Теоретическая гравитация

В геодезии и геофизике теоретическая гравитация или нормальная гравитация — это приближение гравитации Земли на ее поверхности или вблизи нее с помощью математической модели . Наиболее распространенной теоретической моделью является вращающийся земной эллипсоид вращения (т. е. сфероид ).

Другие представления гравитации могут быть использованы при изучении и анализе других тел, таких как астероиды . Широко используемые представления гравитационного поля в контексте геодезии включают сферические гармоники, модели масконов и многогранные представления гравитации. ^[1]

Принципы

Тип модели гравитации, используемой для Земли, зависит от степени точности, требуемой для данной проблемы. Для многих задач, таких как моделирование самолета, может быть достаточно считать гравитацию константой, определяемой как: ^[2]

${\displaystyle g=g_{45}=}$9,80665 м/с ² (32,1740 фут/с ² )

на основе данных Всемирной геодезической системы 1984 года ( WGS-84 ), где подразумевается, что она направлена ​​«вниз» в местной системе отсчета. ${\displaystyle g}$

Если необходимо смоделировать вес объекта на Земле как функцию широты , можно использовать следующее: ^{[2] : 41}

${\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}$

где

• ${\displaystyle g_{\mathrm {poles} }}$= 9,832 м/с ² (32,26 фут/с ² )
• ${\displaystyle g_{45}}$= 9,806 м/с ² (32,17 фут/с ² )
• ${\displaystyle g_{\mathrm {equator} }}$= 9,780 м/с ² (32,09 фут/с ² )
• ${\displaystyle \varphi }$= широта, между −90° и +90°

Ни одна из них не учитывает изменения гравитации с изменением высоты, но модель с функцией косинуса учитывает центробежный рельеф, который создается вращением Земли. На вращающейся сфере сумма силы гравитационного поля и центробежной силы дает угловое отклонение приблизительно

${\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}$

(в радианах) между направлением гравитационного поля и направлением, измеренным отвесной линией; отвесная линия, по-видимому, указывает на юг в северном полушарии и на север в южном полушарии. рад/с — это суточная угловая скорость земной оси, а км — радиус опорной сферы и расстояние от точки земной коры до земной оси. ^[3] ${\displaystyle \Omega \approx 7.29\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle R\approx 6370}$ ${\displaystyle R\sin \varphi }$

Для эффекта притяжения масс, самого по себе, гравитационное ускорение на экваторе примерно на 0,18% меньше, чем на полюсах, из-за того, что они расположены дальше от центра масс. Если включить вращательную составляющую (как выше), гравитация на экваторе примерно на 0,53% меньше, чем на полюсах, причем гравитация на полюсах не затронута вращением. Таким образом, вращательная составляющая изменения из-за широты (0,35%) примерно в два раза значительнее, чем изменение притяжения масс из-за широты (0,18%), но оба уменьшают силу гравитации на экваторе по сравнению с гравитацией на полюсах.

Обратите внимание, что для спутников орбиты отделены от вращения Земли, поэтому орбитальный период не обязательно равен одному дню, но также ошибки могут накапливаться на протяжении нескольких орбит, поэтому точность важна. Для таких задач вращение Земли не будет иметь значения, если не моделируются изменения в зависимости от долготы. Кроме того, изменение силы тяжести в зависимости от высоты становится важным, особенно для высокоэллиптических орбит.

Гравитационная модель Земли 1996 года ( EGM96 ) содержит 130 676 коэффициентов, которые уточняют модель гравитационного поля Земли. ^{[2] : 40} Самый значительный поправочный член примерно на два порядка значительнее следующего по величине члена. ^{[2 ] : 40} Этот коэффициент называется членом и учитывает сплющивание полюсов или сплющенность Земли. (Форма, вытянутая на своей оси симметрии, как американский футбол, будет называться вытянутой .) Функция гравитационного потенциала может быть записана для изменения потенциальной энергии для единичной массы, которая переносится из бесконечности в близость к Земле. Взятие частных производных этой функции по системе координат затем разрешит направленные компоненты вектора гравитационного ускорения как функцию местоположения. Компонент, обусловленный вращением Земли, может быть включен, если это уместно, на основе звездных суток относительно звезд (≈366,24 дня/год), а не солнечных суток (≈365,24 дня/год). Этот компонент перпендикулярен оси вращения, а не поверхности Земли. ${\displaystyle J_{2}}$

Похожую модель, скорректированную с учетом геометрии и гравитационного поля Марса, можно найти в публикации NASA SP-8010. ^[4]

Барицентрическое гравитационное ускорение в точке пространства определяется по формуле :

${\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }$

где:

M — масса притягивающего объекта, — единичный вектор от центра масс притягивающего объекта к центру масс ускоряемого объекта, r — расстояние между двумя объектами, а G — гравитационная постоянная . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$

