Торическая подалгебра

Алгебра Ли, все элементы которой полупросты

В математике торическая подалгебра — это подалгебра Ли общей линейной алгебры Ли, все элементы которой полупросты (или диагонализируемы над алгебраически замкнутым полем). ^[1] Эквивалентно, алгебра Ли является торической, если она не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Над алгебраически замкнутым полем каждая торическая алгебра Ли является абелевой ; ^{[1] [2]} таким образом, ее элементы одновременно диагонализируемы .

В полупростых и редуктивных алгебрах Ли

Подалгебра полупростой алгебры Ли называется торической, если присоединенное представление на является торической подалгеброй. Максимальная торическая подалгебра Ли конечномерной полупростой алгебры Ли или, в более общем случае, конечномерной редуктивной алгебры Ли ^{[ требуется ссылка ]} над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 является подалгеброй Картана и наоборот. ^[3] В частности, максимальная торическая подалгебра Ли в этом случае является самонормализующейся , совпадает со своим централизатором, а форма Киллинга для ограничена на невырождена. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Для более общих алгебр Ли подалгебра Картана может отличаться от максимальной торической подалгебры.

В конечномерной полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует торическая подалгебра. ^[1] Фактически, если имеет только нильпотентные элементы, то она нильпотентна ( теорема Энгеля ), но тогда ее форма Киллинга тождественно равна нулю, что противоречит полупростоте. Следовательно, должна иметь ненулевой полупростой элемент, скажем x ; тогда линейная оболочка x является торической подалгеброй. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Смотрите также

• Максимальный тор в теории групп Ли

Ссылки

1. Humphreys 1972, Гл. II, § 8.1.
2. Доказательство (от Хамфриса): Пусть . Так как диагонализуемо, достаточно показать, что все собственные значения равны нулю. Пусть будет собственным вектором с собственным значением . Тогда является суммой собственных векторов , а затем является линейной комбинацией собственных векторов с ненулевыми собственными значениями. Но, если только , то есть является собственным вектором с собственным значением ноль, противоречие. Таким образом, . ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)}$ ${\displaystyle -\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle -\lambda y}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \square }$
3. Хамфрис 1972, Гл. IV, § 15.3. Следствие

• Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, МР  1102012
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7