Модель Весса–Зумино–Виттена

Тип двумерной конформной теории поля

В теоретической физике и математике модель Весса – Зумино –Виттена ( WZW ) , также называемая моделью Весса–Зумино–Новикова–Виттена , представляет собой тип двумерной конформной теории поля, названный в честь Юлиуса Весса , Бруно Зумино , Сергея Новикова и Эдварда Виттена . ^{[1] [2] [3] [4]} Модель WZW связана с группой Ли (или супергруппой ), а ее алгебра симметрии является аффинной алгеброй Ли, построенной из соответствующей алгебры Ли (или супералгебры Ли ). В более широком смысле название модель WZW иногда используется для любой конформной теории поля, алгебра симметрии которой является аффинной алгеброй Ли. ^[5]

Действие

Определение

Для римановой поверхности , группы Ли и ( обычно комплексного) числа определим модель -WZW на уровне . Модель представляет собой нелинейную сигма-модель , действие которой является функционалом поля : ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma :\Sigma \to G}$

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-{\frac {k}{8\pi }}\int _{\Sigma }d^{2}x\,{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma \right)+2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ).}$

Здесь снабжен плоской евклидовой метрикой , является частной производной , а является формой Киллинга на алгебре Ли . Член Весса–Зумино действия равен ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{\mathbf {B} ^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial _{i}\gamma ,\left[\gamma ^{-1}\partial _{j}\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{k}\gamma \right]\right).}$

Здесь — полностью антисимметричный тензор , а — скобка Ли . Член Весса–Зумино — это интеграл по трехмерному многообразию, граница которого — . ${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$ ${\displaystyle [.,.]}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \mathbf {B} ^{3}=\Sigma }$

Топологические свойства члена Весса–Зумино

Чтобы термин Весса–Зумино имел смысл, нам нужно , чтобы поле имело расширение до . Для этого требуется, чтобы гомотопическая группа была тривиальной, что, в частности, имеет место для любой компактной группы Ли . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$

Расширение заданного до в общем случае не является единственным. Для того чтобы модель WZW была хорошо определена, не должно зависеть от выбора расширения. Член Весса–Зумино инвариантен относительно малых деформаций и зависит только от его гомотопического класса . Возможные гомотопические классы контролируются гомотопической группой . ${\displaystyle \gamma :\Sigma \to G}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ ${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \pi _{3}(G)}$

Для любой компактной, связной простой группы Ли имеем , и различные расширения приводят к значениям , отличающимся на целые числа. Следовательно, они приводят к одному и тому же значению при условии, что уровень подчиняется ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}$ ${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Целочисленные значения уровня также играют важную роль в теории представлений алгебры симметрии модели, которая является аффинной алгеброй Ли . Если уровень является положительным целым числом, аффинная алгебра Ли имеет унитарные представления с наивысшим весом , причем наивысшие веса являются доминирующими интегралами. Такие представления распадаются на конечномерные подпредставления относительно подалгебр, натянутых на каждый простой корень , соответствующий отрицательный корень и их коммутатор, который является генератором Картана .

В случае некомпактной простой группы Ли гомотопическая группа тривиальна, а уровень не ограничен целым числом. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} ))}$

Геометрическая интерпретация термина Весса–Зумино

Если e _a — базисные векторы для алгебры Ли , то — структурные константы алгебры Ли. Структурные константы полностью антисимметричны, и, таким образом, они определяют 3-форму на групповом многообразии G. Таким образом, подынтегральное выражение выше — это просто обратный путь гармонической 3-формы к шару. Обозначая гармоническую 3-форму через c , а обратный путь через единицу , имеем ${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}.}$ ${\displaystyle \gamma ^{*},}$

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{\mathbf {B} ^{3}}\gamma ^{*}c.}$

Эта форма приводит непосредственно к топологическому анализу термина WZ.

Геометрически этот термин описывает кручение соответствующего многообразия. ^[7] Наличие этого кручения обуславливает телепараллельность многообразия и, таким образом, тривиализацию тензора кривизны кручения ; и, следовательно, остановку потока перенормировки, инфракрасной неподвижной точки группы перенормировки , явление, называемое геометростазисом .

