Распределение Хотеллинга T-квадрат

Тип распределения вероятностей

В статистике , особенно при проверке гипотез , распределение Хотеллинга T - ^{квадрат} ( T2 ), предложенное Гарольдом Хотеллингом , ^[1] является многомерным распределением вероятностей , которое тесно связано с F -распределением и наиболее примечательно тем, что возникает как распределение набора выборочных статистик , которые являются естественными обобщениями статистик, лежащих в основе t -распределения Стьюдента . Статистика Хотеллинга T -квадрат ( t2 ) является обобщением t- статистики Стьюдента , которая используется при многомерной проверке гипотез . [ ^{2 ]}

Мотивация

Распределение возникает в многомерной статистике при проведении тестов различий между (многомерными) средними значениями различных совокупностей, где тесты для одномерных проблем использовали бы t - тест . Распределение названо в честь Гарольда Хотеллинга , который разработал его как обобщение t -распределения Стьюдента . ^[1]

Определение

Если вектор имеет гауссовское многомерное распределение с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей и является случайной матрицей с распределением Уишарта с единичной масштабной матрицей и m степенями свободы , а d и M независимы друг от друга, то квадратичная форма имеет распределение Хотеллинга (с параметрами и ): ^[3] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N(\mathbf {0} _{p},\mathbf {I} _{p,p})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle W(\mathbf {I} _{p,p},m)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle X=md^{T}M^{-1}d\sim T^{2}(p,m).}$

Можно показать, что если случайная величина X имеет распределение Хотеллинга T -квадрат, то: ^[1] ${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}X\sim F_{p,m-p+1}}$

где — F -распределение с параметрами p и m  −  p  + 1. ${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$

Хотеллингт-квадратичная статистика

Пусть будет выборочной ковариацией : ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'}$

где мы обозначаем транспонирование апострофом . Можно показать, что является положительно (полу)определенной матрицей и следует p -мерному распределению Уишарта с n  − 1 степенями свободы. ^[4] Матрица ковариации выборки среднего имеет вид . ^[5] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$ ${\displaystyle (n-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}={\hat {\mathbf {\Sigma } }}/n}$

Статистика Хотеллинга t - квадрат тогда определяется как: ^[6]

${\displaystyle t^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}),}$

которое пропорционально расстоянию Махаланобиса между средним значением выборки и . В связи с этим следует ожидать, что статистика будет принимать низкие значения, если , и высокие значения, если они различны. ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\approx {\boldsymbol {\mu }}}$

Из распределения,

${\displaystyle t^{2}\sim T_{p,n-1}^{2}={\frac {p(n-1)}{n-p}}F_{p,n-p},}$

где — F -распределение с параметрами p и n  −  p . ${\displaystyle F_{p,n-p}}$

Чтобы вычислить p -значение (не связанное здесь с переменной p ), обратите внимание, что распределение эквивалентно подразумевает, что ${\displaystyle t^{2}}$

${\displaystyle {\frac {n-p}{p(n-1)}}t^{2}\sim F_{p,n-p}.}$

Затем используйте величину слева, чтобы оценить p -значение, соответствующее выборке, которое получается из F -распределения. Доверительную область также можно определить с использованием аналогичной логики.

Мотивация

Пусть обозначает p -мерное нормальное распределение с местоположением и известной ковариацией . Пусть ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$

быть n независимыми одинаково распределенными (iid) случайными величинами , которые могут быть представлены как векторы-столбцы действительных чисел. Определить ${\displaystyle p\times 1}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}}$

быть выборочным средним с ковариацией . Можно показать, что ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }_{\overline {\mathbf {x} }}={\mathbf {\Sigma } }/n}$

${\displaystyle ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }_{\overline {\mathbf {x} }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})\sim \chi _{p}^{2},}$

где — распределение хи-квадрат с p степенями свободы. ^[7] ${\displaystyle \chi _{p}^{2}}$

Двухвыборочная статистика

Если и , с выборками, независимо взятыми из двух независимых многомерных нормальных распределений с одинаковым средним значением и ковариацией, и мы определяем ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n_{x}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1},\dots ,{\mathbf {y} }_{n_{y}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n_{x}}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\mathbf {x} _{i}\qquad {\overline {\mathbf {y} }}={\frac {1}{n_{y}}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\mathbf {y} _{i}}$

как образец означает, и

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }={\frac {1}{n_{x}-1}}\sum _{i=1}^{n_{x}}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }={\frac {1}{n_{y}-1}}\sum _{i=1}^{n_{y}}(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})'}$

как соответствующие выборочные ковариационные матрицы. Тогда

${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {(n_{x}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }+(n_{y}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }}{n_{x}+n_{y}-2}}}$

— это несмещенная оценка объединенной ковариационной матрицы (расширение объединенной дисперсии ).

