Модель Рэмси – Касса – Купманса

Неоклассическая экономическая модель

Модель Рэмси -Кэсса-Купманса , или модель роста Рэмси , представляет собой неоклассическую модель экономического роста , основанную в первую очередь на работе Фрэнка П. Рэмси ^[1] со значительными расширениями Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса . ^{[2] [3]} Модель Рэмси-Касс-Купманса отличается от модели Солоу-Свона тем, что выбор потребления явно обусловлен микрообоснованием в определенный момент времени и, таким образом, эндогенизирует норму сбережений . В результате, в отличие от модели Солоу-Свона, норма сбережений может не быть постоянной при переходе к долгосрочному устойчивому состоянию . Еще одним следствием модели является то, что результат является оптимальным по Парето или эффективным по Парето . ^{[примечание 1]}

Первоначально Рэмси сформулировал эту модель как задачу социального планирования максимизации уровня потребления в течение последующих поколений. ^[4] Лишь позднее Касс и Купманс приняли модель для описания децентрализованной динамичной экономики с репрезентативным агентом . Модель Рэмси-Касс-Купманса направлена ​​только на объяснение долгосрочного экономического роста, а не на колебания бизнес-цикла, и не включает в себя какие-либо источники нарушений, такие как несовершенство рынка, неоднородность среди домохозяйств или экзогенные шоки . Поэтому последующие исследователи расширили модель, приняв во внимание шоки государственных закупок, изменения в занятости и другие источники нарушений, известную как теория реального делового цикла .

Математическое описание

Настройка модели

В обычной настройке время для простоты начинается непрерывно и продолжается вечно. По предположению, единственными производственными факторами являются капитал и труд , оба из которых должны быть неотрицательными. Предполагается, что рабочая сила, составляющая все население, растет с постоянной скоростью , т. е . подразумевается, что с начальным уровнем . Наконец, пусть обозначает совокупное производство, а обозначает совокупное потребление. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dot {L}}={\tfrac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=nL}$ ${\displaystyle L=L_{0}e^{nt}}$ ${\displaystyle L_{0}>0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$

Переменными, которые в конечном итоге призвана описать модель Рэмси-Касса-Купманса, являются потребление на душу населения (или, точнее, на одну рабочую силу ), а также так называемая капиталоемкость . Он делает это, сначала связывая накопление капитала , записанное в обозначениях Ньютона , с потреблением , описывая компромисс между потреблением и инвестициями. Более конкретно, поскольку существующий основной капитал разрушается в зависимости от нормы амортизации (предполагаемой постоянной), он требует инвестиций в объемы производства текущего периода . Таким образом, ${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$ ${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}={\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle {\dot {K}}=Y-\delta K-cL}$$

Связь между факторами производства и совокупным выпуском описывается совокупной производственной функцией , . Обычно выбирают производственную функцию Кобба-Дугласа , но, как правило, допустима любая производственная функция, удовлетворяющая условиям Инада . Однако важно, чтобы компания была однородной степени 1 , что с экономической точки зрения подразумевает постоянную отдачу от масштаба . Принимая это допущение, мы можем перевыразить совокупный выпуск в пересчете на душу населения. ${\displaystyle Y=F(K,L)}$ ${\displaystyle F(K,L)=AK^{1-\alpha }L^{\alpha }}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(K,L)=L\cdot F\left({\frac {K}{L}},1\right)=L\cdot f(k)}$$

${\displaystyle A=1,\alpha =0.5}$ ${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$

Чтобы получить первое ключевое уравнение модели Рэмси–Касса–Купманса, динамическое уравнение для запаса капитала необходимо выразить в пересчете на душу населения . Учитывая правило частного для , имеем ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {K}{L}}\right)}$

${\displaystyle {\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c}$

нелинейное дифференциальное уравнение, подобное модели Солоу – Свона .

