаки, Тошиюки, 1955- (английское издание). Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4363-8. OCLC  316693861.
2. Холл 2015 Глава 7

Примечания

• Алгебры Ли и их представления
• Бесконечномерные алгебры Ли

Ссылки

• Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics , т. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, МР  1102012
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Якобсон, Натан (1979), Алгебры Ли , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63832-4, МР  0559927
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "Подалгебра Картана", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Энтони Уильям Кнапп; Дэвид А. Воган (1995). Когомологическая индукция и унитарные представления . ISBN 978-0-691-03756-1.