Симметрическая алгебра

Обобщенная групповая симметрия

Модель Весса–Зумино–Виттена не только симметрична относительно глобальных преобразований элементом группы в , но и имеет гораздо более богатую симметрию. Эту симметрию часто называют симметрией . ^[8] А именно, для любой голоморфной -значной функции , и любой другой (полностью независимой от ) антиголоморфной -значной функции , где мы определили и в терминах координат евклидова пространства , имеет место следующая симметрия: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega (z)}$ ${\displaystyle \Omega (z)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\bar {\Omega }}({\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=S_{k}(\Omega \gamma {\bar {\Omega }}^{-1})}$

Одним из способов доказательства существования этой симметрии является многократное применение тождества Полякова–Вигмана относительно произведений -значных полей: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{k}(\alpha \beta ^{-1})=S_{k}(\alpha )+S_{k}(\beta ^{-1})+{\frac {k}{16\pi ^{2}}}\int d^{2}x{\textrm {Tr}}(\alpha ^{-1}\partial _{\bar {z}}\alpha \beta ^{-1}\partial _{z}\beta )}$

Голоморфные и антиголоморфные токи и являются сохраняющимися токами, связанными с этой симметрией. Сингулярное поведение произведений этих токов с другими квантовыми полями определяет, как эти поля преобразуются под действием бесконечно малых групп . ${\displaystyle J(z)=-{\frac {1}{2}}k(\partial _{z}\gamma )\gamma ^{-1}}$ ${\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-{\frac {1}{2}}k\gamma ^{-1}\partial _{\bar {z}}\gamma }$ ${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$

Аффинная алгебра Ли

Пусть — локальная комплексная координата на , ортонормированный базис (относительно формы Киллинга ) алгебры Ли , и квантование поля . Мы имеем следующее операторное разложение произведения : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \{t^{a}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J^{a}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$

${\displaystyle J^{a}(z)J^{b}(w)={\frac {k\delta ^{ab}}{(z-w)^{2}}}+{\frac {if_{c}^{ab}J^{c}(w)}{z-w}}+{\mathcal {O}}(1),}$

где коэффициенты такие, что . Эквивалентно, если разлагается по модам ${\displaystyle f_{c}^{ab}}$ ${\displaystyle [t^{a},t^{b}]=f_{c}^{ab}t^{c}}$ ${\displaystyle J^{a}(z)}$

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}^{a}z^{-n-1},}$

то текущая алгебра, порожденная , является аффинной алгеброй Ли , связанной с алгеброй Ли , с уровнем, совпадающим с уровнем модели WZW. ^[5] Если , то обозначение для аффинной алгебры Ли будет . Коммутационные соотношения аффинной алгебры Ли имеют вид ${\displaystyle \{J_{n}^{a}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$

${\displaystyle [J_{n}^{a},J_{m}^{b}]=f_{c}^{ab}J_{m+n}^{c}+kn\delta ^{ab}\delta _{n+m,0}.}$

Эта аффинная алгебра Ли является хиральной алгеброй симметрии, связанной с токами, движущимися влево . Вторая копия той же аффинной алгебры Ли связана с токами, движущимися вправо . Генераторы этой второй копии являются антиголоморфными. Полная алгебра симметрии модели WZW является произведением двух копий аффинной алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},g^{-1}\partial _{\bar {z}}g)}$ ${\displaystyle {\bar {J}}^{a}(z)}$

Строительство Сугавары

Конструкция Сугавары представляет собой вложение алгебры Вирасоро в универсальную обертывающую алгебру аффинной алгебры Ли. Существование вложения показывает, что модели WZW являются конформными теориями поля. Более того, оно приводит к уравнениям Книжника–Замолодчикова для корреляционных функций.

Конструкция Сугавары наиболее лаконично записывается на уровне токов: для аффинной алгебры Ли и тензора энергии-импульса для алгебры Вирасоро: ${\displaystyle J^{a}(z)}$ ${\displaystyle T(z)}$

${\displaystyle T(z)={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}:J^{a}J^{a}:(z),}$

где обозначает нормальное упорядочение, а — дуальное число Кокстера . Используя OPE токов и версию теоремы Вика, можно вывести, что OPE с самим собой задается выражением ^[5] ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle h^{\vee }}$ ${\displaystyle T(z)}$

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+{\mathcal {O}}(1),}$

что эквивалентно коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро. Центральный заряд алгебры Вирасоро задается в терминах уровня аффинной алгебры Ли как ${\displaystyle k}$

${\displaystyle c={\frac {k\mathrm {dim} ({\mathfrak {g}})}{k+h^{\vee }}}.}$

На уровне генераторов аффинной алгебры Ли конструкция Сугавары имеет вид

${\displaystyle L_{n\neq 0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}\sum _{m\in \mathbb {Z} }J_{n-m}^{a}J_{m}^{a},}$

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\left(2\sum _{a}\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}^{a}J_{m}^{a}+J_{a}^{0}J_{a}^{0}\right).}$

где генераторами алгебры Вирасоро являются моды тензора энергии-импульса, . ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