Максимизация благосостояния

Если мы проигнорируем проблему распределения потребления, то норма полезности будет функцией совокупного потребления. То есть, . Чтобы избежать проблемы бесконечности, мы экспоненциально дисконтируем будущую полезность по ставке дисконтирования . Высокий отражает сильное нетерпение . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=U(C,t)}$ ${\displaystyle \rho \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \rho }$

Задача социального планировщика состоит в максимизации функции социального благосостояния . ${\displaystyle U_{0}=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}U(C,t)\,\mathrm {d} t}$

Предположим, что экономика населена идентичными бессмертными индивидами с неизменными функциями полезности ( репрезентативным агентом ), так что общая полезность равна: ${\displaystyle u(c)}$

$${\displaystyle U(C,t)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)}$$

Предполагается, что функция полезности строго возрастает (т. е. точка счастья^{[примечание 2]}предельная полезность ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$ ${\displaystyle u_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial c}}}$

Таким образом, мы имеем задачу социального планировщика:

${\displaystyle \max _{c}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho -n)t}u(c)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}}$

где задан первоначальный ненулевой акционерный капитал . ${\displaystyle k(0)=k_{0}>0}$

Чтобы гарантировать корректность определения интеграла, мы налагаем . ${\displaystyle \rho >n}$

Решение

Решение, обычно находимое с помощью функции Гамильтона , ^{[примечание 3] [примечание 4]} представляет собой дифференциальное уравнение, которое описывает оптимальную эволюцию потребления,

${\displaystyle {\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c}$

правило Кейнса -Рэмзи . ^[5]

Термин , где - предельный продукт капитала , отражает предельный доход от чистых инвестиций с учетом амортизации капитала и дисконтирования во времени. ${\displaystyle f_{k}(k)-\delta -\rho }$ ${\displaystyle f_{k}=\partial _{k}f}$

Вот эластичность межвременного замещения , определяемая формулой ${\displaystyle \sigma (c)}$

$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}=-{\frac {d\ln c}{d\ln(u'(c))}}}$$

относительному неприятию рискакривизнусгладить потребление

Часто предполагается, что оно строго монотонно возрастает и вогнуто, т.о. В частности, если полезность логарифмическая, то она постоянна: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle u(c)=u_{0}\ln c\implies \sigma (c)=1}$$

$${\displaystyle \underbrace {{\frac {d}{dt}}\ln c} _{\text{consumption delay rate}}=\underbrace {\sigma (c)} _{{\text{EIS at current consumption level}}\quad }\underbrace {[f_{k}(k)-\delta -\rho ]} _{\text{marginal return on net investment}}}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\ln c}$

Графический анализ в фазовом пространстве

Фазовая диаграмма модели Рамсея для случаев , и . ${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$ ${\displaystyle n,\delta ,\rho ,\sigma =1,1,1.1,1}$

График фазового пространства (или фазовая диаграмма) модели Рэмси. Синяя линия представляет траекторию динамической корректировки (или седловую) экономики, при которой все ограничения, присутствующие в модели, удовлетворены. Это устойчивый путь динамической системы. Красные линии представляют динамические пути, которые исключаются условием трансверсальности.

Два связанных дифференциальных уравнения для и образуют динамическую систему Рэмси – Кэсса – Купманса . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c\\{\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c\end{cases}}}$

Устойчивое состояние системы находится путем установки и равным нулю. Есть три решения: ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$ ${\displaystyle {\dot {k}}}$ ${\displaystyle {\dot {c}}}$

${\displaystyle f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }}$

${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle f(k^{*})=(n+\delta )k^{*}{\text{ with }}k^{*}>0,c^{*}=0}$

Первое — единственное решение внутри верхнего квадранта. Это седловая точка (как показано ниже). Второе – это отталкивающий момент. Третье — вырожденное устойчивое равновесие.

По умолчанию подразумевается первое решение, хотя два других решения важно отслеживать.

Любая оптимальная траектория должна следовать динамической системе. Однако, поскольку переменная является управляющей переменной, при каждой капиталоемкости , чтобы найти соответствующую оптимальную траекторию, нам все равно необходимо найти ее начальный уровень потребления . Оказывается, оптимальная траектория — это единственная траектория, которая сходится к внутренней точке равновесия. Любая другая траектория либо сходится к всесберегающему равновесию с , либо расходится к , что означает, что экономика расходует весь свой капитал за конечное время. Оба достигают более низкой общей полезности, чем траектория к внутренней точке равновесия. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c(0)}$ ${\displaystyle k^{*}>0,c^{*}=0}$ ${\displaystyle k\to 0,c\to \infty }$

