Число Милнора

Инвариант, играющий роль в алгебраической геометрии и теории особенностей

В математике, и в частности в теории особенностей , число Милнора , названное в честь Джона Милнора , является инвариантом ростка функции .

Если f — комплекснозначный голоморфный функциональный росток, то число Милнора функции f , обозначаемое μ ( f ), является либо неотрицательным целым числом , либо бесконечным . Его можно считать как геометрическим инвариантом , так и алгебраическим инвариантом. Вот почему оно играет важную роль в алгебраической геометрии и теории особенностей .

Алгебраическое определение

Рассмотрим голоморфный комплексный функциональный росток

${\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ }$

и обозначим через кольцо всех ростков функций . Каждый уровень функции является комплексной гиперповерхностью в , поэтому называется особенностью гиперповерхности . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

Предположим, что это изолированная сингулярность : в случае голоморфных отображений говорят, что гиперповерхностная сингулярность является сингулярной в , если ее градиент равен нулю в , и говорят, что это изолированная сингулярная точка, если она является единственной сингулярной точкой в ​​достаточно малой окрестности . В частности, кратность градиента ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f}$

конечно по применению Nullstellensatz Рюккерта . Это число является числом Милнора сингулярности в . ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

Обратите внимание, что кратность градиента конечна тогда и только тогда, когда начало координат является изолированной критической точкой функции f .

Геометрическая интерпретация

Первоначально Милнор ^[1] ввел в геометрических терминах следующим образом. Все слои для значений, близких к , являются неособыми многообразиями вещественной размерности . Их пересечение с небольшим открытым диском с центром в является гладким многообразием, называемым слоем Милнора. С точностью до диффеоморфизма не зависит от или , если они достаточно малы. Он также диффеоморфен слою отображения расслоения Милнора . ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2(n-1)}$ ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Волокно Милнора является гладким многообразием размерности и имеет тот же гомотопический тип , что и букет сфер . Это означает, что его среднее число Бетти равно числу Милнора и оно имеет гомологию точки в размерности, меньшей . Например, комплексная плоская кривая вблизи каждой особой точки имеет свое волокно Милнора, гомотопное клину из окружностей (число Милнора является локальным свойством, поэтому оно может иметь разные значения в разных особых точках). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2(n-1)}$ ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle b_{n-1}(F)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{z_{0}}(f)}$

Таким образом, справедливы следующие равенства:

Число Милнора = число сфер в клине = середина Число Бетти = степень отображения на = кратность градиента ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}}$ ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \nabla f}$

Другой способ рассмотрения числа Милнора — это возмущение . Говорят, что точка является вырожденной особой точкой, или что f имеет вырожденную особенность, в , если является особой точкой и матрица Гессе всех частных производных второго порядка имеет нулевой определитель в : ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.}$

Предполагается, что f имеет вырожденную особенность в точке 0. Кратность этой вырожденной особенности можно рассмотреть, подумав о том, сколько точек склеено бесконечно мало . Если изображение f теперь возмущено определенным стабильным образом, то изолированная вырожденная особенность в точке 0 распадется на другие изолированные особенности, которые невырождены. Число таких изолированных невырожденных особенностей будет равно числу точек, которые были склеены бесконечно мало.

Точнее, берётся другая функция germ g , которая не является вырожденной в начале координат, и рассматривается как новая функция germ h := f + εg, где ε очень мало. Когда ε = 0, то h = f . Функция h называется морсификацией f . Очень сложно вычислить сингулярности h , и, действительно, это может быть вычислительно невозможно. Это число точек, которые были склеены бесконечно мало , эта локальная кратность f , в точности является числом Милнора для f .

Дальнейшие работы ^[2] придают смысл числу Милнора в терминах размерности пространства версальных деформаций , т.е. число Милнора является минимальной размерностью пространства параметров деформаций, несущих всю информацию об исходной сингулярности.

Примеры

Ниже приведены некоторые рабочие примеры полиномов от двух переменных. Работа только с одной переменной слишком проста и не дает соответствующей иллюстрации методов, тогда как работа с тремя переменными может быть обременительной. Обратите внимание, что если f является только голоморфным , а не полиномом, то можно использовать разложение f в степенной ряд .

1

Рассмотрим росток функции с невырожденной особенностью в 0, скажем . Идеал Якобиана — это просто . Вычисление локальной алгебры: ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .}$

Лемма Адамара , которая гласит, что любую функцию можно записать в виде ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)}$

для некоторой константы k и функций и в (где один или оба могут быть точно равны нулю), оправдывает это. Таким образом, по модулю функциональных множителей x и y , функция h может быть записана как константа. Пространство константных функций охватывается 1, следовательно ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle }$

Отсюда следует, что μ ( f ) = 1. Легко проверить, что для любого ростка функции g с невырожденной особенностью в 0, μ ( g ) = 1.

Обратите внимание, что применение этого метода к невырожденному функциональному ростку g дает μ ( g ) = 0.

2

Пусть , тогда ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+xy^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .}$

Так и в этом случае . ${\displaystyle \mu (f)=4}$

3

Можно показать, что если тогда ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}}$ ${\displaystyle \mu (f)=\infty .}$

Это можно объяснить тем фактом, что f имеет сингулярность в каждой точке оси x .

Версальные деформации

Пусть f имеет конечное число Милнора μ , и пусть будет базисом для локальной алгебры, рассматриваемой как векторное пространство. Тогда миниверсальная деформация f задается как ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\mu }}$

${\displaystyle F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),}$

${\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}$

где . Эти деформации (или разворачивания ) представляют большой интерес для многих разделов науки. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }}$

Инвариантность

Ростки функций можно собрать вместе, чтобы построить классы эквивалентности . Одной из стандартных эквивалентностей является A -эквивалентность . Говорят, что два ростка функций являются A -эквивалентными, если существуют ростки диффеоморфизма и такие, что : существует диффеоморфная замена переменной как в области определения , так и в области определения , которая переводит f в g . Если f и g являются A -эквивалентными, то μ ( f ) = μ ( g ). ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle \phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)}$ ${\displaystyle \psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle f\circ \phi =\psi \circ g}$

Тем не менее, число Милнора не предлагает полного инварианта для функциональных ростков, т.е. обратное неверно: существуют функциональные ростки f и g с μ ( f ) = μ ( g ), которые не являются A -эквивалентными. Чтобы увидеть это, рассмотрим и . Это дает , но f и g явно не являются A -эквивалентными, поскольку матрица Гессе f равна нулю, а матрица Гессе g — нет (и ранг Гессе является A -инвариантом, как легко видеть). ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}}$ ${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{5}}$ ${\displaystyle \mu (f)=\mu (g)=4}$

Ссылки

1. Милнор, Джон (1969). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Анналы математических исследований. Издательство Принстонского университета .
2. Арнольд, VI ; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко, АН (1988). Особенности дифференцируемых отображений . Том. 2. Биркхойзер .

• Арнольд, VI ; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко А.Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений . Том. 1. Биркхойзер .
• Гибсон, Кристофер Г. (1979). Особые точки гладких отображений . Научные заметки по математике. Питман.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морзе . Анналы математических исследований. Издательство Принстонского университета .
• Милнор, Джон (1969). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press .