Приближение стационарной фазы

Асимптотический анализ, используемый при интегрировании быстро меняющихся комплексных экспонент

В математике приближение стационарной фазы является основным принципом асимптотического анализа , применяемым к функциям, заданным интегрированием по быстро меняющейся комплексной экспоненте.

Этот метод возник в 19 веке и принадлежит Джорджу Габриэлю Стоксу и лорду Кельвину . ^[1] Он тесно связан с методом Лапласа и методом наискорейшего спуска , но вклад Лапласа предшествует остальным.

Основы

Основная идея методов стационарной фазы основана на отмене синусоид с быстро меняющейся фазой. Если много синусоид имеют одинаковую фазу и их складывают вместе, они будут складываться конструктивно. Если, однако, эти же самые синусоиды имеют фазы, которые быстро меняются с изменением частоты, они будут складываться некогерентно, варьируясь между конструктивным и деструктивным сложением в разное время ^{[ необходимо разъяснение ]} .

Формула

Обозначив множество критических точек функции (т.е. точек, где ), при условии, что либо имеет компактный носитель, либо имеет экспоненциальный убыль, и что все критические точки невырождены (т.е. для ), мы имеем следующую асимптотическую формулу, как : ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \det(\mathrm {Hess} (f(x_{0})))\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}\in \Sigma }$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})}$

Здесь обозначает гессиан , а обозначает сигнатуру гессиана, т.е. число положительных собственных значений минус число отрицательных собственных значений. ${\displaystyle \mathrm {Hess} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))}$

Для это сводится к: ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})}$

В этом случае предположения сводятся к тому, что все критические точки невырождены. ${\displaystyle f}$

Это просто повернутая по Уику версия формулы для метода наискорейшего спуска .

Пример

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }$.

Фазовый член в этой функции, , является стационарным, когда ${\displaystyle \phi =k(\omega )x-\omega t}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}}$.

Решения этого уравнения дают доминирующие частоты для некоторых и . Если мы разложим в ряд Тейлора по и пренебрежем членами порядка выше , то получим ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{0})^{2}}$

${\displaystyle \phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots }$

где обозначает вторую производную от . Когда относительно велико, даже небольшая разница будет генерировать быстрые колебания внутри интеграла, что приведет к сокращению. Поэтому мы можем расширить пределы интегрирования за пределы разложения Тейлора. Если мы используем формулу, ${\displaystyle k''}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{0})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}}$.

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega }$.

Это интегрируется в

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}$.

Ступени сокращения

Первое важное общее утверждение принципа заключается в том, что асимптотическое поведение I ( k ) зависит только от критических точек f . Если путем выбора g интеграл локализуется в области пространства, где f не имеет критической точки, то полученный интеграл стремится к 0, когда частота колебаний стремится к бесконечности. См., например, лемму Римана–Лебега .

Второе утверждение заключается в том, что когда f является функцией Морса, так что особые точки f невырождены и изолированы , то вопрос можно свести к случаю n = 1. Фактически, тогда можно сделать выбор g , чтобы разбить интеграл на случаи с одной критической точкой P в каждом. В этой точке, поскольку определитель Гессе в P по предположению не равен 0, применяется лемма Морса . С помощью замены координат f можно заменить на

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{j}^{2})-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}$.

Значение j задается сигнатурой матрицы Гессе f в точке P. Что касается g , существенным случаем является то, что g является произведением функций выпуклости x _i . Предполагая теперь без потери общности, что P является началом координат, возьмем гладкую функцию выпуклости h со значением 1 на интервале [−1, 1] и быстро стремящуюся к 0 за его пределами. Возьмем

${\displaystyle g(x)=\prod _{i}h(x_{i})}$,

тогда теорема Фубини сводит I ( k ) к произведению интегралов по действительной прямой, например

${\displaystyle J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

с f ( x ) = ± x ² . Случай со знаком минус является комплексно сопряженным случаю со знаком плюс, поэтому по сути существует одна требуемая асимптотическая оценка.

Таким образом, асимптотика может быть найдена для осциллирующих интегралов для функций Морса. Вырожденный случай требует дополнительных методов (см., например, функцию Эйри ).

Одномерный случай

Основное утверждение таково:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}}$.

Фактически, с помощью контурной интеграции можно показать, что главный член в правой части уравнения представляет собой значение интеграла в левой части, распространенное на диапазон (для доказательства см. интеграл Френеля ). Поэтому возникает вопрос оценки интеграла по, скажем, . ^[2] ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$

Это модель для всех одномерных интегралов с единственной невырожденной критической точкой, в которой имеет вторую производную . Фактически, модельный случай имеет вторую производную 2 в 0. Чтобы масштабировать с помощью , заметьте, что замена на , где константа — это то же самое, что и масштабирование на . Из этого следует, что для общих значений множитель становится ${\displaystyle I(k)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ck}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ ${\displaystyle f''(0)>0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi /k}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{kf''(0)}}}}$.

Для этого используется формула комплексного сопряжения, как упоминалось ранее. ${\displaystyle f''(0)<0}$

Члены низшего порядка

Как видно из формулы, приближение стационарной фазы является приближением первого порядка асимптотического поведения интеграла. Члены низшего порядка можно понимать как сумму по диаграммам Фейнмана с различными весовыми коэффициентами, для хорошо себя ведущих . ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Общие интегралы в квантовой теории поля
• Метод Лапласа
• Метод наискорейшего спуска

Примечания

1. Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики , т. 1 (2-е пересмотренное издание), Нью-Йорк: Interscience Publishers, стр. 474, OCLC  505700
2. См., например, Жан Дьедонне , Infinitesimal Calculus , p. 119 или Жан Дьедонне , Calcul Infinitésimal , стр.135.

Ссылки

• Блейштейн, Н. и Хандельсман, Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Довер, Нью-Йорк.
• Виктор Гийемен и Шломо Штернберг (1990), Геометрическая асимптотика (см. Главу 1).
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными, Том 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Аки, Кейти; и Ричардс, Пол Г. (2002). «Количественная сейсмология» (2-е изд.), стр. 255–256. Университетские научные книги, ISBN 0-935702-96-2 
• Вонг, Р. (2001), Асимптотические приближения интегралов , Классика прикладной математики, т. 34. Исправленное переиздание оригинала 1989 года. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания. xviii+543 страницы, ISBN 0-89871-497-4 . 
• Дьедонне, Ж. (1980), Calcul Infinitésimal , Герман, Париж

Внешние ссылки

• «Стационарная фаза, метод», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]