Качественное утверждение об устойчивости решения требует линеаризации полиномом Тейлора первого порядка. ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}}$

где — матрица Якобиана , рассчитанная в установившемся состоянии, ^{[примечание 5]} , определяемая формулой ${\displaystyle \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle \mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}}$

который имеет определитель , поскольку , по предположению положителен, и поскольку является вогнутым (условие Инады). Поскольку определитель равен произведению собственных значений , собственные значения должны быть вещественными и противоположными по знаку. ^[6] ${\displaystyle \left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0}$ ${\displaystyle c^{*}>0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f_{kk}<0}$ ${\displaystyle f}$

Следовательно, согласно теореме об устойчивом многообразии , равновесие является седловой точкой и существует единственный стабильный рукав, или «седловый путь», который сходится к состоянию равновесия, обозначенному синей кривой на фазовой диаграмме.

Система называется «седловой устойчивой траекторией», поскольку все неустойчивые траектории исключаются условием «отсутствия схемы Понци »: ^[7]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0}$

подразумевая, что текущая стоимость акционерного капитала не может быть отрицательной. ^{[примечание 6]}

История

Спир и Янг пересматривают историю оптимального роста в 1950-е и 1960-е годы, ^[8] частично сосредотачиваясь на правдивости заявленного одновременного и независимого развития «Оптимального роста в агрегированной модели накопления капитала» Касса (опубликовано в 1965 г. в « Обзоре экономических исследований ») и «О концепции оптимального экономического роста» Тьяллинга Купмана (опубликовано в журнале Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Рим: Папская академия наук).

За свою жизнь ни Касс, ни Купманс никогда не предполагали, что их результаты, характеризующие оптимальный рост в односекторной модели непрерывного роста, были чем-то иным, кроме «одновременного и независимого». То, что вопрос приоритета когда-либо стал предметом обсуждения, было связано только с тем, что в опубликованной версии работы Купманса он процитировал главу из диссертации Касса, которая позже стала статьей RES . В своей статье Купманс заявляет в сноске, что Касс независимо получил условия, аналогичные тем, которые находит Купманс, и что Касс также рассматривает в своей статье предельный случай, когда ставка дисконтирования стремится к нулю. Со своей стороны, Касс отмечает, что «после того, как первоначальная версия этой статьи была завершена, наше внимание привлек очень похожий анализ Купманса. Мы опираемся на его результаты при обсуждении предельного случая, когда эффективная социальная ставка дисконтирования стремится к нулю» . В интервью, которое Касс дал журналу «Макроэкономическая динамика» , он благодарит Купманса за указание ему на предыдущую работу Фрэнка Рэмси, заявляя, что ему было стыдно, что он не знал о ней, но не говорит ничего, что опровергло бы основное утверждение, что его работа и работа Купманса были в центре внимания. факт независим.

Спир и Янг оспаривают эту историю, основываясь на ранее игнорируемой версии статьи Купманса в рабочем документе ^[9] , которая легла в основу часто цитируемой презентации Купманса на конференции, проведенной Папской академией наук в октябре 1963 года. ^{[10] ]} В этом документе для обсуждения Коулза есть ошибка. В своем основном результате Купманс утверждает, что уравнения Эйлера одновременно необходимы и достаточны для характеристики оптимальных траекторий в модели, поскольку любые решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному устойчивому состоянию, будут достигать границы либо нулевого потребления, либо нулевого капитала в конечное время. Эта ошибка, по-видимому, была представлена ​​на конференции в Ватикане, хотя на момент ее выступления Купмансом ни один из участников не прокомментировал проблему. Об этом можно судить по тому, что обсуждение после каждого выступления на конференции в Ватикане дословно сохраняется в томе конференции.

В обсуждении тома в Ватикане после презентации статьи Эдмона Малинво проблема действительно возникает из-за явного включения Маленво в свою статью так называемого «условия трансверсальности» (которое Малинво называет условием I). В конце презентации Купманс спрашивает Малинво, не является ли условие I просто гарантией того, что решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному установившемуся состоянию, достигают границы за конечное время. Маленво отвечает, что это не так, и предлагает Купмансу рассмотреть пример с функциями полезности журнала и производственными функциями Кобба-Дугласа.

