Вогнутая функция

Отрицательная выпуклая функция

В математике вогнутая функция — это функция, значение которой в любой выпуклой комбинации элементов в области больше или равно выпуклой комбинации значений в конечных точках. Эквивалентно, вогнутая функция — это любая функция, у которой гипограф выпуклый. Класс вогнутых функций в некотором смысле противоположен классу выпуклых функций . Вогнутую функцию также называют синонимом вогнутой вниз , вогнутой вниз , выпуклой вверх , выпуклой крышкой или верхней выпуклостью .

Определение

Действительная функция на интервале (или, в более общем смысле, выпуклое множество в векторном пространстве ) называется вогнутой , если для любого и в интервале и для любого , ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Функция называется строго вогнутой, если

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

для любого и . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

Для функции это второе определение просто утверждает, что для каждого строго между и точка на графике находится выше прямой линии, соединяющей точки и . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (z,f(z))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$

Функция называется квазивогнутой , если верхние контурные множества функции являются выпуклыми множествами. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

Характеристики

Функции одной переменной

1. Дифференцируемая функция f является (строго) вогнутой на интервале тогда и только тогда, когда ее производная функция f ′ (строго) монотонно убывает на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающий (убывающий) наклон . ^{[3] [4]}
2. Точки , где вогнутость меняется (между вогнутостью и выпуклостью ), являются точками перегиба . ^[5]
3. Если f дважды дифференцируема , то f является вогнутой тогда и только тогда, когда f» неположительно (или, неформально, если « ускорение » неположительно). Если его вторая производная отрицательна , то она строго вогнутая, но обратное неверно, как показано f ( x ) = − x ⁴ .
4. Если f вогнута и дифференцируема, то она ограничена сверху своим приближением Тейлора первого порядка : ^[2]
   $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$
5. Измеримая по Лебегу функция на интервале C является вогнутой тогда и только тогда, когда она вогнута в средней точке, т. е. для любых x и y из C
   $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. Если функция f вогнутая и f ( 0) ≥ 0 , то f субаддитивна на . Доказательство: ${\displaystyle [0,\infty )}$
   • Поскольку f вогнутая и 1 ≥ t ≥ 0 , полагая y = 0 , мы имеем
     $${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • Для : ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$
     $${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

Функции n переменных

1. Функция f является вогнутой над выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция −f является выпуклой функцией над этим множеством.
2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе является вогнутой, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т.е. набор вогнутых функций в данной области образует полуполе .
3. Вблизи строгого локального максимума внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; как частичное обратное: если производная строго вогнутой функции равна нулю в какой-то точке, то эта точка является локальным максимумом.
4. Любой локальный максимум вогнутой функции является также глобальным максимумом . Строго вогнутая функция будет иметь не более одного глобального максимума.

Примеры

• Функции и вогнуты в своих областях определения, как и их вторые производные , и всегда отрицательны. ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle f''(x)=-2}$ ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• Функция логарифма вогнута в своей области определения , так как ее производная является строго убывающей функцией. ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• Любая аффинная функция одновременно является вогнутой и выпуклой, но не является ни строго вогнутой, ни строго выпуклой. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• Синусоидальная функция вогнута на отрезке . ${\displaystyle [0,\pi ]}$
• Функция , где – определитель неотрицательно -определенной матрицы B , является вогнутой. ^[6] ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$ ${\displaystyle |B|}$

Приложения

• Изгиб лучей при расчете затухания радиоволн в атмосфере включает вогнутые функции.
• В теории ожидаемой полезности для выбора в условиях неопределенности кардинальные функции полезности лиц, не склонных к риску, являются вогнутыми.
• В микроэкономической теории обычно предполагается, что производственные функции вогнуты в некоторых или во всех своих областях, что приводит к уменьшению отдачи от факторов производства. ^[7]

Смотрите также

• Вогнутый многоугольник
• Неравенство Дженсена
• Логарифмически вогнутая функция
• Квазивогнутая функция
• Вогнутость

Рекомендации

1. Ленхарт, С.; Уоркман, Дж. Т. (2007). Оптимальное управление в применении к биологическим моделям . Серия по математической и вычислительной биологии. Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
2. Вариан, Хэл Р. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Нортон. п. 489. ИСБН 0-393-95735-7. ОСЛК  24847759.
3. Рудин, Уолтер (1976). Анализ . п. 101.
4. Градштейн, И.С.; Рыжик, И.М.; Хейс, Д.Ф. (1 июля 1976 г.). «Таблица интегралов, рядов и произведений». Журнал смазочных технологий . 98 (3): 479. дои : 10.1115/1.3452897 . ISSN  0022-2305.
5. Хасс, Джоэл (13 марта 2017 г.). Исчисление Томаса. Хайль, Кристофер, 1960 г., Вейр, Морис Д., Томас, Джордж Б. младший (Джордж Бринтон), 1914–2006 гг. (Четырнадцатое изд.). [Соединенные Штаты]. п. 203. ИСБН 978-0-13-443898-6. ОКЛК  965446428.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
6. Обложка, Томас М .; Томас, Дж. А. (1988). «Детерминантные неравенства через теорию информации». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 9 (3): 384–392. дои : 10.1137/0609033. S2CID  5491763.
7. Пембертон, Малькольм; Рау, Николас (2015). Математика для экономистов: Вводный учебник. Издательство Оксфордского университета. стр. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.

Дальнейшие ссылки

• Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость». В Дюрлауфе, Стивен Н.; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 815–816. дои : 10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика . Джон Уайли и сыновья. п. 779. ИСБН 978-0-470-18352-6.