Измерение расстояния

Определения расстояния между двумя объектами или событиями во Вселенной

Меры расстояния используются в физической космологии для того, чтобы дать естественное представление о расстоянии между двумя объектами или событиями во Вселенной . Они часто используются для привязки некоторой наблюдаемой величины (например, светимости далекого квазара , красного смещения далекой галактики или углового размера акустических пиков в спектре мощности космического микроволнового фона (CMB)) к другой величине, которая не наблюдается напрямую , но более удобна для вычислений (например, сопутствующие координаты квазара, галактики и т. д.). Все обсуждаемые здесь меры расстояния сводятся к общему понятию евклидова расстояния при малом красном смещении.

В соответствии с нашим современным пониманием космологии эти меры вычисляются в контексте общей теории относительности , где для описания Вселенной используется решение Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера .

Обзор

В космологии существует несколько различных определений «расстояния», которые все асимптотически соответствуют друг другу для малых красных смещений . Выражения для этих расстояний наиболее практичны, когда записаны как функции красного смещения , поскольку красное смещение всегда является наблюдаемым. Их также можно записать как функции масштабного фактора ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a=1/(1+z).}$

В оставшейся части статьи предполагается, что пекулярная скорость незначительна, если не указано иное.

Сначала мы приводим формулы для нескольких мер расстояния, а затем более подробно описываем их ниже. Определяя «расстояние Хаббла» как где — скорость света , — параметр Хаббла сегодня, а h — безразмерная постоянная Хаббла , все расстояния асимптотически соответствуют для малых z . $${\displaystyle d_{H}={\frac {c}{H_{0}}}\approx 3000h^{-1}{\text{Mpc}}\approx 9.26\cdot 10^{25}h^{-1}{\text{m}}}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle z\cdot d_{H}}$

Согласно уравнениям Фридмана , мы также определяем безразмерный параметр Хаббла : ^[1] $${\displaystyle E(z)={\frac {H(z)}{H_{0}}}={\sqrt {\Omega _{r}(1+z)^{4}+\Omega _{m}(1+z)^{3}+\Omega _{k}(1+z)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}}$$

Здесь и являются нормированными значениями текущей плотности энергии излучения, плотности материи и « плотности темной энергии » соответственно (последняя представляет собой космологическую постоянную ), и определяет кривизну. Параметр Хаббла при заданном красном смещении тогда равен . ${\displaystyle \Omega _{r},\Omega _{m},}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \Omega _{k}=1-\Omega _{r}-\Omega _{m}-\Omega _{\Lambda }}$ ${\displaystyle H(z)=H_{0}E(z)}$

Формула для сопутствующего расстояния, которая служит основой для большинства других формул, включает интеграл . Хотя для некоторых ограниченных наборов параметров (см. ниже) сопутствующий интеграл расстояния имеет замкнутую аналитическую форму, в общем случае — и в частности для параметров нашей Вселенной — мы можем найти решение только численно . Космологи обычно используют следующие меры для расстояний от наблюдателя до объекта при красном смещении вдоль линии визирования (LOS): ^[2] ${\displaystyle z}$

• Расстояние сопутствующего перемещения: $${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{E(z')}}}$$
• Поперечное сопутствующее расстояние: $${\displaystyle d_{M}(z)={\begin{cases}{\frac {d_{H}}{\sqrt {\Omega _{k}}}}\sinh \left({\frac {{\sqrt {\Omega _{k}}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}>0\\d_{C}(z)&\Omega _{k}=0\\{\frac {d_{H}}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}}\sin \left({\frac {{\sqrt {|\Omega _{k}|}}d_{C}(z)}{d_{H}}}\right)&\Omega _{k}<0\end{cases}}}$$
• Расстояние углового диаметра: $${\displaystyle d_{A}(z)={\frac {d_{M}(z)}{1+z}}}$$
• Расстояние светимости: $${\displaystyle d_{L}(z)=(1+z)d_{M}(z)}$$
• Расстояние распространения света: $${\displaystyle d_{T}(z)=d_{H}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{(1+z')E(z')}}}$$

