Многочлены Бернулли второго рода

Полиномиальная последовательность

Полиномы Бернулли второго рода ^{[1] [2]} ψ _n ( x ) , также известные как полиномы Фонтана–Бесселя ^[3] , представляют собой полиномы, определяемые следующей производящей функцией: $${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(x),\qquad |z|<1.}$$

Первые пять многочленов: $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=1\\[2mm]\psi _{1}(x)&=x+{\frac {1}{2}}\\[2mm]\psi _{2}(x)&={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{12}}\\[2mm]\psi _{3}(x)&={\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{24}}\\[2mm]\psi _{4}(x)&={\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {19}{720}}\end{aligned}}}$$

Некоторые авторы определяют эти многочлены немного по-другому ^{[4] [5]} , так что и также могут использовать для них другую нотацию (наиболее используемая альтернативная нотация — b _n ( x ) ). Согласно этому соглашению, многочлены образуют последовательность Шеффера . $${\displaystyle {\frac {z\left(1+z\right)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\psi _{n}^{*}(x),\qquad |z|<1,}$$ ${\displaystyle \psi _{n}^{*}(x)=\psi _{n}(x)\,n!}$

Многочлены Бернулли второго рода в основном изучались венгерским математиком Шарлем Жорданом, ^{[1] [2],} но их историю можно проследить и в гораздо более ранних работах. ^[3]

Интегральные представления

Полиномы Бернулли второго рода могут быть представлены через эти интегралы ^{[1] [2],} а также ^[3] $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\int _{x}^{x+1}\!{\binom {u}{n}}\,du=\int _{0}^{1}{\binom {x+u}{n}}\,du}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-\sin \pi x\ln z}{(1+z)^{n}}}\cdot {\frac {z^{x}dz}{\ln ^{2}z+\pi ^{2}}},\qquad -1\leq x\leq n-1\,\\[3mm]\psi _{n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-v\sin \pi x}{\left(1+e^{v}\right)^{n}}}\cdot {\frac {e^{v(x+1)}}{v^{2}+\pi ^{2}}}\,dv,\qquad -1\leq x\leq n-1\,\end{aligned}}}$$

Таким образом, эти многочлены с точностью до константы являются первообразной биномиального коэффициента , а также первообразной убывающего факториала . ^{[1] [2] [3]}

Явная формула

Для произвольного n эти многочлены можно вычислить явно с помощью следующей формулы суммирования ^{[1] [2] [3],} где s ( n , l ) — знаковые числа Стирлинга первого рода , а G _n — коэффициенты Грегори . $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{l=0}^{n-1}{\frac {s(n-1,l)}{l+1}}x^{l+1}+G_{n},\qquad n=1,2,3,\ldots }$$

Разложение полиномов Бернулли второго рода в ряд Ньютона имеет вид ^{[1] [2]} Это можно показать, используя второе интегральное представление и тождество Вандермонда . $${\displaystyle \psi _{n}(x)=G_{0}{\binom {x}{n}}+G_{1}{\binom {x}{n-1}}+G_{2}{\binom {x}{n-2}}+\ldots +G_{n}}$$

Формула рекуррентности

Полиномы Бернулли второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению ^{[1] [2]} или, что эквивалентно, $${\displaystyle \psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)}$$ $${\displaystyle \Delta \psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)}$$

Повторяющаяся разница дает ^{[1] [2]} $${\displaystyle \Delta ^{m}\psi _{n}(x)=\psi _{n-m}(x)}$$

Свойство симметрии

Основное свойство симметрии гласит ^{[2] [4]} $${\displaystyle \psi _{n}{\left({\tfrac {1}{2}}n-1+x\right)}=\left(-1\right)^{n}\psi _{n}{\left({\tfrac {1}{2}}n-1-x\right)}}$$

Некоторые дополнительные свойства и особые значения

Некоторые свойства и частные значения этих многочленов включают где C _n — числа Коши второго рода , а M _n — центральные разностные коэффициенты . ^{[1] [2] [3]} $${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{n}(0)=G_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(1)=G_{n-1}+G_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(-1)=\left(-1\right)^{n+1}\sum _{m=0}^{n}\left|G_{m}\right|=\left(-1\right)^{n}C_{n}\\[2mm]&\psi _{n}(n-2)=-\left|G_{n}\right|\\[2mm]&\psi _{n}(n-1)=\left(-1\right)^{n}\psi _{n}(-1)=1-\sum _{m=1}^{n}\left|G_{m}\right|\\[2mm]&\psi _{2n}(n-1)=M_{2n}\\[2mm]&\psi _{2n}(n-1+y)=\psi _{2n}(n-1-y)\\[2mm]&\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}+y)=-\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}-y)\\[2mm]&\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}})=0\end{aligned}}}$$

Некоторые ряды, включающие полиномы Бернулли второго рода

Дигамма -функция Ψ( x ) может быть разложена в ряд с полиномами Бернулли второго рода следующим образом ^[3] и, следовательно, ^[3] и где γ — постоянная Эйлера . Кроме того, мы также имеем ^[3] где Γ( x ) — гамма-функция . Дзета-функции Гурвица и Римана могут быть разложены в эти полиномы следующим образом ^[3] и, а также $${\displaystyle \Psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$$ $${\displaystyle \gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$ $${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}\left\{\psi _{n}(a)+\psi _{n}\left(-{\frac {a}{1+a}}\right)\right\},\quad a>-1}$$ $${\displaystyle \Psi (v)={\frac {1}{v+a-{\frac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}\left(n-1\right)!\right\},\quad \Re (v)>-a,}$$ $${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {(v+a)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}}$$ $${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}}$$

Полиномы Бернулли второго рода также участвуют в следующем соотношении ^[3] между дзета-функциями, а также в различных формулах для констант Стилтьеса , например ^[3] и которые справедливы как для , так и для . $${\displaystyle {\big (}v+a-{\tfrac {1}{2}}{\big )}\zeta (s,v)=-{\frac {\zeta (s-1,v+a)}{s-1}}+\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$$ $${\displaystyle \gamma _{m}(v)=-{\frac {\ln ^{m+1}(v+a)}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}}$$ $${\displaystyle \gamma _{m}(v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}-v-a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,v+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0,v)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}\right\}}$$ ${\displaystyle \Re (a)>-1}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \!\{0,-1,-2,\ldots \}}$

Смотрите также

• Полиномы Бернулли
• Полиномы Стерлинга
• Коэффициенты Грегори
• числа Бернулли
• Разностные полиномы
• Число Поли-Бернулли
• Полиномы Миттаг-Леффлера

Ссылки

1. Джордан, Чарльз (1928). «Сюр-де-аналоги полиномов и полиномы Бернулли, и сюр-дез-формулы аналогов соммации в ячейке Маклорена-Эйлера». Акта Наука. Математика. (Сегед) . 4 : 130–150.
2. Джордан, Чарльз (1965). Исчисление конечных разностей (3-е издание) . Chelsea Publishing Company.
3. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций" (PDF) . ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18A (#A3): 1–45.arXiv
4. Roman, S. (1984). The Umbral Calculus . Нью-Йорк: Academic Press.
5. Вайсштейн, Эрик В. Многочлен Бернулли второго рода. Из MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Математика