На данный момент Купманс, очевидно, осознает, что у него есть проблема, но, судя по запутанному приложению к более поздней версии документа, выпущенному после Ватиканской конференции, он, похоже, не может решить, как решить проблему, поднятую Условием I Маленво.

Из интервью Касса в «Макроэкономической динамике» ясно, что Купманс встречался с научным руководителем Касса Хирофуми Удзавой на зимних собраниях Эконометрического общества в январе 1964 года, где Удзава сообщил ему, что его студент [Касс] уже решил эту проблему. . Затем Удзава, должно быть, предоставил Купмансу копию главы диссертации Касса, которую он, очевидно, отправил под видом технического отчета IMSSS, который Купманс цитировал в опубликованной версии своей статьи. Слово «маска» здесь уместно, потому что номер TR, указанный в цитате Купманса, указывал бы на дату выпуска отчета в начале 1950-х годов, чего явно не было.

В опубликованной версии статьи Купманса он налагает новое условие Альфа в дополнение к уравнениям Эйлера, заявляя, что единственными допустимыми траекториями среди тех, которые удовлетворяют уравнениям Эйлера, является та, которая сходится к оптимальному установившемуся равновесию модели. Этот результат получен в статье Касса посредством наложения условия трансверсальности, которое Касс вывел из соответствующих разделов книги Льва Понтрягина . ^[11] Спир и Янг предполагают, что Купманс выбрал этот путь, потому что не хотел выглядеть «заимствовавшим» технологию трансверсальности Малинво или Касса.

Основываясь на этом и других исследованиях вклада Маленво в 1950-х годах, в частности на его интуитивном понимании важности условия трансверсальности, Спир и Янг предполагают, что неоклассическую модель роста лучше называть моделью Рэмси-Малинво-Касса, чем устоявшуюся модель Рэмси-Маленво-Касса. Почетное звание Касс-Купманс.

Примечания

1. Этот результат обусловлен не только эндогенностью нормы сбережений, но и бесконечным характером горизонта планирования агентов в модели; это не справедливо в других моделях с эндогенными нормами сбережений, но в более сложной динамике между поколениями, например, в моделях Самуэльсона или Даймонда с перекрывающимися поколениями .
2. Предположение, которое на самом деле имеет решающее значение для анализа. Если , то для низких значений оптимальное значение равно 0 и, следовательно, если оно достаточно низкое, существует начальный интервал времени, где даже если , см. Nævdal, E. (2019). «Новые идеи из канонической модели роста Рэмси – Кэсс – Купманса». Макроэкономическая динамика . 25 (6): 1569–1577. дои : 10.1017/S1365100519000786. S2CID  214268940. ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$ ${\displaystyle u_{c}(0)<\infty }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k(0)}$ ${\displaystyle {\dot {c}}=0}$ ${\displaystyle f_{k}-\delta -\rho >0}$
3. Гамильтониан для проблемы Рэмси – Касса – Купманса:

   ${\displaystyle H=e^{-\rho t}u(c)+\mu \left[f(k)-(n+\delta )k-c\right]}$

   где – переменная стоимости, обычно с экономической точки зрения интерпретируемая как теневая цена . Поскольку конечное значение свободно, но не может быть отрицательным, требуется условие трансверсальности, аналогичное условию Каруша – Куна – Такера «дополнительная нежесткость» . Из условий первого порядка максимизации гамильтониана можно вывести уравнение движения потребления, см. Ferguson, Brian S.; Лим, GC (1998). Введение в динамические экономические модели. Издательство Манчестерского университета. стр. 174–175. ISBN ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mu \cdot k=0}$ 978-0-7190-4997-2или Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 381–384. ISBN 978-3-540-60988-9.
4. Эту проблему также можно решить с помощью классических методов вариационного исчисления , см. Hadley, G.; Кемп, MC (1971). Вариационные методы в экономике. Нью-Йорк: Эльзевир. стр. 50–71. ISBN 978-0-444-10097-9.
5. Матрица Якоби системы Рэмси – Кэсса – Купманса равна

