Обобщенная матрица перестановок

Матрица с одним ненулевым элементом в каждой строке и столбце

В математике обобщенная матрица перестановок (или мономиальная матрица ) — это матрица с тем же ненулевым шаблоном, что и матрица перестановок , то есть в каждой строке и каждом столбце есть ровно один ненулевой элемент. В отличие от матрицы перестановок, где ненулевой элемент должен быть 1, в обобщенной матрице перестановок ненулевой элемент может быть любым ненулевым значением. Пример обобщенной матрицы перестановок:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

Структура

Обратимая матрица A является обобщенной матрицей перестановки тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде произведения обратимой диагональной матрицы D и (неявно обратимой ) матрицы перестановки P : т. е.

${\displaystyle A=DP.}$

Структура группы

Множество обобщенных матриц перестановок n  ×  n с элементами в поле F образует подгруппу общей линейной группы GL( n , F ), в которой группа невырожденных диагональных матриц Δ( n , F ) образует нормальную подгруппу . Действительно, обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором диагональных матриц, что означает, что обобщенные матрицы перестановок являются наибольшей подгруппой GL( n , F ), в которой диагональные матрицы являются нормальными.

Абстрактная группа обобщенных матриц перестановок является сплетением F × ^и S n _. Конкретно, это означает, что это полупрямое произведение Δ( n , F ) на симметрическую группу S _n :

S _n ⋉ Δ( n , F ),

где S _n действует путем перестановки координат, а диагональные матрицы Δ( n , F ) изоморфны n -кратному произведению ( F ^× ) ⁿ .

Точнее говоря, обобщенные матрицы перестановок являются (точным) линейным представлением этого абстрактного сплетения: реализацией абстрактной группы как подгруппы матриц.

Подгруппы

• Подгруппа, где все элементы равны 1, — это в точности матрицы перестановок , которые изоморфны симметрической группе.
• Подгруппа, где все элементы равны ±1, — это матрицы перестановок со знаком , то есть группа гипероктаэдра .
• Подгруппа, элементы которой являются корнями степени m из единицы, изоморфна обобщенной симметрической группе . ${\displaystyle \mu _{m}}$
• Подгруппа диагональных матриц абелева , нормальна и является максимальной абелевой подгруппой. Фактор-группа является симметрической группой, и эта конструкция фактически является группой Вейля общей линейной группы: диагональные матрицы являются максимальным тором в общей линейной группе (и являются своим собственным централизатором ), обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором этого тора, а фактор является группой Вейля. ${\displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}}$

Характеристики

• Если невырожденная матрица и ее обратная являются неотрицательными матрицами (т.е. матрицами с неотрицательными элементами), то матрица является обобщенной матрицей перестановки.
• Определитель обобщенной матрицы перестановок задается выражением, где — знак перестановки , связанной с , а — диагональные элементы . $${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$ ${\displaystyle D}$

Обобщения

Можно обобщить дальше, разрешив элементам лежать в кольце , а не в поле. В этом случае, если ненулевые элементы должны быть единицами в кольце, мы снова получаем группу. С другой стороны, если ненулевые элементы должны быть только ненулевыми, но не обязательно обратимыми, этот набор матриц вместо этого образует полугруппу .

Можно также схематически разрешить ненулевым элементам лежать в группе G, понимая, что умножение матриц будет включать только умножение одной пары элементов группы, а не «добавление» элементов группы. Это злоупотребление обозначениями , поскольку элемент умножаемых матриц должен допускать умножение и сложение, но это наводящее понятие для (формально правильной) абстрактной группы (сплетение группы G с симметрической группой). ${\displaystyle G\wr S_{n}}$

Группа знаковых перестановок

Знаковая матрица перестановки — это обобщенная матрица перестановки, ненулевые элементы которой равны ±1 и представляют собой целочисленные обобщенные матрицы перестановки с целочисленной обратной.

Характеристики

• Это группа Коксетера , и в ней есть порядок . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}n!}$
• Это группа симметрии гиперкуба и (дуально) кросс -политопа .
• Ее подгруппа индекса 2 матриц с определителем, равным их базовой (беззнаковой) перестановке, является группой Кокстера и является группой симметрии полугиперкуба . ${\displaystyle D_{n}}$
• Это подгруппа ортогональной группы .

Приложения

Мономиальные представления

Мономиальные матрицы встречаются в теории представлений в контексте мономиальных представлений . Мономиальное представление группы G — это линейное представление ρ  : G → GL( n , F ) группы G (здесь F — определяющее поле представления), такое, что образ ρ ( G ) является подгруппой группы мономиальных матриц.

Ссылки

• Джойнер, Дэвид (2008). Приключения в теории групп. Кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е обновленное и переработанное издание). Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3. Збл  1221.00013.