Мера Синая – Рюэля – Боуэна

Инвариантная мера, демонстрирующая менее ограниченную форму эргодичности.

В математической дисциплине эргодической теории мера Синая -Рюэля-Боуэна (SRB) является инвариантной мерой , которая ведет себя аналогично эргодической мере, но не является ею . Чтобы быть эргодичным, среднее по времени должно быть равно среднему по пространству почти для всех начальных состояний , при этом являясь фазовым пространством . ^[1] Для меры SRB достаточно, чтобы условие эргодичности было выполнено для начальных состояний в множестве положительной меры Лебега . ^[2] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B(\mu )}$

Первоначальные идеи, относящиеся к мерам SRB, были введены Яковом Синаем , Дэвидом Рюэлем и Руфусом Боуэном в менее общей области диффеоморфизмов Аносова и аксиомных аттракторов . ^{[3] [4] [5]}

Определение

Пусть будет карта . Тогда мера, определенная на, является мерой SRB , если существует положительная мера Лебега с той же мерой Лебега, такая что: ^{[2] [6]} ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle V\subset U}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}\varphi (T^{i}x)=\int _{U}\varphi \,d\mu }$

для каждой непрерывной функции . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Можно рассматривать меру SRB как меру, которая удовлетворяет выводам эргодической теоремы Биркгофа на меньшем наборе, содержащемся в . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Наличие мер СРБ

Следующая теорема устанавливает достаточные условия существования SRB-мер. В нем рассматривается случай аттракторов Аксиомы А, который проще, но несколько раз распространялся на более общие сценарии. ^[7]

Теорема 1: ^[7] Пусть – диффеоморфизм с аттрактором аксиомы A . Предположим, что этот аттрактор неприводим , т. е. не является объединением двух других множеств, также инвариантных относительно . Тогда существует единственная борелевская мера с , ^[a] характеризующаяся следующими эквивалентными утверждениями: ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=1}$

1. ${\displaystyle \mu }$является мерой SRB;
2. ${\displaystyle \mu }$имеет абсолютно непрерывные меры, обусловленные неустойчивым многообразием и его подмногообразиями;
3. ${\displaystyle h(T)=\int \log {{\bigl |}\det(DT)|_{E^{u}}{\bigr |}}\,d\mu }$, где – энтропия Колмогорова–Синая , – неустойчивое многообразие, – дифференциальный оператор . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E^{u}}$ ${\displaystyle D}$

Также в этих условиях существует динамическая система, сохраняющая меру . ${\displaystyle \left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)}$

Также было доказано, что сказанное выше эквивалентно утверждению, что это равносильно предельному стационарному распределению с нулевым шумом цепи Маркова с состояниями . ^[8] То есть учтите, что с каждой точкой связана вероятность перехода с уровнем шума , который измеряет степень неопределенности следующего состояния таким образом, что: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T^{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)=\delta _{Tx}(\cdot ),}$

где мера Дирака . Предел нулевого шума — это стационарное распределение этой цепи Маркова, когда уровень шума приближается к нулю. Важность этого состоит в том, что математически оно утверждает, что мера SRB является «хорошим» приближением к практическим случаям, когда существует небольшое количество шума, ^[8] , хотя ничего нельзя сказать о допустимом количестве шума. ${\displaystyle \delta }$

Смотрите также

• Квазиинвариантная мера
• Теорема Крылова–Боголюбова.
• Мера Гиббса

Примечания

1. Если он не интегрируется ни в одну, таких мер будет бесконечное количество, каждая из которых равна другой, за исключением мультипликативной константы.

Рекомендации

1. Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Спрингер.
2. Бонатти, К.; Виана, М. (2000). «Меры SRB для частично гиперболических систем, центральное направление которых в основном сужается». Израильский математический журнал . 115 (1): 157–193. дои : 10.1007/BF02810585 . S2CID  10139213.
3. Боуэн, Роберт Эдвард (1975). «Эргодическая теория диффеоморфизмов аксиомы А». Состояния равновесия и эргодическая теория диффеоморфизмов Аносова . Конспект лекций по математике. Том. 470. Спрингер. стр. 63–76. дои : 10.1007/978-3-540-77695-6_4 .
4. Рюэль, Дэвид (1976). «Мера, связанная с аттракторами аксиомы А». Американский журнал математики . 98 (3): 619–654. дои : 10.2307/2373810. JSTOR  2373810.
5. Синай, Яков Г. (1972). «Меры Гиббса в эргодической теории». Российские математические обзоры . 27 (4): 21–69. doi : 10.1070/RM1972v027n04ABEH001383.
6. Мецгер, Р.Дж. (2000). «Меры Синая – Рюэля – Боуэна для сжатия карт и потоков Лоренца». Анналы Института Анри Пуанкаре С. 17 (2): 247–276. Бибкод : 2000AIHPC..17..247M. дои : 10.1016/S0294-1449(00)00111-6 .
7. Янг, LS (2002). «Что такое меры SRB и какие динамические системы ими обладают?». Журнал статистической физики . 108 (5–6): 733–754. дои : 10.1023/А: 1019762724717. S2CID  14403405.
8. Коуисон, В.; Янг, Л.С. (2005). «SRB измеряет пределы нулевого шума». Эргодическая теория и динамические системы . 25 (4): 1115–1138. дои : 10.1017/S0143385704000604. S2CID  15640353.