Спектр

Модели WZW с компактными односвязными группами

Если группа Ли компактна и односвязна, то модель WZW рациональна и диагональна: рациональна, потому что спектр построен из (зависящего от уровня) конечного набора неприводимых представлений аффинной алгебры Ли, называемых интегрируемыми представлениями с наибольшим весом , а диагональна, потому что представление левоподвижной алгебры связано с тем же представлением правоподвижной алгебры. ^[5] ${\displaystyle G}$

Например, спектр модели WZW на уровне ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}=\bigoplus _{j=0,{\frac {1}{2}},1,\dots ,{\frac {k}{2}}}{\mathcal {R}}_{j}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{j}\ ,}$

где — аффинное представление спина с наибольшим весом : представление, генерируемое состоянием, таким, что ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle |v\rangle }$

${\displaystyle J_{n<0}^{a}|v\rangle =J_{0}^{-}|v\rangle =0\ ,}$

где — ток, соответствующий генератору алгебры Ли . ${\displaystyle J^{-}}$ ${\displaystyle t^{-}}$ ${\displaystyle SU(2)}$

Модели WZW с другими типами групп

Если группа компактна, но не односвязна, модель WZW рациональна, но не обязательно диагональна. Например, модель WZW существует для четных целых уровней , и ее спектр является недиагональной комбинацией конечного числа интегрируемых представлений с наибольшим весом. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle k\in 2\mathbb {N} }$

Если группа не компактна, модель WZW нерациональна. Более того, ее спектр может включать представления не с наивысшим весом. Например, спектр модели WZW строится из представлений с наивысшим весом, плюс их образы под автоморфизмами спектрального потока аффинной алгебры Ли. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$

Если является супергруппой , спектр может включать представления, которые не факторизуются как тензорные произведения представлений алгебр симметрии, движущихся влево и вправо. Это происходит, например, в случае , ^[9] а также в более сложных супергруппах, таких как . ^[10] Нефакторизуемые представления ответственны за тот факт, что соответствующие модели WZW являются логарифмическими конформными теориями поля . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=GL(1|1)}$ ${\displaystyle G=PSU(1,1|2)}$

Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли

Известные конформные теории поля, основанные на аффинных алгебрах Ли, не ограничиваются моделями WZW. Например, в случае аффинной алгебры Ли модели WZW модулярные инвариантные торические статистические суммы подчиняются классификации ADE, где модель WZW учитывает только серию A. ^[11] Серия D соответствует модели WZW, а серия E не соответствует ни одной модели WZW. ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SO(3)}$

Другим примером является модель. Эта модель основана на той же алгебре симметрии, что и модель WZW, с которой она связана вращением Вика. Однако, строго говоря, это не модель WZW, поскольку это не группа, а смежный класс. ^[12] ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}=SL(2,\mathbb {C} )/SU(2)}$

Поля и корреляционные функции

Поля

При наличии простого представления алгебры Ли аффинное первичное поле — это поле, которое принимает значения в пространстве представления , такие, что ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi ^{\rho }(z)}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J^{a}(y)\Phi ^{\rho }(z)=-{\frac {\rho (t^{a})\Phi ^{\rho }(z)}{y-z}}+O(1)\ .}$

Аффинное первичное поле также является первичным полем для алгебры Вирасоро, которая получается из конструкции Сугавары. Конформная размерность аффинного первичного поля задается в терминах квадратичного Казимира представления (т.е. собственного значения квадратичного элемента Казимира , где — обратная матрица формы Киллинга) следующим образом: ${\displaystyle C_{2}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K_{ab}t^{a}t^{b}}$ ${\displaystyle K_{ab}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},t^{b})}$

${\displaystyle \Delta _{\rho }={\frac {C_{2}(\rho )}{2(k+h^{\vee })}}\ .}$

Например, в модели WZW конформная размерность первичного поля спина равна ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Delta _{j}={\frac {j(j+1)}{k+2}}\ .}$

По соответствию состояния и поля аффинные первичные поля соответствуют аффинным первичным состояниям , которые являются состояниями с наивысшим весом представлений с наивысшим весом аффинной алгебры Ли.

Корреляционные функции

Если группа компактна, спектр модели WZW состоит из представлений с наибольшим весом, и все корреляционные функции могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей с помощью тождеств Уорда . ${\displaystyle G}$

Если риманова поверхность является сферой Римана, корреляционные функции аффинных первичных полей подчиняются уравнениям Книжника–Замолодчикова . На римановых поверхностях более высокого рода корреляционные функции подчиняются уравнениям Книжника–Замолодчикова–Бернара , которые содержат производные не только положений полей, но и модулей поверхности. ^[13] ${\displaystyle \Sigma }$