Наконец, двухвыборочная t -квадратная статистика Хотеллинга имеет вид

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})\sim T^{2}(p,n_{x}+n_{y}-2)}$

Связанные концепции

Его можно связать с F-распределением по формуле ^[4]

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p).}$

Ненулевое распределение этой статистики — нецентральное F-распределение (отношение нецентральной случайной величины хи-квадрат и независимой центральной случайной величины хи-квадрат ).

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p;\delta ),}$

с

${\displaystyle \delta ={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}{\boldsymbol {d}}'\mathbf {\Sigma } ^{-1}{\boldsymbol {d}},}$

где — вектор разности между средними значениями совокупности. ${\displaystyle {\boldsymbol {d}}=\mathbf {{\overline {x}}-{\overline {y}}} }$

В случае двух переменных формула значительно упрощается, позволяя оценить, как корреляция между переменными влияет на . Если мы определим ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle t^{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\overline {x}}_{1}-{\overline {y}}_{1},\qquad d_{2}={\overline {x}}_{2}-{\overline {y}}_{2}}$

и

${\displaystyle s_{1}={\sqrt {\Sigma _{11}}}\qquad s_{2}={\sqrt {\Sigma _{22}}}\qquad \rho =\Sigma _{12}/(s_{1}s_{2})=\Sigma _{21}/(s_{1}s_{2})}$

затем

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{(n_{x}+n_{y})(1-\rho ^{2})}}\left[\left({\frac {d_{1}}{s_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {d_{2}}{s_{2}}}\right)^{2}-2\rho \left({\frac {d_{1}}{s_{1}}}\right)\left({\frac {d_{2}}{s_{2}}}\right)\right]}$

Таким образом, если разности в двух строках вектора имеют одинаковый знак, в общем случае становится меньше, так как становится более положительным. Если разности имеют противоположный знак, становится больше, так как становится более положительным. ${\displaystyle \mathbf {d} ={\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle \rho }$

Одномерный частный случай можно найти в t-критерии Уэлча .

В литературе были предложены более надежные и мощные тесты, чем двухвыборочный тест Хотеллинга, например, тесты, основанные на межточечном расстоянии, которые можно применять также, когда количество переменных сопоставимо с количеством субъектов или даже превышает его. ^{[9] [10]}

Смотрите также

• t -критерий Стьюдента в одномерной статистике
• Распределение Стьюдента в одномерной теории вероятностей
• Многомерное распределение Стьюдента
• F -распределение (обычно представлено в виде таблицы или доступно в библиотеках программного обеспечения и, следовательно, используется для проверки статистики T -квадрат с использованием приведенного выше соотношения)
• Лямбда-распределение Уилкса (в многомерной статистике Λ Уилкса относится к T2 Хотеллинга так же ^, как F Снедекора относится к t Стьюдента в одномерной статистике)

Ссылки

1. Хотеллинг, Х. (1931). «Обобщение отношения Стьюдента». Annals of Mathematical Statistics . 2 (3): 360–378. doi : 10.1214/aoms/1177732979 .
2. Джонсон, РА; Вихерн, Д.В. (2002). Прикладной многомерный статистический анализ . Том 5. Prentice hall.
3. Эрик В. Вайсштейн, MathWorld
4. Mardia, KV; Kent, JT; Bibby, JM (1979). Многомерный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-471250-8.
5. Фогельмарк, Карл; Ломхольт, Михаэль; Ирбек, Андерс; Амбьёрнссон, Тобиас (3 мая 2018 г.). «Подгонка функции к зависящим от времени усредненным ансамблевым данным». Scientific Reports . 8 (1): 6984. doi :10.1038/s41598-018-24983-y. PMC 5934400 . Получено 19 августа 2024 г. . 
6. "6.5.4.3. T-квадрат Хотеллинга".
7. Конец главы 4.2 Джонсона, Р.А. и Вихерна, Д.В. (2002)
8. Биллингсли, П. (1995). "26. Характеристические функции". Вероятность и мера (3-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-00710-4.
9. Мароцци, М. (2016). «Многомерные тесты на основе межточечных расстояний с применением к магнитно-резонансной томографии». Статистические методы в медицинских исследованиях . 25 (6): 2593–2610. doi :10.1177/0962280214529104. PMID  24740998.
10. Мароцци, М. (2015). «Многомерные многомерные тесты для многомерных исследований случай-контроль с малым размером выборки». Статистика в медицине . 34 (9): 1511–1526. doi :10.1002/sim.6418. PMID  25630579.

Внешние ссылки

• Прохоров, А.В. (2001) [1994], T2-распределение "T2-распределение Хотеллинга", Энциклопедия математики , EMS Press