Когда этот расчет выполняется для объектов на поверхности Земли или самолетов, которые вращаются вместе с Землей, необходимо учитывать тот факт, что Земля вращается, и из этого следует вычесть центробежное ускорение. Например, приведенное выше уравнение дает ускорение 9,820 м/с ² , когда GM = 3,986 × 10 ¹⁴ м ³ /с ² , а R = 6,371 × 10 ⁶ м. Центростремительный радиус равен r = R cos( φ ) , а центростремительная единица времени приблизительно равна ( день / 2 π ), что уменьшает это для r = 5 × 10 ⁶ метров до 9,79379 м/с ² , что ближе к наблюдаемому значению. ^{[ необходима цитата ]}

Основные формулы

Различные, последовательно более уточненные, формулы для вычисления теоретической гравитации называются Международной формулой гравитации , первая из которых была предложена в 1930 году Международной ассоциацией геодезии . Общая форма этой формулы такова:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

где g ( φ ) — это сила тяжести как функция географической широты φ положения, сила тяжести которого должна быть определена, обозначает силу тяжести на экваторе (определенную путем измерения), а коэффициенты A и B — это параметры, которые необходимо выбрать для получения хорошего глобального соответствия истинной силе тяжести. ^[5] ${\displaystyle g_{e}}$

Используя значения системы отсчета GRS80 , обычно используемая конкретная реализация приведенной выше формулы имеет вид:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[5]

Используя соответствующую формулу двойного угла в сочетании с тождеством Пифагора , это можно переписать в эквивалентных формах

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

До 1960-х годов часто использовались формулы, основанные на эллипсоиде Хейфорда (1924) и знаменитом немецком геодезисте Гельмерте (1906). ^{[ необходима цитата ]} Разница между большой полуосью (экваториальным радиусом) эллипсоида Хейфорда и современного эллипсоида WGS84 составляет251 м ; для эллипсоида Гельмерта это всего лишь63 м .

Уравнение Сомильяны

Более поздняя теоретическая формула для гравитации как функции широты — Международная формула гравитации 1980 года (IGF80), также основанная на эллипсоиде GRS80, но теперь использующая уравнение Сомильяны (в честь Карло Сомильяны (1860–1955) ^[6] ):

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

где, ^[7]

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$(формульная константа);
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$— определенная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• ${\displaystyle a,b}$— экваториальная и полярная полуоси соответственно;
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$— квадрат эксцентриситета сфероида ;

предоставление,

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[5]

Более поздним уточнением, основанным на эллипсоиде WGS84 , является формула эллипсоидальной гравитации WGS ( Всемирная геодезическая система ) 1984 года: ^[7]

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(где = 9,8321849378 мс ⁻² ) ${\displaystyle g_{p}}$

Разница с IGF80 незначительна при использовании в геофизических целях ^[5], но может быть существенной для других целей.

Дополнительные подробности

Для нормальной силы тяжести эллипсоида уровня моря, т.е. высоты h = 0, применима формула Сомильяны (1929): ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

с

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$= Нормальная гравитация на экваторе
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$= Нормальная гравитация на полюсах
• a = большая полуось (радиус экватора)
• b = малая полуось (радиус полюса)
• ${\displaystyle \varphi }$= широта

Из-за числовых проблем формула упрощается до следующего вида:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

с

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad }$( e - эксцентриситет )

Для геодезической системы отсчета 1980 года (GRS 80) параметры установлены на следующие значения:

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

Формула приближения из разложений в ряды

Формула Сомильяны была аппроксимирована посредством различных разложений в ряды по следующей схеме:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

Международная формула гравитации 1930 г.

Формула нормальной силы тяжести Джино Кассиниса была определена в 1930 году Международным союзом геодезии и геофизики как международная формула силы тяжести вместе с эллипсоидом Хейфорда . Параметры следующие:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Со временем значения были снова улучшены благодаря новым знаниям и более точным методам измерения.

Гарольд Джеффрис улучшил значения в 1948 году:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Международная формула гравитации 1967 г.

Формула нормальной силы тяжести Геодезической системы отсчета 1967 года определяется следующими значениями:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Международная формула гравитации 1980 г.

Из параметров GRS 80 следует классическое расширение серии:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

Точность составляет около ±10−6 ^м / ^с2 .

С появлением GRS 80 также было представлено следующее расширение серии:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

Таким образом, параметры следующие:

• с ₁  = 5,279 0414·10 ⁻³
• с ₂  = 2,327 18·10 ⁻⁵
• с ₃  = 1,262·10 ⁻⁷
• с ₄  = 7·10 ⁻¹⁰

Точность составляет около ±10 ⁻⁹ м/с ² точной. Когда точность не требуется, члены, находящиеся дальше назад, можно опустить. Но рекомендуется использовать эту окончательную формулу.