Модели WZW с калибровкой

При наличии подгруппы Ли калиброванная модель WZW ( или модель косетов ) является нелинейной сигма-моделью, целевое пространство которой является фактором для присоединенного действия на . Эта калиброванная модель WZW является конформной теорией поля, алгебра симметрии которой является фактором двух аффинных алгебр Ли моделей и WZW, а центральный заряд которой является разностью их центральных зарядов. ${\displaystyle H\subset G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Приложения

Модель WZW, группа Ли которой является универсальным покрытием группы, использовалась Хуаном Малдасеной и Хироси Огури для описания теории бозонных струн на трехмерном антиде-ситтеровском пространстве . ^[6] Суперструны на описываются моделью WZW на супергруппе или ее деформацией, если включен поток Рамона-Рамона. ^{[14] [10]} ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle AdS_{3}}$ ${\displaystyle AdS_{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle PSU(1,1|2)}$

Модели WZW и их деформации были предложены для описания перехода плато в целочисленном квантовом эффекте Холла . ^[15]

Калибровочная модель WZW имеет интерпретацию в теории струн как двумерная евклидова черная дыра Виттена. [ ^16] Та же модель также описывает определенные двумерные статистические системы в критическом состоянии, такие как критическая антиферромагнитная модель Поттса . ^[17] ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )/U(1)}$

Ссылки

1. Wess, J.; Zumino, B. (1971). "Последствия аномальных палатных идентичностей" (PDF) . Physics Letters B. 37 ( 1): 95–97. Bibcode :1971PhLB...37...95W. doi :10.1016/0370-2693(71)90582-X.
2. Виттен, Э. (1983). «Глобальные аспекты алгебры токов». Nuclear Physics B. 223 ( 2): 422–432. Bibcode :1983NuPhB.223..422W. doi :10.1016/0550-3213(83)90063-9.
3. Witten, E. (1984). «Неабелева бозонизация в двух измерениях». Communications in Mathematical Physics . 92 (4): 455–472. Bibcode :1984CMaPh..92..455W. doi :10.1007/BF01215276. S2CID  122018499.
4. Новиков, СП (1981). «Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса». Сов. Матем., Докл . 24 : 222–226.; Новиков, СП (1982). «Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса». Математические обзоры . 37 (5): 1–9. Bibcode :1982RuMaS..37....1N. doi :10.1070/RM1982v037n05ABEH004020. S2CID  250867649.
5. Ди Франческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997), Конформная теория поля , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94785-X
6. Maldacena, J.; Ooguri, H. (2001). «Струны в AdS ₃ и модель SL(2,R) WZW. I: Спектр». Журнал математической физики . 42 (7): 2929–2960. arXiv : hep-th/0001053 . Bibcode :2001JMP....42.2929M. doi :10.1063/1.1377273. S2CID  8841465.
7. Braaten, E.; Curtright, TL; Zachos, CK (1985). «Крутение и геометростаз в нелинейных сигма-моделях». Nuclear Physics B. 260 ( 3–4): 630. Bibcode : 1985NuPhB.260..630B. doi : 10.1016/0550-3213(85)90053-7.
8. Замолодчиков, А.Б.; Книжник, Б.Г. (1984). «Алгебра токов и двумерная модель Весса-Зумино». Ядерная физика Б. 247 : 83-103.
9. V. Schomerus, H. Saleur, «Модель GL(1|1) WZW: от супергеометрии к логарифмической CFT», arxiv:hep-th/0510032
10. Г. Гоц, Т. Квелла, В. Шомерус, «Модель WZNW на PSU (1,1 | 2)», arxiv: hep-th/0610070
11. Андреа Каппелли и Жан-Бернард Зубер (2010), «Классификация конформных теорий поля по ADE», Scholarpedia 5(4):10314.
12. К. Гаведски, «Некомпактные WZW-конформные теории поля», arxiv:hep-th/9110076
13. G. Felder, C. Wieczerkowski, "Конформные блоки на эллиптических кривых и уравнения Книжника--Замолодчикова--Бернара", arxiv:hep-th/9411004
14. Н. Берковиц, К. Вафа, Э. Виттен, «Конформная теория поля AdS-фона с потоком Рамонда-Рамонда», arxiv:hep-th/9902098
15. М. Цирнбауэр, «Целочисленный квантовый переход Холла на плато в конце концов является алгеброй токов», arXiv:1805.12555
16. Виттен, Эдвард (1991). «Теория струн и черные дыры». Physical Review D. 44 ( 2): 314–324. Bibcode : 1991PhRvD..44..314W. doi : 10.1103/PhysRevD.44.314. ISSN  0556-2821. PMID  10013884.
17. Н. Робертсон, Дж. Якобсен, Х. Салеур, «Конформно-инвариантные граничные условия в антиферромагнитной модели Поттса и сигма-модели», arXiv:1906.07565 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )/U(1)}$