Сравнение космологических мер расстояния от красного смещения 0 до красного смещения 0,5. Фоновая космология — параметр Хаббла 72 км/с/Мпк, , , , и выбрана так, чтобы сумма параметров Омега была 1. Эдвин Хаббл использовал галактики до красного смещения чуть более 0,003 ( Мессье 60 ). ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.732}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {matter}}=0.266}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {radiation}}=0.266/3454}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

Сравнение космологических мер расстояния от красного смещения ноль до красного смещения 10 000, что соответствует эпохе равенства материи и излучения. Фоновая космология — параметр Хаббла 72 км/с/Мпк, , , , и выбрана так, чтобы сумма параметров Омега была равна единице. ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.732}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {matter}}=0.266}$ ${\displaystyle \Omega _{\rm {radiation}}=0.266/3454}$ ${\displaystyle \Omega _{k}}$

Альтернативная терминология

Пиблз называет поперечное сопутствующее расстояние «расстоянием углового размера», которое не следует путать с расстоянием углового диаметра. ^[1] Иногда символы или используются для обозначения как сопутствующего, так и углового расстояния диаметра. Иногда расстояние распространения света также называют «расстоянием обратного взгляда» и/или «временем обратного взгляда». ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$

Подробности

Необычная скорость

В реальных наблюдениях движение Земли относительно потока Хаббла оказывает влияние на наблюдаемое красное смещение. ^{[ необходима ссылка ]}

На самом деле существует два понятия красного смещения. Одно из них — красное смещение, которое наблюдалось бы, если бы и Земля, и объект не двигались относительно «сопутствующего» окружения ( потока Хаббла ), определяемого космическим микроволновым фоном. Другое — фактическое измеренное красное смещение, которое зависит как от пекулярной скорости наблюдаемого объекта, так и от его пекулярной скорости. Поскольку Солнечная система движется со скоростью около 370 км/с в направлении между Львом и Кратером , оно уменьшается для удаленных объектов в этом направлении примерно в 1,0012 раза и увеличивается в том же размере для удаленных объектов в противоположном направлении. (Скорость движения Земли вокруг Солнца составляет всего 30 км/с.) ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle 1+z}$

Расстояние сопутствующего перемещения

Сопутствующее расстояние между фундаментальными наблюдателями, то есть наблюдателями, которые оба движутся с потоком Хаббла , не меняется со временем, поскольку сопутствующее расстояние учитывает расширение Вселенной. Сопутствующее расстояние получается путем интегрирования собственных расстояний близлежащих фундаментальных наблюдателей вдоль линии зрения ( LOS ), тогда как собственное расстояние — это то, что дало бы измерение при постоянном космическом времени. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle d_{C}}$

В стандартной космологии сопутствующее расстояние и собственное расстояние — это две тесно связанные меры расстояния, используемые космологами для измерения расстояний между объектами; сопутствующее расстояние — это собственное расстояние в настоящее время. ^{[ необходима ссылка ]}

Сопутствующее расстояние (с небольшой поправкой на наше собственное движение) — это расстояние, которое можно получить из параллакса, поскольку параллакс в градусах равен отношению астрономической единицы к длине окружности, проходящей в настоящее время через Солнце и центрированной на удаленном объекте, умноженному на 360°. Однако объекты за пределами мегапарсека имеют параллакс, слишком малый для измерения ( космический телескоп Gaia измеряет параллакс самых ярких звезд с точностью до 7 микросекунд дуги), поэтому параллакс галактик за пределами нашей Местной группы слишком мал для измерения.

Существует замкнутое выражение для интеграла в определении сопутствующего расстояния, если или, заменив масштабный коэффициент на , если . Наша вселенная теперь, по-видимому, близко представлена ​​В этом случае мы имеем: где ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/(1+z)}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{k}=0.}$ $${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\Omega _{m}^{-1/3}\Omega _{\Lambda }^{-1/6}[f((1+z)(\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})-f((\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})]}$$ $${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {x^{3}+1}}}}$$

Расстояние сопутствующего движения следует рассчитывать с использованием значения z , которое имело бы место, если бы ни объект, ни мы не имели пекулярной скорости.

Вместе с масштабным коэффициентом он дает правильное расстояние до объекта, когда свет, который мы видим сейчас, был испущен им и отправился в путь к нам: $${\displaystyle d=ad_{C}}$$

Правильное расстояние

Правильное расстояние примерно соответствует тому, где будет находиться удаленный объект в определенный момент космологического времени , которое может меняться со временем из-за расширения Вселенной . Сопутствующее расстояние исключает расширение Вселенной, что дает расстояние, которое не меняется со временем из-за расширения пространства (хотя это может измениться из-за других, локальных факторов, таких как движение галактики внутри скопления); сопутствующее расстояние является правильным расстоянием в настоящее время. ^{[ необходима цитата ]}

Поперечное сопутствующее расстояние

Говорят, что два сопутствующих объекта с постоянным красным смещением , разделенные углом на небе, находятся на расстоянии , где поперечное сопутствующее расстояние определено соответствующим образом. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta \theta }$ ${\displaystyle \delta \theta d_{M}(z)}$ ${\displaystyle d_{M}}$

Расстояние углового диаметра

Объект размером при красном смещении , который, по-видимому, имеет угловой размер, имеет угловой диаметр, равный . Это обычно используется для наблюдения за так называемыми стандартными линейками , например, в контексте барионных акустических колебаний . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta \theta }$ ${\displaystyle d_{A}(z)=x/\delta \theta }$

При учете пекулярной скорости Земли следует использовать красное смещение, которое имело бы место в этом случае, но с поправкой на движение Солнечной системы на коэффициент от 0,99867 до 1,00133 в зависимости от направления. (Если начать двигаться со скоростью v по направлению к объекту, на любом расстоянии угловой диаметр этого объекта уменьшится в коэффициент ) ${\displaystyle d_{A}}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}}.}$

Расстояние светимости

Если известна собственная светимость удаленного объекта, мы можем вычислить его светимость, измерив поток и определив , что оказывается эквивалентным выражению выше для . Эта величина важна для измерений стандартных свечей, таких как сверхновые типа Ia , которые впервые были использованы для обнаружения ускорения расширения Вселенной . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle d_{L}(z)={\sqrt {L/4\pi S}}}$ ${\displaystyle d_{L}(z)}$

При учете пекулярной скорости Земли следует использовать красное смещение, которое имело бы место в этом случае, но фактор должен использовать измеренное красное смещение, и следует сделать еще одну поправку для пекулярной скорости объекта путем умножения на , где теперь v — компонент пекулярной скорости объекта вдали от нас. Таким образом, расстояние светимости будет равно расстоянию углового диаметра, умноженному на , где z — измеренное красное смещение, в соответствии с теоремой взаимности Этерингтона (см. ниже). ${\displaystyle d_{M},}$ ${\displaystyle (1+z)}$ ${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}},}$ ${\displaystyle (1+z)^{2},}$

Расстояние распространения света

(также известное как «время оглядывания назад» или «расстояние оглядывания назад») ^[3]

Это расстояние — это время, которое потребовалось свету, чтобы достичь наблюдателя от объекта, умноженное на скорость света . Например, радиус наблюдаемой Вселенной в этой мере расстояния становится возрастом Вселенной, умноженным на скорость света (1 световой год/год), что оказывается приблизительно 13,8 миллиарда световых лет. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle d_{T}}$

Существует замкнутое решение для расстояния распространения света, если включающее обратные гиперболические функции или (или включающее обратные тригонометрические функции , если космологическая постоянная имеет другой знак). Если то существует замкнутое решение для , но не для ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$ ${\displaystyle {\text{arcosh}}}$ ${\displaystyle {\text{arsinh}}}$ ${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{\Lambda }=0}$ ${\displaystyle d_{T}(z)}$ ${\displaystyle z(d_{T}).}$

