Модель Ландау–Лифшица

В физике твердого тела уравнение Ландау –Лифшица ( УЛЛ ), названное в честь Льва Ландау и Евгения Лифшица , представляет собой уравнение в частных производных , описывающее временную эволюцию магнетизма в твердых телах в зависимости от одной временной переменной и 1, 2 или 3 пространственных переменных.

Уравнение Ландау–Лифшица

LLE описывает анизотропный магнит. Уравнение описано в (Faddeev & Takhtajan 2007, глава 8) следующим образом: это уравнение для векторного поля S , другими словами, функция на R ^{1+ n} , принимающая значения в R ^{3 . Уравнение зависит от фиксированной симметричной} матрицы 3 на 3 J , обычно предполагаемой диагональной ; то есть . LLE тогда задается уравнением движения Гамильтона для гамильтониана ${\displaystyle J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)}$

(где J ( S ) — квадратичная форма J , примененная к вектору S ), которая равна

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)}$

В измерениях 1+1 это уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)}$

В 2+1 измерениях это уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)}$

что является (2+1)-мерным LLE. Для (3+1)-мерного случая LLE выглядит как

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)}$

Интегрируемые сокращения

В общем случае ЛЛЭ (2) неинтегрируемо, но допускает две интегрируемые редукции:

а) в 1+1 измерениях, то есть уравнение (3), интегрируемо

б) при . В этом случае (1+1)-мерное ЛЛЭ (3) превращается в непрерывное классическое уравнение ферромагнетика Гейзенберга (см., например, модель Гейзенберга (классическая) ), которое уже интегрируемо. ${\displaystyle J=0}$

Смотрите также

• Нелинейное уравнение Шредингера
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Спиновая волна
• Микромагнетизм
• Уравнение Ишимори
• Магнит
• Ферромагнетизм

Ссылки

• Фаддеев, Людвиг Д.; Тахтаджан, Леон А. (2007), Гамильтоновы методы в теории солитонов , Classics in Mathematics, Берлин: Springer, стр. x+592, doi :10.1007/978-3-540-69969-9, ISBN 978-3-540-69843-2, г-н  2348643
• Го, Болинг; Дин, Шицзинь (2008), Уравнения Ландау-Лифшица , Границы исследований с Китайской академией наук, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8
• Косевич А.М. , Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. – Киев: Наукова думка , 1988. – 192 с.