гипотеза Мертенса

Опровергнутая математическая гипотеза

На графике показана функция Мертенса и квадратные корни для . После вычисления этих значений Мертенс предположил, что абсолютное значение всегда ограничено . Эта гипотеза, известная как гипотеза Мертенса, была опровергнута в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле . ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n\leq 10,000}$ ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

В математике гипотеза Мертенса — это утверждение, что функция Мертенса ограничена . Хотя сейчас она опровергнута, было показано, что она подразумевает гипотезу Римана . Она была высказана Томасом Йоханнесом Стилтьесом в письме 1885 года Чарльзу Эрмиту (перепечатано в Стилтьесе  (1905)), а затем снова в печати Францем Мертенсом  (1897) и опровергнута Эндрю Одлыжко и Германом те Риле  (1985). Это яркий пример математической гипотезы, которая оказалась ложной, несмотря на большое количество вычислительных доказательств в ее пользу. ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}$

Определение

В теории чисел функция Мертенса определяется как

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k),}$

где μ(k) — функция Мёбиуса ; гипотеза Мертенса заключается в том, что для всех n > 1,

${\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}}.}$

Опровержение гипотезы

В 1885 году Стилтьес заявил, что доказал более слабый результат, а именно, что ограничено , но не опубликовал доказательство. ^[1] (В терминах гипотеза Мертенса заключается в том, что .) ${\displaystyle m(n):=M(n)/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle m(n)}$ ${\displaystyle -1<m(n)<1}$

В 1985 году Эндрю Одлыжко и Герман те Риле доказали ложность гипотезы Мертенса, используя алгоритм редукции базиса решетки Ленстры–Ленстры–Ловаса : ^{[2] [3]}

${\displaystyle \liminf m(n)<-1.009}$  и  ${\displaystyle \limsup m(n)>1.06.}$

Позднее было показано, что первый контрпример появляется ниже ^[4], но выше 10 ¹⁶ . ^[5] С тех пор верхняя граница была снижена до ^[6] или приблизительно , а затем снова до . ^[7] В 2024 году Сынгки Ким и Фонг Нгуен снизили границу до , ^[8] но явный контрпример неизвестен. ${\displaystyle e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}}$ ${\displaystyle e^{1.59\times 10^{40}}}$ ${\displaystyle 10^{6.91\times 10^{39}},}$ ${\displaystyle e^{1.017\times 10^{29}}\approx 10^{4.416\times 10^{28}}}$ ${\displaystyle e^{1.96\times 10^{19}}\approx 10^{8.512\times 10^{18}}}$

Закон итерированного логарифма гласит, что если μ заменить случайной последовательностью +1 и −1, то порядок роста частичной суммы первых n членов (с вероятностью 1) около √ n log log n , что предполагает, что порядок роста m ( n ) может быть где-то около √ log log n . Фактический порядок роста может быть несколько меньше; в начале 1990-х годов Стив Гонек предположил ^[9] , что порядок роста m ( n ) был , что было подтверждено Нг (2004) на основе эвристического аргумента, который предполагал гипотезу Римана и определенные предположения об усредненном поведении нулей дзета-функции Римана. ^[9] ${\displaystyle (\log \log \log n)^{5/4},}$

В 1979 году Коэн и Дресс ^[10] нашли наибольшее известное значение для M (7766842813) = 50286, а в 2011 году Кузнецов нашел наибольшее известное отрицательное значение (в смысле абсолютного значения ) для M (11609864264058592345) = −1995900927. ^[11] В 2016 году Херст вычислил M ( n ) для каждого n ≤ 10 ¹⁶ , но не нашел больших значений m ( n ) . ^[5] ${\displaystyle m(n)\approx 0.570591}$ ${\displaystyle m(n)\approx -0.585768}$

В 2006 году Котник и те Риле улучшили верхнюю границу и показали, что существует бесконечно много значений n , для которых m ( n ) > 1,2184 , но не дали никакого конкретного значения для такого n . ^[12] В 2016 году Херст внес дальнейшие улучшения, показав

${\displaystyle \liminf m(n)<-1.837625}$  и  ${\displaystyle \limsup m(n)>1.826054.}$

Связь с гипотезой Римана

Связь с гипотезой Римана основана на ряде Дирихле для обратной величины дзета-функции Римана ,

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

справедливо в области . Мы можем переписать это как интеграл Стилтьеса ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(s)>1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}dM(x)}$

