Метод проекции (гидродинамика)

Метод численного решения нестационарных задач о движении несжимаемой жидкости

В вычислительной гидродинамике метод проекции , также называемый методом проекции Хорина , является эффективным средством численного решения зависящих от времени задач о движении несжимаемой жидкости . Первоначально он был введен Александром Шореном в 1967 году ^{[1] [2]} как эффективное средство решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости . Ключевое преимущество проекционного метода состоит в том, что вычисления полей скорости и давления разделены.

Алгоритм

Алгоритм проекционного метода основан на разложении Гельмгольца (иногда называемом разложением Гельмгольца-Ходжа) любого векторного поля на соленоидальную часть и безвихревую часть. Обычно алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе на каждом временном шаге вычисляется промежуточная скорость, не удовлетворяющая ограничению несжимаемости. Во втором случае давление используется для проецирования промежуточной скорости на пространство бездивергентного поля скоростей, чтобы получить следующее обновление скорости и давления.

Разложение Гельмгольца – Ходжа

Теоретической основой метода проекционного типа является теорема Ладыженской о разложении , которую иногда называют разложением Гельмгольца – Ходжа или просто разложением Ходжа. В нем говорится, что векторное поле , определенное в односвязной области, можно однозначно разложить на бездивергентную ( соленоидальную ) часть и безвихревую часть . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{sol}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{irrot}}}$

Таким образом,

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{sol}}+\mathbf {u} _{\text{irrot}}=\mathbf {u} _{\text{sol}}+\nabla \phi }$

поскольку для некоторой скалярной функции . Взяв расхождение уравнений, получим ${\displaystyle \nabla \times \nabla \phi =0}$ ${\displaystyle \,\phi }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla ^{2}\phi \qquad ({\text{since,}}\;\nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{sol}}=0)}$

Это уравнение Пуассона для скалярной функции . Если векторное поле известно, приведенное выше уравнение можно решить для скалярной функции и выделить бездивергентную часть с помощью соотношения ${\displaystyle \,\phi }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \,\phi }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{sol}}=\mathbf {u} -\nabla \phi }$

В этом суть метода соленоидальной проекции для решения уравнений Навье–Стокса для несжимаемой жидкости.

Проекционный метод Хорина

Уравнение Навье-Стокса несжимаемой жидкости (дифференциальная форма уравнения количества движения) можно записать как

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

В оригинальной версии метода проекции Хорина сначала вычисляется промежуточная скорость, явно используя уравнение количества движения, игнорируя член градиента давления: ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$

${\displaystyle \quad (1)\qquad {\frac {\mathbf {u} ^{*}-\mathbf {u} ^{n}}{\Delta t}}=-(\mathbf {u} ^{n}\cdot \nabla )\mathbf {u} ^{n}+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} ^{n}}$

где - скорость на ^этом временном шаге. Во второй половине алгоритма, шаге проецирования , мы корректируем промежуточную скорость, чтобы получить окончательное решение временного шага : ${\displaystyle \mathbf {u} ^{n}}$ ${\displaystyle \,n}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{n+1}}$

${\displaystyle \quad (2)\qquad \mathbf {u} ^{n+1}=\mathbf {u} ^{*}-{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

Это уравнение можно переписать в виде шага по времени как

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u} ^{n+1}-\mathbf {u} ^{*}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

чтобы прояснить, что алгоритм на самом деле представляет собой просто подход к разделению операторов , при котором силы вязкости (на первом полушаге) и силы давления (на втором полушаге) рассматриваются отдельно.

Вычисление правой части второго полушага требует знания давления , на уровне времени. Это получается путем взятия дивергенции и требования , что является условием дивергенции (непрерывности), тем самым выводя следующее уравнение Пуассона для , ${\displaystyle \,p}$ ${\displaystyle \,(n+1)}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}=0}$ ${\displaystyle \,p^{n+1}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}p^{n+1}={\frac {\rho }{\Delta t}}\,\nabla \cdot \mathbf {u} ^{*}}$

Поучительно отметить, что уравнение, записанное в виде

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}=\mathbf {u} ^{n+1}+{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

является стандартным разложением Ходжа, если граничные условия для на границе области равны . На практике это условие отвечает за ошибки, которые этот метод показывает вблизи границы области, поскольку реальное давление (т.е. давление в точном решении уравнений Навье-Стокса) не удовлетворяет таким граничным условиям. ${\displaystyle \,p}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \nabla p^{n+1}\cdot \mathbf {n} =0}$

Для явного метода граничное условие для в уравнении (1) является естественным. Если на , задано, то пространство бездивергентных векторных полей будет ортогонально пространству безвихревых векторных полей, и из уравнения (2) имеем ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial p^{n+1}}{\partial n}}=0\qquad {\text{on}}\quad \partial \Omega }$

Явную обработку граничных условий можно обойти, используя шахматную сетку и требуя, чтобы она обращалась в нуль в узлах давления, прилегающих к границам. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}}$

Отличительной особенностью метода проекции Чорина является то, что поле скорости вынуждено удовлетворять дискретному ограничению непрерывности в конце каждого временного шага.

Общий метод

Обычно метод проекции работает как двухэтапная схема дробных шагов, метод, который использует несколько шагов расчета для каждого числового временного шага. Во многих алгоритмах проецирования этапы разделены следующим образом:

1. Сначала система перемещается во времени к положению среднего временного шага, решая приведенные выше уравнения переноса массы и импульса с использованием подходящего метода адвекции. Это называется шагом прогнозирования .
2. На этом этапе может быть реализована первоначальная проекция, при которой поле скоростей среднего временного шага будет считаться свободным от дивергенций.
3. Затем выполняется корректирующая часть алгоритма. Они используют временные оценки скорости, плотности и т. д. для формирования окончательного состояния временного шага.
4. Затем применяется окончательная проекция для обеспечения ограничения дивергенции поля скорости. Сейчас система полностью обновлена ​​под новое время.

Рекомендации

1. Хорин, AJ (1967), «Численное решение уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости» (PDF) , Bull. Являюсь. Математика. Соц. , 73 (6): 928–931, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1967-11853-6.
2. Хорин, AJ (1968), «Численное решение уравнений Навье-Стокса», Math. Комп. , 22 (104): 745–762, doi : 10.1090/s0025-5718-1968-0242392-2
3. Хорин, AJ; Дж. Э. Марсден (1993). Математическое введение в механику жидкости (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-97918-2.