   ${\displaystyle \mathbf {J} \left(k,c\right)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}&{\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial c}}\\{\frac {\partial {\dot {c}}}{\partial k}}&{\frac {\partial {\dot {c}}}{\partial c}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{k}(k)-(n+\delta )&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c&{\frac {1}{\sigma }}\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\end{bmatrix}}}$

   См. Афонсу, Оскар; Васконселос, Пауло Б. (2016). Вычислительная экономика: краткое введение. Нью-Йорк: Рутледж. п. 163. ИСБН 978-1-138-85965-4.
6. Можно показать, что условие «отсутствия схемы Понци» следует из условия трансверсальности гамильтониана, см. Barro, Robert J .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 91–92. ISBN 978-0-262-02553-9.

Рекомендации

1. Рэмси, Фрэнк П. (1928). «Математическая теория сбережений». Экономический журнал . 38 (152): 543–559. дои : 10.2307/2224098. JSTOR  2224098.
2. Касс, Дэвид (1965). «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала». Обзор экономических исследований . 32 (3): 233–240. дои : 10.2307/2295827. JSTOR  2295827.
3. Купманс, TC (1965). «О концепции оптимального экономического роста». Экономический подход к планированию развития . Чикаго: Рэнд МакНелли. стр. 225–287.
4. Коллард, Дэвид А. (2011). «Рэмси, спасение и поколения». Поколения экономистов . Лондон: Рутледж. стр. 256–273. ISBN 978-0-415-56541-7.
5. Бланшар, Оливье Жан; Фишер, Стэнли (1989). Лекции по макроэкономике. Кембридж: MIT Press. стр. 41–43. ISBN 978-0-262-02283-5.
6. Бивис, Брайан; Доббс, Ян (1990). Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 157. ИСБН 978-0-521-33605-5.
7. Роу, Терри Л.; Смит, Родни Б.В.; Сараджоглу, Д. Сирин (2009). Модели многосекторного роста: теория и применение. Нью-Йорк: Спрингер. п. 48. ИСБН 978-0-387-77358-2.
8. Копье, ЮВ; Янг, В. (2014). «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: связь Касса – Малинво – Купманса». Макроэкономическая динамика . 18 (1): 215–243. дои : 10.1017/S1365100513000291. S2CID  1340808.
9. Купманс, Тьяллинг (декабрь 1963 г.). «О концепции оптимального экономического роста» (PDF) . Документ для обсуждения 163 Фонда Коулза .
10. Маккензи, Лайонел (2002). «Некоторые ранние конференции по теории роста». В Битросе, Джордж; Кацулакос, Яннис (ред.). Очерки по экономической теории, экономическому росту и рынкам труда . Челтнем: Эдвард Элгар. стр. 3–18. ISBN 978-1-84064-739-6.
11. Понтрягин, Лев; Болтянский Владимир; Гамкрелидзе, Реваз; Мищенко, Евгений (1962). Математическая теория оптимальных процессов . Нью-Йорк: Джон Уайли.

дальнейшее чтение

• Аджемоглу, Дарон (2009). «Неоклассическая модель роста». Введение в современный экономический рост . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.
• Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с потребительской оптимизацией». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 85–142. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Бенасси, Жан-Паскаль (2011). «Модель Рэмси». Макроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 145–160. ISBN 978-0-19-538771-1.
• Бланшар, Оливье Жан ; Фишер, Стэнли (1989). «Потребление и инвестиции: основные модели бесконечного горизонта». Лекции по макроэкономике . Кембридж: MIT Press. стр. 37–89. ISBN 978-0-262-02283-5.
• Мяо, Цзяньцзюнь (2014). «Неоклассические модели роста». Экономическая динамика в дискретном времени . Кембридж: MIT Press. стр. 353–364. ISBN 978-0-262-02761-8.
• Новалес, Альфонсо; Фернандес, Эстер; Руис, Хесус (2009). «Оптимальный рост: непрерывный временной анализ». Экономический рост: теория и методы численного решения . Берлин: Шпрингер. стр. 101–154. ISBN 978-3-540-68665-1.
• Ромер, Дэвид (2011). «Модели бесконечного горизонта и перекрывающихся поколений». Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.

Внешние ссылки

• Обсуждение оригинальной статьи Рэмси Орацио Аттанасио на YouTube