В математике механика Намбу является обобщением гамильтоновой механики, включающей несколько гамильтонианов. Напомним, что гамильтонова механика основана на потоках, генерируемых гладким гамильтонианом над симплектическим многообразием . Потоки являются симплектоморфизмами и, следовательно, подчиняются теореме Лиувилля . Вскоре это было обобщено на потоки, генерируемые гамильтонианом над пуассоновым многообразием . В 1973 году Ёитиро Намбу предложил обобщение, включающее многообразия Намбу–Пуассона с более чем одним гамильтонианом. [1]
В частности, рассмотрим дифференциальное многообразие M для некоторого целого числа N ≥ 2 ; имеется гладкое N -линейное отображение из N копий C ∞ ( M ) в себя, такое, что оно полностью антисимметрично: скобка Намбу ,
который действует как производное
откуда следуют тождества Филиппова (ФИ) [2] (вызывающие ассоциации с тождествами Якоби , но в отличие от них не антисимметризованные по всем аргументам, для N ≥ 2 ):
так что { f 1 , ..., f N −1 , •} действует как обобщенный вывод над N -кратным произведением {. ,..., .} .
Существует N − 1 гамильтонианов, H 1 , ..., H N −1 , порождающих несжимаемый поток ,
Обобщенная фазовая скорость не имеет расходимости, что позволяет применить теорему Лиувилля . Случай N = 2 сводится к пуассонову многообразию и обычной гамильтоновой механике.
Для больших четных N гамильтонианы N −1 отождествляются с максимальным числом независимых инвариантов движения (ср. Сохраняющаяся величина ), характеризующих суперинтегрируемую систему , которая развивается в N -мерном фазовом пространстве . Такие системы также могут быть описаны обычной гамильтоновой динамикой ; но их описание в рамках механики Намбу существенно более элегантно и интуитивно понятно, поскольку все инварианты обладают тем же геометрическим статусом, что и гамильтониан: траектория в фазовом пространстве является пересечением N − 1 гиперповерхностей, заданных этими инвариантами. Таким образом, поток перпендикулярен всем N − 1 градиентам этих гамильтонианов, откуда параллелен обобщенному векторному произведению, заданному соответствующей скобкой Намбу.
Механику Намбу можно распространить на динамику жидкости, где результирующие скобки Намбу неканоничны, а гамильтонианы отождествляются с Казимиром системы, например, с энстрофией или спиральностью. [3] [4]
Квантование динамики Намбу приводит к интересным структурам [5] , которые совпадают с традиционными квантовыми структурами, когда речь идет о суперинтегрируемых системах, как и должно быть.
