Измеримая функция

Функция, для которой прообраз измеримого множества измерим

В математике , и в частности в теории меры , измеримая функция — это функция между базовыми множествами двух измеримых пространств , которая сохраняет структуру пространств: прообраз любого измеримого множества измерим. Это находится в прямой аналогии с определением, что непрерывная функция между топологическими пространствами сохраняет топологическую структуру: прообраз любого открытого множества открыт. В действительном анализе измеримые функции используются в определении интеграла Лебега . В теории вероятностей измеримая функция на вероятностном пространстве известна как случайная величина .

Формальное определение

Пусть и будут измеримыми пространствами, что означает, что и являются множествами, снабженными соответствующими -алгебрами и Функция называется измеримой, если для каждого прообраз под находится в ; то есть для всех ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ $${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

То есть, где - σ-алгебра, порожденная f . Если - измеримая функция, то пишут, чтобы подчеркнуть зависимость от -алгебр и ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathrm {T} .}$

Варианты использования термина

Выбор -алгебр в определении выше иногда неявный и зависит от контекста. Например, для или других топологических пространств алгебра Бореля (порождённая всеми открытыми множествами) является обычным выбором. Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно действительнозначные относительно алгебры Бореля. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Если значения функции лежат в бесконечномерном векторном пространстве , существуют другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и измеримость по Бохнеру .

Известные классы измеримых функций

• Случайные величины по определению являются измеримыми функциями, заданными на вероятностных пространствах.
• Если и являются борелевскими пространствами , измеримая функция также называется борелевской функцией . Непрерывные функции являются борелевскими функциями, но не все борелевские функции непрерывны. Однако измеримая функция является почти непрерывной функцией; см. теорему Лузина . Если борелевская функция оказывается сечением карты, она называется борелевским сечением . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ ${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$
• Измеримая по Лебегу функция — это измеримая функция , где — -алгебра измеримых по Лебегу множеств, а — алгебра Бореля на комплексных числах Измеримые по Лебегу функции представляют интерес для математического анализа, поскольку их можно интегрировать. В случае измерима по Лебегу тогда и только тогда, когда измерима для всех Это также эквивалентно тому, что любая из измерима для всех или прообраз любого открытого множества измерим. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, функции, интегрируемые по Риману, и функции ограниченной вариации — все они измеримы по Лебегу. ^[2] Функция измерима тогда и только тогда, когда измеримы ее действительная и мнимая части. ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Свойства измеримых функций

• Сумма и произведение двух комплекснозначных измеримых функций измеримы. ^[3] Так же измеримо и частное, если только нет деления на ноль. ^[1]
• Если и являются измеримыми функциями, то измеримой является и их композиция ^[1] ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ ${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$
• Если и являются измеримыми функциями, их композиция не обязательно должна быть измеримой, если только Действительно, две измеримые по Лебегу функции не могут быть построены таким образом, чтобы сделать их композицию неизмеримой по Лебегу. ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$
• (Поточечный) супремум , инфимум , верхний предел и нижний предел последовательности (а именно, счетного множества) измеримых функций с действительными значениями также измеримы. ^{[1] [4]}
• Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим, где — метрическое пространство (снабженное алгеброй Бореля). Это неверно в общем случае, если — неметризуемо. Соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более сильных условий, чем поточечная сходимость, например, равномерной сходимости. ^{[5] [6]} ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Неизмеримые функции

Вещественные функции, встречающиеся в приложениях, как правило, измеримы; однако, нетрудно доказать существование неизмеримых функций. Такие доказательства опираются на аксиому выбора существенным образом, в том смысле, что теория множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В любом мерном пространстве с неизмеримым множеством можно построить неизмеримую индикаторную функцию : где снабжено обычной алгеброй Бореля . Это неизмеримая функция, поскольку прообраз измеримого множества — это неизмеримое ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle A\subset X,}$ ${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle A.}$  

В качестве другого примера, любая непостоянная функция неизмерима относительно тривиальной -алгебры , поскольку прообраз любой точки в диапазоне является некоторым собственным непустым подмножеством, которое не является элементом тривиальной ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

Смотрите также

• Измеримая функция Бохнера
• Пространство Бохнера  – Тип топологического пространства
• Пространство Lp  – Функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства p-нормы – Векторные пространства измеримых функций: пространства ${\displaystyle L^{p}}$
• Динамическая система, сохраняющая меру  – Предмет исследования в эргодической теории
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Примечания

1. Стрихартц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6.
2. Carothers, NL (2000). Реальный анализ . Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.
3. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение . Wiley. ISBN 0-471-31716-0.
4. Ройден, HL (1988). Реальный анализ . Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.
5. Дадли, Р. М. (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2.
6. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений, A Hitchhiker's Guide (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

Внешние ссылки

• Измеримая функция в Encyclopedia of Mathematics
• Функция Бореля в Encyclopedia of Mathematics