Обратите внимание, что сопутствующее расстояние восстанавливается из поперечного сопутствующего расстояния путем взятия предела , так что две меры расстояния эквивалентны в плоской Вселенной . ${\displaystyle \Omega _{k}\to 0}$

Существуют веб-сайты для расчета расстояния распространения света по красному смещению. ^{[4] [5] [6] [7]}

Тогда возраст Вселенной становится равным , а время, прошедшее с момента красного смещения до настоящего момента, равно: ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }d_{T}(z)/c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t(z)=d_{T}(z)/c.}$

Двойственность расстояний Этерингтона

Уравнение двойственности расстояний Этерингтона ^[8] представляет собой соотношение между расстоянием светимости стандартных свечей и расстоянием углового диаметра. Оно выражается следующим образом: ${\displaystyle d_{L}=(1+z)^{2}d_{A}}$

Смотрите также

• Космический портал

• Большой взрыв
• Сопутствующее перемещение и соблюдение дистанции
• Уравнения Фридмана
• Парсек
• Физическая космология
• Лестница космических расстояний
• Метрика Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера
• Субатомный масштаб

Ссылки

1. Peebles, PJE (1993). Принципы физической космологии . Princeton University Press . стр. 310–320. Bibcode :1993ppc..book.....P. ISBN 978-0-691-01933-8.
2. Дэвид В. Хогг (2000). «Меры расстояния в космологии». arXiv : astro-ph/9905116v4 .
3. Сотрудники (2022). "Калькулятор космологии". Международный центр радиоастрономических исследований . Получено 4 августа 2022 г.
4. Сотрудники (2015). "UCLA Cosmological Calculator". UCLA . Получено 6 августа 2022 .Расстояние прохождения света было рассчитано на основе значения красного смещения с использованием космологического калькулятора Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе со значениями параметров по состоянию на 2015 год: H ₀ =67,74 и Omega _M =0,3089 (см. таблицу/Planck2015 в разделе « Модель Lambda-CDM#Параметры »).
5. Сотрудники (2018). "UCLA Cosmological Calculator". UCLA . Получено 6 августа 2022 .Расстояние прохождения света было рассчитано на основе значения красного смещения с использованием космологического калькулятора Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе со значениями параметров по состоянию на 2018 год: H ₀ =67,4 и Omega _M =0,315 (см. таблицу/Planck2018 в разделе « Модель Lambda-CDM#Параметры »).
6. Сотрудники (2022). "ICRAR Cosmology Calculator". Международный центр радиоастрономических исследований . Получено 6 августа 2022 г.Калькулятор космологии ICRAR - установите H ₀ =67,4 и Omega _M =0,315 (см. таблицу/Planck2018 в разделе « Модель Lambda-CDM#Параметры »)
7. Кемпнер, Джошуа (2022). «Калькулятор космологии КЕМПНЕРА». Kempner.net . Получено 6 августа 2022 г. .Космологический калькулятор KEMP — установите H ₀ =67,4, Omega _M =0,315 и Omega _Λ =0,6847 (см. таблицу/Planck2018 в разделе « Модель Lambda-CDM#Параметры »)
8. IMH Etherington, «LX. Об определении расстояния в общей теории относительности», Philosophical Magazine, т. 15, с. 7 (1933), стр. 761-773.

• Скотт Додельсон, Современная космология. Academic Press (2003).

Внешние ссылки

• «Шкала расстояний Вселенной» сравнивает различные космологические меры расстояний.
• В разделе «Меры расстояния в космологии» подробно объясняется, как рассчитать различные меры расстояния в зависимости от модели мира и красного смещения.
• iCosmos: космологический калькулятор (с генерацией графиков) вычисляет различные меры расстояния как функцию космологической модели и красного смещения и создает графики для модели от красного смещения 0 до 20.