и после интегрирования по частям получить обратную величину дзета-функции как преобразование Меллина

${\displaystyle {\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s}M(x)\,{\frac {dx}{x}}.}$

Используя теорему обращения Меллина, мы теперь можем выразить M через 1 ⁄ ζ как

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds}$

что справедливо для 1 < σ < 2 и справедливо для 1 ⁄ 2 < σ < 2 по гипотезе Римана. Из этого следует, что интеграл преобразования Меллина должен быть сходящимся, и, следовательно, M ( x ) должно быть O ( x ^e ) для каждого показателя степени e, большего, чем ⁠1/2⁠ . Из этого следует, что

${\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{{\tfrac {1}{2}}+\epsilon }{\Big )}}$

для всех положительных ε эквивалентно гипотезе Римана, которая, следовательно, вытекала бы из более сильной гипотезы Мертенса, и следует из гипотезы Стилтьеса, что

${\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{2}}{\Big )}.}$

Ссылки

1. Борвейн, Питер ; Чой, Стивен; Руни, Брендан; Вайратмюллер, Андреа, ред. (2007). Гипотеза Римана. Ресурс для любителей и виртуозов . CMS Books in Mathematics. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 69. ISBN 978-0-387-72125-5. Збл  1132.11047.
2. Одлыжко, AM ; te Riele, HJJ (1985), «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138–160, doi : 10.1515/crll.1985.357.138, ISSN  0075-4102 , МР  0783538, S2CID  13016831, Збл  0544.10047
3. Сандор и др. (2006), стр. 188–189.
4. Пинц, Дж. (1987). «Эффективное опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Астериск . 147–148: 325–333. Збл  0623.10031.
5. Hurst, Greg (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные границы гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [math.NT].
6. Котник и Те Риеле (2006).
7. Розмаринович, Джон; Ким, Сынки (2023). «Новая верхняя граница наименьшего контрпримера к гипотезе Мертенса».
8. Сынки, Ким; Фонг, Нгуен (2024). «О контрпримерах к гипотезе Мертенса» (PDF) .
9. Нг, Натан (2004). «Распределение суммирующей функции функции Мёбиуса» (PDF) .
10. Коэн, Х. и Дресс, Ф. 1979. «Calcul numérique de Mx)» 11–13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I'ATP A12311 ≪ Informatique 1975 ≫
11. Кузнецов, Евгений (2011). «Вычисление функции Мертенса на GPU». arXiv : 1108.0135 [math.NT].
12. Котник и те Риеле (2006).

Дальнейшее чтение

• Котник, Тадей; те Риле, Герман (2006). "The Mertens Conjecture Revisited". В Hess, Florian (ред.). Алгоритмическая теория чисел. 7-й международный симпозиум, ANTS-VII, Берлин, Германия, 23-28 июля 2006 г. Труды . Конспект лекций по информатике. Том 4076. Берлин: Springer-Verlag . С. 156–167. doi :10.1007/11792086_12. ISBN 3-540-36075-1. Збл  1143.11345.
• Котник, Т.; ван де Лун, Дж. (2004). «О порядке функции Мертенса» (PDF) . Экспериментальная математика . 13 (4): 473–481. doi :10.1080/10586458.2004.10504556. S2CID  2093469. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-04-03.
• Мертенс, Ф. (1897). «Über eine zahlentheoretische Funktion». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematich-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a . 106 : 761–830.
• Одлизко, А.М. ; te Riele, HJJ (1985), «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138–160, doi : 10.1515/crll.1985.357.138, ISSN  0075-4102 , МР  0783538, S2CID  13016831, Збл  0544.10047
• Пинц, Дж. (1987). «Эффективное опровержение гипотезы Мертенса» (PDF) . Астериск . 147–148: 325–333. Збл  0623.10031.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I , Дордрехт: Springer-Verlag , стр. 187–189, ISBN 1-4020-4215-9, Збл  1151.11300
• Стилтьес, Т.Дж. (1905), «Письмо отшельника от 11 июля 1885 года, Письмо № 79», в Байо, Б.; Бурже, Х. (ред.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes , Париж: Готье-Виллар, стр. 160–164.

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Мертенса». Математический мир .

Внешние ссылки

• «Главный сюрприз (гипотеза Мертенса)». Numberphile . 23 января 2020 г. Архивировано из оригинала 21.12.2021 – через YouTube .