Зависимость от высоты

Кассини определил зависимость высоты следующим образом:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

Средняя плотность горных пород  ρ больше не учитывается.

Начиная с GRS 1967 зависимость от эллипсоидальной высоты  h имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

Другое выражение:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

с параметрами, полученными из GRS80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

где с : ^[8] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}}$

${\displaystyle m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}}$

Эта корректировка примерно верна для обычных высот в авиации , но для высот вплоть до открытого космоса (более 100 километров) она выходит за рамки допустимого .

Формула WELMEC

Во всех немецких бюро стандартов ускорение свободного падения  g рассчитывается относительно средней широты φ и средней высоты над уровнем моря  h с помощью формулы WELMEC :

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

Формула основана на Международной формуле гравитации 1967 года.

Масштаб ускорения свободного падения в определенном месте должен быть определен с помощью точного измерения нескольких механических величин. Весы , масса которых измеряется из-за веса, опираются на ускорение свободного падения, поэтому для использования они должны быть подготовлены с различными константами в разных местах использования. Благодаря концепции так называемых зон гравитации, которые разделены с использованием нормальной силы тяжести, весы могут быть откалиброваны производителем перед использованием. ^[9]

Пример

Ускорение свободного падения в Швайнфурте :

Данные:

• Широта: 50° 3′ 24″ = 50,0567°
• Высота над уровнем моря: 229,7 м.
• Плотность скальных плит: около 2,6 г/см ³
• Измеренное ускорение свободного падения: g = 9,8100 ± 0,0001 м/с ²

Ускорение свободного падения, рассчитанное по формулам нормальной силы тяжести:

• Кассини: g  = 9,81038 м/с ²
• Джеффрис: g  = 9,81027 м/с ²
• WELMEC: g  = 9,81004 м/с ²

Смотрите также

• Гравитационная аномалия
• Референц-эллипсоид
• EGM96 (Гравитационная модель Земли 1996 г.)
• Стандартная гравитация  : 9,806 65 м/с ²

Ссылки

1. Иззо, Дарио; Гомес, Пабло (28.12.2022). «Геодезия нерегулярных малых тел с помощью полей плотности нейронов». Communications Engineering . 1 (1): 48. arXiv : 2105.13031 . Bibcode : 2022CmEng...1...48I. doi : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN  2731-3395. PMC  10956048 .
2. Брайан Л. Стивенс; Фрэнк Л. Льюис (2003). Управление самолетом и моделирование, 2-е изд . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-37145-8.
3. де Икаса-Эррера, М.; Кастано, В.М. (2011). «Обобщенный лагранжиан параметрического маятника Фуко с диссипативными силами». Acta Mech . 218 (1–2): 45–64. doi :10.1007/s00707-010-0392-8.
4. Ричард Б. Нолл; Майкл Б. МакЭлрой (1974), «Модели атмосферы Марса [1974]», Критерии проектирования космических аппаратов (окружающая среда) , Гринбелт, Мэриленд: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА, Bibcode : 1974svdc.rept......, SP-8010.
5. Уильям Дж. Хинце; Ральф Р. Б. фон Фрезе ; Афиф Х. Саад (2013). Гравитационные и магнитные исследования: принципы, практика и приложения . Cambridge University Press . стр. 130. ISBN 978-1-107-32819-8.
6. Биография Сомильянас. Архивировано 07.12.2010 на Wayback Machine (итал.)
7. Министерство обороны Мировая геодезическая система 1984 — Ее определение и связь с локальными геодезическими системами, NIMA TR8350.2, 3-е изд., табл. 3.4, ур. 4-1
8. Сюн Ли; Ханс-Юрген Гётце. "Учебник: Эллипсоид, геоид, гравитация, геодезия и геофизика" (PDF) . Получено 29 марта 2024 г. .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)988КБ
9. Роман Шварц, Андреас Линдау. «Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC» (PDF) (на немецком языке) . Проверено 26 февраля 2011 г.700кБ

Дальнейшее чтение

• Карл Ледерштегер : Астрономическая и физическая геодезия . Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. Мецлер, Штутгарт, 1969 г.
• Б. Хофманн-Велленхоф, Гельмут Мориц : Физическая геодезия , ISBN 3-211-23584-1 , Springer-Verlag Wien 2006. 
• Вольфганг Торге: Геодезия . 2. Ауфляж. Вальтер де Грюйтер, Берлин, 2003 г. ISBN 3-11-017545-2. 
• Вольфганг Торге: Геодезия . Вальтер де Грюйтер, Берлин, ISBN 1975 г. 3-11-004394-7 

Внешние ссылки

• Определение геодезической системы отсчета 1980 г. (GRS80) (pdf, англ.; 70 кБ)
• Информационная система гравитации der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt , англ.
• Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln